楊愛峰,　范世慶,　胡小建

(合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥　230009)

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租賃設(shè)備的最優(yōu)預(yù)防性維修策略研究

楊愛峰,范世慶,胡小建

(合肥工業(yè)大學(xué) 管理學(xué)院,安徽 合肥230009)

科學(xué)合理租賃設(shè)備預(yù)防性維修策略對(duì)租賃商來(lái)說(shuō)可以降低設(shè)備維修成本和延長(zhǎng)設(shè)備生命周期,對(duì)承租企業(yè)來(lái)說(shuō)可以擁有工作狀態(tài)良好的設(shè)備。文章假設(shè)對(duì)租賃設(shè)備進(jìn)行不定期的預(yù)防性維修且每次進(jìn)行相同的維修強(qiáng)度,租賃商以利潤(rùn)最大化為目標(biāo),聯(lián)合優(yōu)化預(yù)防性維修的閥值、維修強(qiáng)度和維修次數(shù),據(jù)此通過(guò)算例分析故障率和租期分別對(duì)維修次數(shù)、預(yù)防性維修較單純故障維修的節(jié)約成本及節(jié)約成本占單純故障維修成本比重的影響。

設(shè)備;租賃;預(yù)防性維修;故障維修

隨著科學(xué)技術(shù)和生產(chǎn)力水平的快速發(fā)展,生產(chǎn)設(shè)備更新?lián)Q代的速度大大加快,其購(gòu)置價(jià)格也隨之大幅上漲,同時(shí)更新和維修現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備成本占整個(gè)企業(yè)生產(chǎn)成本的很大一部分,并且在更新和維修的過(guò)程中勢(shì)必會(huì)對(duì)生產(chǎn)效率及服務(wù)能力帶來(lái)一定的消極影響。因此,許多大型制造型企業(yè)開始由購(gòu)買生產(chǎn)設(shè)備轉(zhuǎn)向租賃生產(chǎn)設(shè)備,以減少昂貴的購(gòu)買成本和維修費(fèi)用等開支。在租賃模式下設(shè)備的所有權(quán)始終歸租賃商所有,承租企業(yè)只需與租賃商簽訂設(shè)備的租賃合同,并支付一定的租金便可獲得一定時(shí)期內(nèi)設(shè)備的使用權(quán),而設(shè)備在租賃期內(nèi)發(fā)生的一系列維修服務(wù)成本則由租賃商承擔(dān)。為了保證設(shè)備在租賃期內(nèi)正常運(yùn)轉(zhuǎn),降低設(shè)備故障維修成本,租賃商需制定包括租賃次數(shù)和維修強(qiáng)度等在內(nèi)的租賃設(shè)備維修方案。

生產(chǎn)設(shè)備維修方案按照維修目的不同可分為故障維修(correctivemaintenance,CM)和預(yù)防性維修(preventivemaintenance,PM)[1]。其中,故障維修是指當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障后才進(jìn)行維修,使設(shè)備恢復(fù)到其故障前的工作狀態(tài),不改變?cè)O(shè)備的故障率和使用壽命,它是一種傳統(tǒng)的維修方式，且是出現(xiàn)不可預(yù)知緊急狀況后的唯一處理手段,因此故障維修一般都會(huì)使企業(yè)承擔(dān)高昂的維修費(fèi)用;預(yù)防性維修是指根據(jù)設(shè)備運(yùn)行時(shí)間、設(shè)備故障維修數(shù)據(jù)和零部件磨損規(guī)律等制訂科學(xué)的預(yù)防性維修策略,在設(shè)備發(fā)生故障前就采取各種預(yù)防性維修策略來(lái)保證生產(chǎn)設(shè)備能夠處于正常工作狀態(tài)。有效的預(yù)防性維修可以降低設(shè)備故障率,延長(zhǎng)設(shè)備使用壽命,以及有效降低企業(yè)的維修成本。因此,有效地運(yùn)用這2種維修方式成為租賃企業(yè)亟待解決的重要問題。

