盧新建

(福建省建筑科學(xué)研究院　福建福州　350000)

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基于變基床系數(shù)下雙參數(shù)模型的管棚力學(xué)機理研究

盧新建

(福建省建筑科學(xué)研究院福建福州350000)

針對?；蚕禂?shù)下管棚彈性地基梁模型的缺陷，分析了掌子面前方巖土體基床系數(shù)分布規(guī)律，基于 Pasternak 彈性地基梁理論，建立了變基床系數(shù)下管棚的力學(xué)模型，推導(dǎo)了管棚的撓度方程和內(nèi)力計算公式，并提出求解方法。結(jié)果表明：考慮掌子面水平位移影響能較好地反映管棚在隧道開挖過程中的力學(xué)行為，更符合實際情況。

隧道；管棚超前預(yù)支護；變基床系數(shù)；Pasternak模型；力學(xué)機理

0　引言

近年來，國內(nèi)外學(xué)者對管棚預(yù)加固機制進行了大量的研究，主要包括現(xiàn)場試驗研究、解析分析、數(shù)值模擬分析與離心模型試驗研究等。但由于地下工程的影響因素復(fù)雜多變，管棚預(yù)支護體系的許多基礎(chǔ)理論問題仍缺乏系統(tǒng)的定量研究，管棚預(yù)支護的設(shè)計方法仍然是依賴于工程經(jīng)驗的工程類比。因此，進一步研究管棚預(yù)支護體系的力學(xué)機理，有利于更好地指導(dǎo)復(fù)雜地質(zhì)條件下地下工程的施工，具有重要的現(xiàn)實意義。

本文針對常基床系數(shù)下管棚地基梁模型不考慮掌子面水平變形的缺陷，分析掌子面前方土體基床系數(shù)的分布規(guī)律，建立可考慮掌子面水平位移影響的基于變基床系數(shù)下雙參數(shù)模型的管棚力學(xué)模型，推導(dǎo)了管棚的撓度方程和內(nèi)力計算公式，并提出求解方法，對管棚的受力和變形進行了深入探討。

1　土的理想化模型

1.1土的理想化模型選取

本文采用Pasternak模型來模擬隧道開挖過程中管棚與圍巖之間的相互作用。Pasternak模型為模擬土體之間的連續(xù)性，假設(shè)在各獨立的Winkler彈簧單元與一層只能剪切變形而不可壓縮的薄層相連，如圖1(a)所示。其外荷載作用下引起的變形如圖1(b)所示。外荷載與位移之間的關(guān)系為：

(1)

式中：k和G為土體參數(shù)。

1.2Pasternak模型參數(shù)確定

(1)Pasternak模型參數(shù)確定

對于Pasternak模型參數(shù)確定，文獻(xiàn)[1]采用變分法推導(dǎo)有限深彈性地基雙參數(shù)模型，并按照土中應(yīng)力分布規(guī)律給出了矩形均布荷載作用下模型參數(shù)的計算方法：

(2)

(3)

式中：E——土體彈性模量，MPa；

H——土體深度；

μ——土體泊松比；

A、B——矩形荷載長短邊；

γ——反應(yīng)A/B影響的無量綱參數(shù)，其取值見表1。

表1　γ的取值

對于管棚荷載，A?B，此時γ可取1.00。H較大時，k0=G0=1，此時k、G的計算式可簡化為：

(4)

(5)

由式(2)～(5)可見，荷載的形狀和尺寸對模型參數(shù)有較大的影響，故由上述方法確定Pasternak模型參數(shù)，可以消除荷載尺寸和形狀對模型參數(shù)的影響，更好地反映管棚預(yù)支護體系的受力特性

(2)掌子面附近模型參數(shù)的變化

對管棚的力學(xué)模型分析來說，土體基床系數(shù)k的分布形式、取值大小對管棚的受力和變形情況影響很大。而在目前的研究中，整個隧道未開挖段均被簡單地看作?；蚕禂?shù)下的彈性地基模型(雙參數(shù)模型)來考慮。實際上，掌子面在上覆荷載作用下，必然由于水平約束不足而產(chǎn)生水平變形，從而導(dǎo)致掌子面附近范圍內(nèi)土體基床系數(shù)小于該范圍外的值，這對管棚的受力是不利的[2]。下面將針對常基床系數(shù)下管棚力學(xué)模型的這一缺陷，結(jié)合掌子面前方未開挖段土體與管棚相互作用的實際情況，建立考慮掌子面水平位移影響的基床系數(shù)分析模型，研究掌子面前方土體的基床系數(shù)變化規(guī)律。

計算模型下邊界固定，上邊界施加分布荷載，側(cè)邊界留出一定高度的自由段，來模擬開挖掌子面，其余高度約束其水平向位移，如圖2所示(僅顯示左半部分)。

確定各點基床系數(shù)k值關(guān)系為：

k=p/s

(6)

