覃業(yè)梅，彭輝，阮文杰

?

基于線性函數(shù)型權(quán)重的RBF?ARX模型的磁懸浮球系統(tǒng)預(yù)測(cè)控制

覃業(yè)梅1, 2, 3，彭輝1, 3, 4，阮文杰1, 3

(1. 中南大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，湖南 長沙，410083；2. 湖南商學(xué)院 計(jì)算機(jī)與信息工程學(xué)院，湖南 長沙，410205；3. 先進(jìn)控制與智能自動(dòng)化湖南省工程實(shí)驗(yàn)室，湖南 長沙，410083；4. 兩型社會(huì)與生態(tài)文明協(xié)同創(chuàng)新中心，湖南 長沙，410083)

為了充分描述磁懸浮球系統(tǒng)具有非線性、開環(huán)不穩(wěn)定性及響應(yīng)快速性等特性，建立一個(gè)帶線性函數(shù)權(quán)重的RBF-ARX(linear functional weight RBF networks-based ARX model, LFWRBF?ARX)模型。與一般的RBF?ARX模型不同之處在于，它引入1個(gè)與工作點(diǎn)狀態(tài)相關(guān)的局部線性結(jié)構(gòu)作為RBF網(wǎng)絡(luò)輸出層的權(quán)值。該模型隨系統(tǒng)工作點(diǎn)的變化而變化，固定工作點(diǎn)時(shí)為局部線性ARX模型，當(dāng)工作點(diǎn)變化時(shí)為全局非線性ARX模型。根據(jù)該模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，采用結(jié)構(gòu)化非線性參數(shù)優(yōu)化方法(structured nonlinear parameter optimization method, SNPOM)來辨識(shí)模型的結(jié)構(gòu)及線性、非線性參數(shù)。然后，以辨識(shí)的模型為基礎(chǔ)，根據(jù)模型的局部線性及全局非線性特征設(shè)計(jì)預(yù)測(cè)控制器。仿真結(jié)果表明：以該建模方法建立的模型能很好地局部和全局描述磁懸浮球系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，并能實(shí)現(xiàn)小球的穩(wěn)定懸浮控制，比以一般ARX模型、RBF?ARX模型為基礎(chǔ)的控制效果更好。

非線性ARX模型(NARX)；線性函數(shù)權(quán)重RBF?ARX模型(LFWRBF?ARX)；SNPOM(structured nonlinear parameter optimization method)；非線性預(yù)測(cè)控制；磁懸浮球

磁懸浮技術(shù)因其無接觸、低噪聲及摩擦小等特點(diǎn)已廣泛應(yīng)用于磁懸浮列車、磁懸浮軸承等工程領(lǐng)域。磁懸浮小球系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的非線性、開環(huán)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，易受電源及外界環(huán)境的影響，某些參數(shù)具有較強(qiáng)的不確定性，無法精確測(cè)量，常作為實(shí)驗(yàn)室研究平臺(tái)。近年來，對(duì)磁懸浮裝置的控制研究已取得了很多成果，如將非線性模型進(jìn)行線性化處理后對(duì)磁懸浮系統(tǒng)采用線性控制方法[1?2]，應(yīng)用反饋線性化或前饋線性化技術(shù)設(shè)計(jì)非線性控制器。此外，還有研究者應(yīng)用PID結(jié)合其他方法[3]或廣義PID[4]來提高磁懸浮控制的魯棒性，擴(kuò)大穩(wěn)定控制的范圍。自適應(yīng)控制[5]、變結(jié)構(gòu)或滑膜控制[6]、魯棒控制[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[8]等非線性控制方法也被用于磁懸浮系統(tǒng)。在實(shí)際工業(yè)過程中，一種被廣泛應(yīng)用的先進(jìn)控制方法是預(yù)測(cè)控制，它是20世紀(jì)70年代直接從工業(yè)過程中誕生的一類基于預(yù)測(cè)模型的先進(jìn)控制算法?；诰€性模型的預(yù)測(cè)控制已經(jīng)在實(shí)際工業(yè)過程中得到廣泛應(yīng)用[9?10]，而基于非線性模型的預(yù)測(cè)控制(NMPC)[11]通過不斷改進(jìn)也逐步用于實(shí)踐。KEMIH等[12]在1個(gè)線性化的磁懸浮模型基礎(chǔ)上運(yùn)用帶約束的廣義預(yù)測(cè)控制(GPC)來保證系統(tǒng)的穩(wěn)定控制。WANG等[13]采用網(wǎng)絡(luò)反饋線性化預(yù)測(cè)控制來補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)延時(shí)的影響。為了提高計(jì)算效率和改善實(shí)時(shí)控制性能，ULBIG等[1]建立了1個(gè)磁懸浮系統(tǒng)的分段仿射的線性模型，并提出1種顯式NMPC策略。BACHLE等[14]通過將磁懸浮球系統(tǒng)非線性模型求導(dǎo)后實(shí)施梯度優(yōu)化方法來提高穩(wěn)定性和計(jì)算速度。實(shí)現(xiàn)預(yù)測(cè)控制的一個(gè)重要環(huán)節(jié)是建立系統(tǒng)的模型[15]，這是實(shí)現(xiàn)和提高其預(yù)測(cè)控制效果的重要環(huán)節(jié)。上述研究成果大多是以磁懸浮球系統(tǒng)的物理模型為基礎(chǔ)得到的。由于系統(tǒng)的復(fù)雜性，其物理模型和某些參數(shù)難以得到，或在一些假定條件下近似獲得。而由于預(yù)測(cè)控制算法不需要深入了解被控對(duì)象的內(nèi)部機(jī)理以及對(duì)模型結(jié)構(gòu)要求的不唯一性，使得它可以根據(jù)工業(yè)過程的特點(diǎn)和控制要求，根據(jù)系統(tǒng)的輸入輸出信息建立預(yù)測(cè)控制的內(nèi)部模型。這一特點(diǎn)使得預(yù)測(cè)控制在實(shí)際工業(yè)過程中有了更廣泛的應(yīng)用空間。彭輝等[16]提出在不同平衡點(diǎn)對(duì)磁懸浮小球建立多個(gè)線性ARX模型，實(shí)現(xiàn)了多模型線性預(yù)測(cè)控制，但為了實(shí)現(xiàn)大范圍的穩(wěn)定控制，需要建立一組這樣的模型，同時(shí)對(duì)切換機(jī)制也提出了較高要求。QIN等[17]在工作范圍內(nèi)建立1個(gè)全局非線性的RBF?ARX模型，實(shí)現(xiàn)了磁懸浮球的非線性預(yù)測(cè)控制，獲得了較好的控制效果。本文作者在此基礎(chǔ)上提出1種改進(jìn)模型，用1個(gè)具有狀態(tài)回歸的局部線性權(quán)函數(shù)逼近一般RBF?ARX模型中的常數(shù)系數(shù)，進(jìn)一步提高模型的局部線性及全局非線性的描述能力，以便更全面地刻畫磁懸浮球系統(tǒng)的非線性動(dòng)態(tài)特性。