國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)租賃設(shè)備維修進(jìn)行了深入地研究,文獻(xiàn)[2]通過(guò)考慮租賃設(shè)備殘值和預(yù)防性維修來(lái)確定租期和維修策略,其中租期是租賃商獲取租賃生產(chǎn)設(shè)備利潤(rùn)的決定性因素,租期越長(zhǎng)利潤(rùn)就越高,所以該模型重點(diǎn)揭示租期與利潤(rùn)的關(guān)系。文獻(xiàn)[3]通過(guò)計(jì)算預(yù)防性維修的故障率閥值來(lái)確定最佳維修策略,該模型重點(diǎn)研究閥值在預(yù)防性維修中的作用,用閥值來(lái)決定是否進(jìn)行預(yù)防性維修,進(jìn)而決策預(yù)防性維修策略。文獻(xiàn)[4]認(rèn)為通過(guò)預(yù)防性維修的保修策略可以延長(zhǎng)保修期,該模型的主要特點(diǎn)是定期進(jìn)行預(yù)防性維修,這種維修策略對(duì)于租賃商來(lái)說(shuō)可以降低維修成本,但是對(duì)于承租企業(yè)來(lái)說(shuō)卻降低了其生產(chǎn)效率,因?yàn)樵谠O(shè)備生命周期的后期,其故障率上升的速率較快,這時(shí)故障次數(shù)必然較多,此時(shí)仍定期維修顯然不符合設(shè)備的實(shí)際運(yùn)行狀態(tài)。文獻(xiàn)[5]通過(guò)模型闡明預(yù)防性維修與故障維修相結(jié)合的維修策略可以降低租賃商的維修成本,但是該模型的計(jì)算過(guò)程較為復(fù)雜,這是因?yàn)樵撃Ｐ托枰獩Q策每次預(yù)防性維修的強(qiáng)度,這樣就需要決策n次維修強(qiáng)度才能得到最終的維修策略。文獻(xiàn)[6]給出了一個(gè)周期性預(yù)防性維修策略以降低維修成本,雖然該模型與文獻(xiàn)[3]中的模型相類似,但是其決策的維修周期較短,克服了文獻(xiàn)[4]提出方案的弊端,不過(guò)由于維修周期縮短必然會(huì)增加維修次數(shù),從而提高了維修成本。文獻(xiàn)[7]提出在產(chǎn)品生產(chǎn)和檢查過(guò)程中,利用預(yù)防性維修和重加工可以有效地降低產(chǎn)品的次品率,提高承租企業(yè)的生產(chǎn)效率,該模型擴(kuò)展了預(yù)防性維修的適用范圍,不僅適用在租賃設(shè)備,而且對(duì)整個(gè)生產(chǎn)過(guò)程同樣適用。文獻(xiàn)[8]通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型說(shuō)明利用預(yù)防性維修來(lái)降低租賃品的故障率可以降低租賃商的維修成本,該模型主要考慮故障維修成本、懲罰成本與預(yù)防性維修成本之間的平衡來(lái)決策維修策略。文獻(xiàn)[9] 建立了時(shí)變需求下帶有多種原材料訂購(gòu)及預(yù)防性維修中斷的制造系統(tǒng)在有限計(jì)劃期內(nèi)的經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)批量模型,利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法求得各原材料的最優(yōu)訂購(gòu)策略,采取(tj,Q)策略給出了尋求最優(yōu)生產(chǎn)批量、最優(yōu)維修中斷次數(shù)及最優(yōu)生產(chǎn)周期數(shù)的簡(jiǎn)單算法。文獻(xiàn)[10]主要從經(jīng)濟(jì)效益的角度對(duì)模型的解進(jìn)行優(yōu)化,在設(shè)備的生命周期、維修時(shí)間分布和參數(shù)已知的情況下,運(yùn)用Newton迭代法來(lái)確定設(shè)備的最佳預(yù)防性維修時(shí)間分布及其可靠性,該模型對(duì)現(xiàn)有模型是否達(dá)到最優(yōu)提供了一種驗(yàn)證的方法。

