徐菊萍

圓是最常見、最完美的圖形，是簡單而又特殊的曲線， 它有獨特的對稱性與旋轉(zhuǎn)不變性：圓是軸對稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸，垂徑定理及推論體現(xiàn)了圓的軸對稱性；圓是中心對稱圖形，弧、弦與圓心角之間的關(guān)系體現(xiàn)了圓的旋轉(zhuǎn)對稱性.

圓又與直線圖形有著密切的關(guān)系，圓的一些性質(zhì)可以利用直線知識證明，而圓的知識又為研究直線圖形的性質(zhì)提供了新的內(nèi)容.圓與直線圖形，成為平面幾何研究的兩個主要對象.圓貫穿于三角形、四邊形、解直角三角形等基本幾何圖形性質(zhì)的研究，也與其他知識點如代數(shù)函數(shù)、方程等相結(jié)合作為中考壓軸題，既可以從“數(shù)”的一面對它進行研究，也可以從“形”的一面對它進行研究，有很強的綜合性.下面我們結(jié)合2016中考題型，一起來深入解讀“圓”的學(xué)習(xí)策略.

一、 圓的基本概念和性質(zhì)

對于圓的基本概念、圓的對稱性及根據(jù)對稱性探索出的弧、弦、圓心角之間的關(guān)系、垂徑定理、圓周角、圓內(nèi)接四邊形等知識，多以填空題、選擇題形式出現(xiàn)，在綜合題及應(yīng)用題中常作為被考查的一個方面.

考點1 圓心角和圓周角

例1 （2016·山東濟寧）如圖1，在☉O中，=，∠AOB=40°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）.

A. 40° B. 30° C. 20° D. 15°

【解析】已知，在☉O中，=，∠AOB=40°，根據(jù)“同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，并且都等于所對圓心角的一半”可得∠ADC=∠AOB=20°，故答案選C.

【點評】有關(guān)圓周角的計算，我們在解答時，應(yīng)從圓周角與其所對應(yīng)的弧、圓心角、弦等方面考慮，不要忘記“在同圓或等圓中”這個重要前提.

例2 （2016·湖南婁底）如圖2，已知AB是☉O的直徑，∠D=40°，則∠CAB的度數(shù)為（ ）.

A. 20° B. 40° C. 50° D. 70°

【解析】根據(jù)圓周角推論“在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等”可得∠B=∠D=40°，“直徑所對的圓周角是直角”得∠ACB=90°，所以∠CAB=180°-90°-40°=50°，故選C.

【點評】利用圓周角推論“直徑所對的圓周角是直角”，常常需要添加輔助線，“連直徑”或者“連弦”構(gòu)成“直徑所對的圓周角”，從而將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，為進行角、線段之間的相互轉(zhuǎn)化開辟途徑.

變式1 如圖3，△ABC內(nèi)接于☉O，弦AD⊥AB交BC于點E，過點B作☉O的切線交DA的延長線于點F，且∠ABF=∠ABC.求證：AB=AC.

【解析】此題策略是連直徑，得直角三角形.

如圖4，連接BD，可得BD是直徑，根據(jù)同角的余角相等的性質(zhì)得∠ABF=∠D，根據(jù)同弧所對的圓周角相等得∠D=∠C，再根據(jù)∠ABF=∠ABC，可證得∠ABC=∠C，即可得AB=AC.

變式2 （ 2016·江蘇揚州）如圖5，☉O是△ABC的外接圓，直徑AD=4，∠ABC=∠DAC，則AC長為（ ）.

【解析】此題策略是連弦，得直角三角形.

如圖6，連接CD，依據(jù)“弧、弦、圓心角的關(guān)系”定理：在同圓或等圓中，如果兩條?。踊?、優(yōu)?。?、兩條弦、兩個圓心角中有一組量對應(yīng)相等，那么它們所對應(yīng)的其余各組量也分別（對應(yīng)）相等，及圓周角定理和推論，由∠ABC=∠DAC可得=，得出AC=CD，又AD為直徑，得∠ACD=90°，由等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理（或三角函數(shù)），可求得在Rt△ACD中，AC=CD=AD=×4=2.