1 帶線性函數(shù)權(quán)重的RBF?ARX模型

根據(jù)輸入輸出數(shù)據(jù)驅(qū)動(dòng)建立系統(tǒng)的模型是一種常用且實(shí)用的方法，如用帶外部輸入的自回歸(ARX)模型可以很精確地描述線性系統(tǒng)。但對(duì)于一般的非線性系統(tǒng)，它的描述能力很弱，只能在局部小范圍內(nèi)對(duì)非線性系統(tǒng)的局部動(dòng)態(tài)特性進(jìn)行刻畫，這使復(fù)雜系統(tǒng)基于此模型實(shí)施全局有效控制難度很大。為了更好地描述非線性系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，將線性ARX模型擴(kuò)展成非線性ARX模型，即1個(gè)非線性系統(tǒng)可用如下一般NARX表示：

圖1 帶線性函數(shù)權(quán)值的RBF網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

其中：()為系統(tǒng)輸出量；()為系統(tǒng)輸入量；表示2?范數(shù)；n和n分別為輸出()和輸入()的階次。式(3)中的(?1)是時(shí)變的系統(tǒng)工作點(diǎn)狀態(tài)，可以是輸入信號(hào)、輸出信號(hào)或系統(tǒng)的其他可測(cè)信號(hào)及其組合。該模型具有ARX的回歸結(jié)構(gòu)，對(duì)RBF網(wǎng)絡(luò)中心的要求較寬松，即使所有的RBF網(wǎng)絡(luò)共用同一個(gè)中心，回歸系數(shù)也會(huì)不同，因而RBF網(wǎng)絡(luò)需要的節(jié)點(diǎn)數(shù)目很少，而且該結(jié)構(gòu)中回歸權(quán)函數(shù)v也由系統(tǒng)的工作點(diǎn)狀態(tài)(?1)決定，可能使RBF網(wǎng)絡(luò)需要的節(jié)點(diǎn)數(shù)目更少。當(dāng)(?1)確定后，式(3)就是1個(gè)簡單的線性ARX模型，因此，能反映系統(tǒng)的局部線性特征。而從整體來看，由于工作點(diǎn)狀態(tài)(?1)是不斷變化的，故模型(3)也顯示了全局的非線性特性。這種方法在某些神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中表現(xiàn)出很好的性能[22]，而且這樣處理后的結(jié)構(gòu)可以大大減少網(wǎng)絡(luò)及其中心的數(shù)目，減少計(jì)算時(shí)間，為快速系統(tǒng)實(shí)施基于模型的預(yù)測(cè)控制奠定了基礎(chǔ)。

2 磁懸浮球系統(tǒng)的建模與辨識(shí)