考慮到有效實(shí)施預(yù)防性維修和故障維修計(jì)劃不僅可以減少租賃商的維修成本,同時(shí)也為承租企業(yè)提供了高效、穩(wěn)定的生產(chǎn)設(shè)備,使租賃雙方達(dá)到雙贏的局面,更加符合現(xiàn)代生產(chǎn)方式。因此,本文在前人研究的基礎(chǔ)上,深入研究在租期給定的情況下,租賃商按照固定的維修強(qiáng)度x進(jìn)行不定期預(yù)防性維修,突出需要進(jìn)行預(yù)防性維修閥值的作用,決策最優(yōu)的預(yù)防性維修強(qiáng)度x及最優(yōu)的預(yù)防性維修次數(shù)n以實(shí)現(xiàn)在租期內(nèi)利潤(rùn)最大化目標(biāo)。

1　模型參數(shù)及假設(shè)

1.1模型參數(shù)

根據(jù)一般租賃設(shè)備故障維修的實(shí)際,結(jié)合有關(guān)文獻(xiàn)的研究成果,本文定義模型參數(shù)如下:L為設(shè)備的租期;P為設(shè)備單位時(shí)間的租賃價(jià)格;V為租賃商購(gòu)買設(shè)備的成本;R(t)為設(shè)備故障率的分布函數(shù);r(t)為設(shè)備故障率的密度函數(shù),∫r(t)dt=R(t);Ti為每次進(jìn)行預(yù)防性維修的時(shí)間點(diǎn),i=1,2,…,n;θ為需要進(jìn)行預(yù)防性維修的閥值(決策變量);x為每次預(yù)防性維修使得故障率下降的程度,即維修強(qiáng)度(決策變量);Cm為故障維修的單位成本;Cp(x)為預(yù)防性維修的單位成本,Cp(x)=a+bx,其中a,b為成本系數(shù);m為在租期L內(nèi)設(shè)備發(fā)生故障的總次數(shù);n為在租期L內(nèi)預(yù)防性維修的總次數(shù)(決策變量);TP為租賃商的總利潤(rùn)。

1.2基本假設(shè)

(1) 本文假設(shè)設(shè)備故障維修時(shí)間及預(yù)防性維修時(shí)間均遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于設(shè)備的平均故障間隔時(shí)間及租賃期限,因此本文忽略故障維修時(shí)間及預(yù)防性維修時(shí)間。

(2) 在租期L內(nèi),當(dāng)且僅當(dāng)設(shè)備故障率達(dá)到閥值θ時(shí)才需要進(jìn)行一次預(yù)防性維修,每次預(yù)防性維修之后,故障率較預(yù)防性維修前下降相同的程度x,x≤θ;而設(shè)備發(fā)生故障進(jìn)行故障維修修復(fù)后,故障率與故障維修前相同。

(3) 本文假設(shè)設(shè)備故障率隨時(shí)間變化而增加且增速越來(lái)越快,即r(t)為關(guān)于時(shí)間t的嚴(yán)格單調(diào)遞增和下凸函數(shù),因此其反函數(shù)r-1也是嚴(yán)格單調(diào)遞增的。

(4) 本文假設(shè)引入預(yù)防性維修后,租賃商的總維修成本比沒有引入預(yù)防性維修時(shí)降低,即mCm+nCp(x)