式中：k ——基床系數(shù)，MPa/m；

p ——地基土所受壓應(yīng)力，MPa；

s ——地基的變位，m。

根據(jù)計算結(jié)果，繪制不同泊松比和開挖高度下的基床系數(shù)k沿隧道縱向的分布曲線如圖3所示。

結(jié)果顯示：基床系數(shù)在自由面處最小，沿隧道縱向逐漸增大，在約1倍自由面高度處趨于穩(wěn)定。當(dāng)泊松比μ及開挖高度h不同時，基床系數(shù)k的變化形式基本一致，只是基床系數(shù)穩(wěn)定值k0及基床系數(shù)最小值與穩(wěn)定值之比kmin/k0不同。

分別計算不同μ，不同h時kmin/k0的值，對結(jié)果進行擬合，可得kmin/k0隨μ和h變化的函數(shù)：

kmin/k0=f(h,μ)k0=(1-0.9384μ2log(h+1))

(7)

將擬合結(jié)果與數(shù)值模擬分析結(jié)果對比，二者吻合較好，符合要求，按照擬合結(jié)果繪制kmin/k0隨μ和h的變化圖，如圖4所示。

為簡化計算，將基床系數(shù)沿隧道縱向變化的規(guī)律簡化為如圖5所示折線模型，并得到基床系數(shù)沿隧道縱向變化的表達(dá)式：

(8)

d=htan(π/4-φ/2)

2　管棚的力學(xué)模型建立

2.1管棚力學(xué)模型建立的基本假設(shè)

要想真實地反映管棚的受力和變形特點，揭示各種因素對管棚預(yù)支護效果的影響，模型必須建立在能夠正確描述圍巖條件、支護結(jié)構(gòu)等因素影響的假設(shè)上?；谝陨系难芯坎⒖偨Y(jié)前人成果，本文的模型在以下基本假設(shè)的基礎(chǔ)上建立[3]：

(1)承受管棚荷載的圍巖為各向同性的連續(xù)介質(zhì)，且符合Pasternak模型假設(shè)，其模型參數(shù)按照第1節(jié)所述確定；

(2)管棚構(gòu)件的彎曲性態(tài)用Bernoulli-Euler梁理論來描述，忽略水平向應(yīng)力的影響；

(3)將管棚與鋼架的連結(jié)端視為有一已知豎向位移的固定端，且考慮初期支護的延滯效應(yīng)，固定端取在第一榀與上一榀鋼架的中間位置；

(4)長管棚在施工中是一次穿越，不考慮管棚間搭接。

2.2力學(xué)模型的建立

隧道開挖過程中管棚的力學(xué)模型分為以下兩類：

類型一：當(dāng)隧道開挖面距管棚前端較遠(yuǎn)時，開挖影響尚未達(dá)到管棚前端，此時管棚可看作半無限長的地基梁，如圖6(a)。

類型二：當(dāng)隧道開挖面接近管棚前端時，將管棚看作有限長度的地基梁，如圖6(b)。

2.3微分方程求解

結(jié)合前面各節(jié)所得結(jié)論，由彈性地基梁理論可得管棚的撓曲微分方程。

(1)類型一

AB區(qū)段：

(9)

BC區(qū)段：

(10)

CD區(qū)段：

(11)

不同區(qū)段的微分方程通解為：

AB區(qū)段：

(12)

BC區(qū)段：該區(qū)段微分方程為四階變系數(shù)常微分方程，考慮該方程求解的復(fù)雜性，可將該階段基床系數(shù)的變化近似為n段逐漸變化的階梯函數(shù)，從而使該變系數(shù)微分方程簡化為若干段常系數(shù)微分方程，當(dāng)n的取值足夠大時，便可滿足求解的精度要求。此時，第i段階梯函數(shù)所對應(yīng)的常微分方程通解為：

(13)

CD區(qū)段：

ω3(x)=eαλx(A3cosβλx+B3sinβλx)+e-αλx(C3cosβλx+D3sinβλx)

(14)

其邊界條件為：管棚與鋼架連結(jié)端既A點為有一已知豎向位移的固定端，其撓度ω(A)=ω0，轉(zhuǎn)角ω(1)(A)=0；管棚前端既D點在開挖影響范圍之外，撓度ω(D)=0，轉(zhuǎn)角ω(1)(D)=0；其余管棚各邊界點，截面兩端撓度(ω(x))，轉(zhuǎn)角(ω(1)(x))，彎矩(-EIω(2)(x))，剪力(-EIω(3)(x))均相等。

(2)類型二

在類型二中，AB區(qū)段與BC區(qū)段的微分方程及其通解和類型一相同。其邊界條件為：管棚與鋼架連結(jié)端既A點為有一已知豎向位移的固定端，撓度ω(A)=ω0，轉(zhuǎn)角ω(1)(A)=0；管棚前端既C點為自由端，彎矩-EIω(2)(C)=0，剪力-EIω(3)(C)=0；基于管棚各邊界點，截面兩端撓度(ω(x))，轉(zhuǎn)角(ω(1)(x))，彎矩(-EIω(2)(x))，剪力(-EIω(3)(x))均相等。