本文的研究對(duì)象是本實(shí)驗(yàn)室的1套磁懸浮小球控制系統(tǒng)。該套裝置主要包括2部分，即由磁懸浮本體和控制該裝置的1臺(tái)計(jì)算機(jī)組成。磁懸浮小球控制裝置的本體如圖2所示。電磁鐵、電源功放模塊、光電傳感器、LED光源和被控鋼球等元件共同組成了磁懸浮小球控制裝置的本體。小球質(zhì)量為 22 g，直徑為 12.5 mm，運(yùn)動(dòng)范圍為 0~18 mm。該實(shí)驗(yàn)裝置是1個(gè)典型的吸附式單自由度的磁懸浮控制系統(tǒng)，只能控制被控對(duì)象的上、下移動(dòng)，為單輸入單輸出系統(tǒng)。電磁鐵下表面為原點(diǎn)，豎直向下的方向?yàn)檩S負(fù)方向，電磁鐵與小球間的空隙為位移。控制目標(biāo)是使鋼球穩(wěn)定懸浮在指定的位置或跟蹤給定軌跡。一般地，基于磁懸浮機(jī)理建立的模型是在一定假設(shè)條件下建立的近似模型，存在較大非線性誤差。為了提高非線性逼近能力，本文按前面提出的建模方法構(gòu)建磁懸浮小球系統(tǒng)的線性權(quán)函數(shù)RBF?ARX模型(LFWRBF?ARX)。模型具體結(jié)構(gòu)與式(3)所示的相同，電磁鐵的控制電壓為輸入控制變量()，鋼球向下的位移為輸出變量()，將輸出序列作為工作點(diǎn)的狀態(tài)，即(?1)=[(?1)，…，(?n)]T。

圖2 磁懸浮實(shí)驗(yàn)平臺(tái)

LFWRBF?ARX模型的辨識(shí)主要包括模型的結(jié)構(gòu)及參數(shù)辨識(shí)，模型的結(jié)構(gòu)主要取決于各變量的階次即n，n，和n。從式(3)可看出，該模型的參數(shù)含有線性參數(shù)和非線性參數(shù)。這類模型可應(yīng)用PENG等[23]針對(duì)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類模型提出的結(jié)構(gòu)化非線性參數(shù)優(yōu)化方法(SNPOM)。該方法根據(jù)模型結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，將模型參數(shù)分為線性參數(shù)和非線性參數(shù)，用Levenberg? Marquardt方法(LMM)來優(yōu)化非線性參數(shù)，用最小二乘法(LSM)優(yōu)化線性參數(shù)，優(yōu)化過程以非線性參數(shù)循環(huán)優(yōu)化為中心，交叉優(yōu)化線性參數(shù)。這種方法不同于非結(jié)構(gòu)化的一般梯度搜索方法，搜索最優(yōu)解的過程更加靈活、快速、有效，尤其對(duì)于線性參數(shù)較多的系統(tǒng)，而且它是一種離線辨識(shí)方法。模型(3)包括非線性參數(shù)和、線性參數(shù)0和，因此，模型(3)共有(1+(n+1))(n+n+1)個(gè)線性參數(shù)和(+×n)個(gè)非線性參數(shù)待估計(jì)，線性參數(shù)遠(yuǎn)多于非線性參數(shù)，故本文采用該優(yōu)化方法。模型的階次估計(jì)以Akaike信息準(zhǔn)則(AIC值)最小為衡量標(biāo)準(zhǔn)，同時(shí)綜合考慮階躍響應(yīng)的動(dòng)態(tài)特性。

針對(duì)該磁懸浮小球系統(tǒng)，在MATLAB/ SIMULINK2010b工作環(huán)境下，在PID控制策略下用PCI1711數(shù)據(jù)采集卡采集鋼球位移、電磁鐵控制電壓，采樣周期為5 ms。為了使系統(tǒng)可辨識(shí)，要求小球盡可能在較大范圍內(nèi)穩(wěn)定懸浮，同時(shí)在系統(tǒng)的輸入端加入白噪聲信號(hào)以便更好地激發(fā)其動(dòng)態(tài)模式。應(yīng)用PID控制策略采集的觀測(cè)數(shù)據(jù)共取8 000個(gè)(如圖3所示)，其中前4 000個(gè)數(shù)據(jù)用于優(yōu)化模型階次和參數(shù)，后4 000個(gè)數(shù)據(jù)用于測(cè)試所估計(jì)的模型性能。從圖3可看出：該組數(shù)據(jù)設(shè)置鋼球跟蹤1個(gè)變化多樣的信號(hào)，盡可能地激發(fā)系統(tǒng)的各種模態(tài)，便于辨識(shí)、估計(jì)得到與實(shí)際系統(tǒng)更逼近的模型。利用這些觀測(cè)值，應(yīng)用SNPOM方法估計(jì)LFWRBF?ARX模型參數(shù)，綜合考慮AIC值及階躍動(dòng)態(tài)特性的原則反復(fù)訓(xùn)練和比較，得到模型階次為n=5，n=3，=1和n=1，訓(xùn)練和測(cè)試結(jié)果如圖4和圖5所示。