2　數(shù)學(xué)模型的建立及求解

2.1數(shù)學(xué)模型的建立

在沒有預(yù)防性維修的情況下,租賃設(shè)備的故障率函數(shù)在其生命周期內(nèi)在設(shè)備的磨損、老化等因素的影響下隨著時(shí)間的推移而升高,設(shè)備故障率用密度函數(shù)r(t)刻畫,其中r′(t)>0且r″(t)>0;而引入預(yù)防性維修之后,每當(dāng)故障率達(dá)到一固定閥值θ時(shí),將進(jìn)行一次預(yù)防性維修,故障率的密度函數(shù)r(t)隨之下降一個(gè)固定的強(qiáng)度x,具體如圖1所示。閥值θ、維修強(qiáng)度x和維修次數(shù)n 3個(gè)決策變量構(gòu)成一個(gè)完整的預(yù)防性維修方案。

圖1　進(jìn)行預(yù)防性維修設(shè)備故障率變化情況

因此,在租期L內(nèi)的總的故障次數(shù)為

(1)

又因?yàn)閞(ti)=θ+(i-1)x,i=1,2,…,n,所以有:

(2)

由(1)式和 (2)式可得故障維修總成本為:

(3)

則進(jìn)行n次預(yù)防性維修的總成本為:

nCp=n(a+bx)

(4)

因?yàn)樽赓U商的總利潤(rùn)是租期L內(nèi)設(shè)備租賃收入減去購(gòu)買成本、設(shè)備故障維修成本和預(yù)防性維修成本,所以根據(jù)(3)式和(4)式可得:

(5)

2.2數(shù)學(xué)模型的求解

在給定租期L情況下優(yōu)化租賃商的利潤(rùn)函數(shù)TP(θ,x,n)實(shí)質(zhì)為本文所要求解得到的租賃設(shè)備最優(yōu)預(yù)防性維修策略。首先假定預(yù)防性維修強(qiáng)度x和預(yù)防性次數(shù)n不變,決策進(jìn)行預(yù)防性維修的閥值θ。

定理1給定L,n≥0,x≥0,則θ*=x。

證明在(5)式中對(duì)θ求一階偏導(dǎo)可得：

根據(jù)假設(shè)3,r-1是嚴(yán)格單調(diào)遞增函數(shù),因此有?r-1(θ+(i-1)x)/?θ>0,故?TP(θ,x,n)/?θ<0,又因θ≥x,所以θ*=x。

定理1的結(jié)果表明進(jìn)行預(yù)防性維修的閥值θ等于預(yù)防性維修的強(qiáng)度x,此時(shí)進(jìn)行預(yù)防性維修設(shè)備故障率變化情況如圖2所示,(5)式將變?yōu)?

(6)

圖2　當(dāng)θ=x時(shí)進(jìn)行預(yù)防性維修設(shè)備故障率變化情況

定理2給定L,n≥0,則x*=min{x，r(L)/n},其中x′為下列方程的根，該方程為：

證明對(duì)(6)式求關(guān)于x的一階偏導(dǎo)可得：

考慮到文獻(xiàn)[2-6,8]中故障率均采用Weibull分布,其密度函數(shù)r(t)=αβ(αt)β-1(α>0,β>1),顯然r(t)是關(guān)于時(shí)間的嚴(yán)格單調(diào)遞增和下凸函數(shù),將r(t)=αβ(αt)β-1代入(6)式可得:

(7)

對(duì)(7)式求關(guān)于x的二階偏導(dǎo)可得:

下面求解最優(yōu)的預(yù)防性維修次數(shù)n,因?yàn)閚是正整數(shù),無(wú)法運(yùn)用一階導(dǎo)數(shù)條件優(yōu)化。本文采用搜索算法尋找最優(yōu)的n*,算法如下:

(1) n=1,max=0。

(2) 計(jì)算TP(θ*,x*,n),若TP(θ*,x*,n)>max,則令n*=n,max=TP(θ*,x*,n)。

(3) n=n+1,如果n≤365L返回步驟(2),否則算法結(jié)束,輸出n*,max。

3　算　　例

設(shè)故障率函數(shù)服從Weibull分布,即r(t)=αβ(αt)β-1,其中α>0,β>1。另外,為比較預(yù)防性維修策略與單純故障維修策略,用ΔC表示預(yù)防性維修的節(jié)約成本,即ΔC=CmR(L)-(mCm+nCp),η表示維修節(jié)約成本占單純故障維修成本的比重,即η=[ΔC/CmR(L)]×100%。在α=1,a=20,b=5,Cm=100時(shí),具體計(jì)算結(jié)果見表1所列。