結(jié)合各段通解和邊界條件，使用數(shù)學(xué)軟件Mathematica可求解各待定系數(shù)，帶入各式即可得管棚的撓度方程。

以上為僅在單次開挖條件下管棚的變形。由于土體沉降的不可逆性，管棚在隧道每一步開挖時所引起的變形都會逐步積累。所以，隧道開挖過程中每一步的總撓度都是之前各步開挖所引起的管棚變形之和，其表達(dá)形式為：

(15)

式中：ωi,m——管棚上第i點在第m步開挖時的總撓度，mm；

ωi,j——管棚上第i點在第j步開挖時所引起的撓度，mm。

2.4管棚力學(xué)行為的分析

在求得管棚撓度之后，可由以下各式解得管棚的轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力，由式(6)求得地基反力。

(16)

(17)

(18)

下邊將以上節(jié)所求的管棚受力和變形方程為基礎(chǔ)，分析管棚作用的力學(xué)機制。取以下工程數(shù)據(jù)：土方開挖前施做長管棚預(yù)支護，長管棚選用直徑159mm，壁厚6mm的熱軋無縫鋼管，間距40cm，管內(nèi)注M25水泥砂漿；圍巖彈性模量E=20MPa/m，泊松比μ=0.40，重度γ=18.5kN/m3；隧道埋深H=5m，開挖高度h=8m，開挖步距s=2.4m；管棚與鋼架連結(jié)端A點的初始豎向位移ω0=5mm。

(19)

計算可得管棚撓度曲線及受力情況如圖7(a)(b)所示(以格柵與管棚連結(jié)端為縱向位置0點)：

由計算結(jié)果可知：(1)管棚的最大撓度和彎矩均發(fā)生在開挖面后方靠近開挖面處，說明管棚在隧道已開挖但尚未施作初期支護的位置處于最不利狀態(tài)，是隧道開挖最危險的區(qū)域；(2)?；蚕禂?shù)時管棚的最大撓度為 13.39mm，最大彎矩為31.72kN·m，但考慮土體基床系數(shù)變化后，最大撓度達(dá)到14.65mm，最大彎矩達(dá)到34.25kN·m，分別相對超出9%、8%，且考慮土體基床系數(shù)變化后，其撓度及彎矩曲線有一定的延后，最大值位置更加靠近掌子面。所以，為了正確評估隧道開挖時管棚的變形和受力，在對管棚的力學(xué)分析中考慮掌子面開挖引起的基床系數(shù)變化很有必要。

3　結(jié)論

(1)掌子面前方巖土體的基床系數(shù)并非常數(shù)，而是沿著隧道開挖方向逐漸增大，且到一定距離后逐漸趨于穩(wěn)定； 隨土體泊松比和掌子面開挖高度呈二次拋物線變化，泊松比越大，開挖高度越高， 越小。

(2)分析管棚力學(xué)機制過程中，考慮掌子面水平變形引起的變基床系數(shù)后，更符合實際受力情況，能較好地反映管棚在隧道開挖過程中的真實力學(xué)行為。

[1]董軍，彭立生.雙參數(shù)地基模型研究及基礎(chǔ)梁計算[J].武漢水利電力學(xué)院學(xué)報，1991，24(4)：427-438.

[2]鄭俊杰，章榮軍，楊慶年. 淺埋隧道變基床系數(shù)下管棚的力學(xué)機制分析[J]. 巖土工程學(xué)報，2009，31(8)：1 165-1 171.

[3]賈金青，王海濤，涂兵雄，等. 管棚力學(xué)行為的解析分析與現(xiàn)場測試[J].巖土力學(xué)，2010, 31(6)：1 858-1 864.

Mechanical mechanism of piperoofs based on the pasternak model with variable coefficient of subgrade reaction

LUXinjian

(Fujian Academy of Building Research ，F(xiàn)uzhou 350000)

In order to improve the elastic foundation beam model for pipe roofs with constant coefficient of subgrade reaction, the distribution law of coefficient of subgrade reaction in front of the excavation face is discussed.Furthermore, an analytical approach based on Pasternak elastic foundation beam theory with variable coefficients of subgrade reaction for pipe roof reinforcement was put forward，and the differential equations of corresponding deformations, turn angles, bending moments and shear were deduced.The results show that if take the lateral deformation effect of excavation face into account during the analysis, can gives more accurate calculation and is proved to be a better way to understand the reinforcement mechanism and improve design practice.

Tunnel; Pipe roof reinforcement; Variable coefficient of subgrade reaction; Pasternak elastic foundation beam; Mechanical mechanism

盧新建(1990.07-)，男，助理工程師。

E-mail:1497918149@qq.com

2016-04-13

TU4

A

1004-6135(2016)06-0058-05