方永明

作為數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要思想，分類思想在近年初中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)水平考試壓軸題中的考查頻率還是較高的，以下就分三點(diǎn)說(shuō)說(shuō)分類思想在作圖法探究多邊形存在性問(wèn)題中的應(yīng)用：

一、已知直角三角形的兩頂點(diǎn)，探究第三個(gè)頂點(diǎn)

例1（云南2015中考第23題（2）問(wèn)）：如圖，在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使得以B、C、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

分類討論：

①若以∠BCP為90°，則該點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)C作BC的垂線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即如圖中的點(diǎn)P1；

②若以∠CBP為90°，則該點(diǎn)為過(guò)點(diǎn)B作BC的垂線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即如圖中的點(diǎn)P2；

③若以∠BPC為90°，則該點(diǎn)為以BC為直徑的圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即如圖中的點(diǎn)P3、P4。

二、已知等腰三角形的兩頂點(diǎn)，探究第三個(gè)頂點(diǎn)

例2（2015煙臺(tái)24題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與⊙M相交于A，B，C，D四點(diǎn)，期中A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，2），點(diǎn)D在x軸上而AD為⊙M的直徑，點(diǎn)E是⊙M與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)。過(guò)劣弧BC的點(diǎn)F作FH⊥AD于點(diǎn)H，且FH=1.5.

（3）問(wèn)：在此拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)Q，使△QCM是等腰三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由。

分類討論：

①若以點(diǎn)M為頂角頂點(diǎn)，則該點(diǎn)為⊙M與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即如圖中的點(diǎn)Q1，Q2

②若以點(diǎn)C為頂角頂點(diǎn)，則該點(diǎn)為以點(diǎn)C為圓心，CM為半徑的圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即如圖中的點(diǎn)Q3；

③若以點(diǎn)Q為頂角頂點(diǎn)，則該點(diǎn)為線段CM的垂直平分線與對(duì)稱軸的交點(diǎn)，即如圖中的點(diǎn)Q4。

三、已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)，探究第四個(gè)頂點(diǎn)。

例3：如圖，直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A、B。拋物線經(jīng)過(guò)A、B，并與x軸交于一點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P。

（2）問(wèn)：在圖中求一點(diǎn)Q，使Q、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)。

分類討論：

①若以線段AB為對(duì)角線，則該點(diǎn)為點(diǎn)C關(guān)于線段AB的中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，即如圖中的點(diǎn)Q1；

②若以線段AC為對(duì)角線，則該點(diǎn)為點(diǎn)B關(guān)于線段AC的中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，即如圖中的點(diǎn)Q2；

③若以線段BC為對(duì)角線，則該點(diǎn)為點(diǎn)A關(guān)于線段BC的中點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，即如圖中的點(diǎn)Q3。

對(duì)于此類題的解答，只有應(yīng)用分類思想，對(duì)可能的情況進(jìn)行逐一討論，才能盡量避免漏解。

參考文獻(xiàn)：

[1]人教版初中數(shù)學(xué)教材 《2015云南中考真題超詳解（數(shù)學(xué)）》.