表1　計(jì)算結(jié)果

由表1可知,當(dāng)β相同時(shí),隨著租期L的增加,其預(yù)防性維修的次數(shù)n增加,并且可節(jié)約更多的維修成本ΔC,節(jié)約成本占原維修成本的比值η越大,這與實(shí)際相符,因?yàn)樽馄谠介L(zhǎng),需要進(jìn)行預(yù)防性維修的次數(shù)就越多,預(yù)防性維修相對(duì)于故障維修的優(yōu)越性越能體現(xiàn)出來(lái)。在租期L內(nèi),隨著β的增加,其預(yù)防性維修的次數(shù)n增加,可節(jié)約更多的維修成本ΔC,節(jié)約成本占原維修成本的比值η變化沒有規(guī)律,這也與實(shí)際相符,因?yàn)棣率欠从彻收下实膮?shù),β越大,需要進(jìn)行預(yù)防性維修的次數(shù)就越多,預(yù)防性維修相對(duì)于故障維修的優(yōu)越性越能體現(xiàn)出來(lái),致使ΔC增加,同時(shí)故障維修的成本也增加,導(dǎo)致η變化沒有規(guī)律。

4　結(jié)　　論

本文假設(shè)進(jìn)行不定期的預(yù)防性維修,但每次進(jìn)行相同的維修強(qiáng)度,該模型主要適用于大型耐用生產(chǎn)設(shè)備的租賃。預(yù)防性維修策略對(duì)租賃商來(lái)說(shuō)可以降低維修成本,延長(zhǎng)設(shè)備的生命周期,對(duì)承租企業(yè)來(lái)說(shuō)可以擁有工作狀態(tài)良好的設(shè)備,因此租賃設(shè)備的預(yù)防性維修是租賃商和承租企業(yè)的雙贏策略。租賃設(shè)備定價(jià)、生命周期以及回收后的再制造成本都與預(yù)防性維修策略相關(guān),將租賃設(shè)備的預(yù)防性維修與定價(jià)等相結(jié)合將是今后的研究方向。另外,也可以研究多周期租賃設(shè)備的預(yù)防性維修問題。

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(責(zé)任編輯萬(wàn)倫來(lái))

Studyofoptimalpreventivemaintenancestrategyofleasingequipments

YANGAifeng,FANShiqing,HUXiaojian

(SchoolofManagement,HefeiUniversityofTechnology,Hefei230009，China)

Thescientificandrationalpreventivemaintenancestrategyofleasingequipmentscanreducemaintenancecostandextendlifecycleofequipmentsfortheleasor,andcanalsoprovidetheleaseewithwell-conditionedequipments.Inthispaper,itisassumedthatthepreventivemaintenanceisirregular,buthassamemaintenancestrength.Thethreshold,strengthandfrequencyofthepreventivemaintenancearejointlyoptimizedtomaximizetheprofitoftheleasor.Finally,thenumericalexamplesareconductedtoanalyzetheimpactoffailurerateandtenancyonthefrequencyofthepreventivemaintenance,thesavingcostandtheratioofthesavingcosttothepurecorrectivemaintenance.

equipment;leasing;preventivemaintenance;correctivemaintenance

2015-03-30

國(guó)家自然科學(xué)基金青年基金資助項(xiàng)目(71301038)

楊愛峰(1976-),女,河南濮陽(yáng)人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)副教授,碩士生導(dǎo)師;

胡小建(1965-),男,安徽安慶人,博士,合肥工業(yè)大學(xué)教授,博士生導(dǎo)師.

10.3969/j.issn.1003-5060.2016.08.025

F253

A

1003-5060(2016)08-1133-05