【反思】這幾題用“圓”糅合了三角形和圓的基本知識，以及利用輔助線轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，分別從不同的角度考查對圓的對稱性的理解情況，考查對圖形的識別能力、觀察分析能力以及綜合運用知識的能力.

考點2 垂徑定理

例3 （2016·湖北黃石）如圖7所示，☉O的半徑為13，弦AB的長度是24，ON⊥AB，垂足為N，則ON=（ ）.

A. 5 B. 7 C. 9 D. 11

【解析】已知☉O的半徑為13，弦AB的長度是24，ON⊥AB，垂足為N，由垂徑定理可得AN=BN=12，再由勾股定理可得ON=5，故答案選A.

【點評】垂徑定理常常結(jié)合勾股定理，在做與半徑和弦都有關(guān)的計算時，作輔助線的方法是“既作弦心距又連半徑”，構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決.

公式：半弦

a2+弦心距d2=半徑r2（其中a為弦長，d為弦心距，r為半徑）.

變式3 直徑為52厘米的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖8，若油最大深度為16厘米.那么油面寬度AB的長是多少厘米？

【解析】此題策略是“既作弦心距又連半徑”，得直角三角形.

連接OA，作OC⊥AB于C，則AC=BC=AB.

在Rt△OAC中，OA=×52=26，OC=26-16=10，

∴AC===24.

∴AB=2AC=48（厘米）.

考點3 圓內(nèi)接四邊形

例4 （2016·湖南婁底）如圖9，四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形，已知∠C=∠D，則AB與CD的位置關(guān)系是________.

【解析】已知四邊形ABCD為☉O的內(nèi)接四邊形，由圓內(nèi)接四邊形的對角互補的性質(zhì)可得∠A+∠C=180°，又因∠C=∠D，可得∠A+∠D=180°，所以AB∥CD.

【點評】四個頂點共圓，要學(xué)會聯(lián)系“對角互補”和特殊四邊形中的知識，對解決角度計算、線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系有重要作用.

二、 與圓有關(guān)的位置關(guān)系

與圓有關(guān)的位置關(guān)系涉及的知識點主要有：點到圓心的距離d與圓的半徑之間的聯(lián)系，圓心到直線的距離d與圓的半徑之間的聯(lián)系，兩圓的圓心距d與兩圓的半徑之間的聯(lián)系，圓的切線性質(zhì)定理與判定定理等，一般以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，在解答題、探究題中作為主要考查目標(biāo)也常出現(xiàn)，這部分內(nèi)容不僅以考查基礎(chǔ)知識的形式出現(xiàn)，而且還以考查綜合運用能力的形式出現(xiàn).

考點4 點、線、圓與圓的位置關(guān)系

例5 （2016·湖南永州）如圖10，給定一個半徑長為2的圓，圓心O到水平直線l的距離為d，即OM=d.我們把圓上到直線l的距離等于1的點的個數(shù)記為m.如d=0時，l為經(jīng)過圓心O的一條直線，此時圓上有四個到直線l的距離等于1的點，即m=4，由此可知：

（1） 當(dāng)d=3時，m=________；

（2） 當(dāng)m=2時，d的取值范圍是________.

【解析】（1） 當(dāng)d=3時，因為3>2，即d>r，直線與圓相離，則m=1；

（2） 當(dāng)d=3時，m=1；當(dāng)d=1時，m=3；所以當(dāng)1

【點評】與圓有關(guān)的位置關(guān)系，應(yīng)了解點和圓、直線和圓、圓與圓共有幾種位置關(guān)系，并要能靈活運用數(shù)形結(jié)合思想，恰當(dāng)?shù)剡\用數(shù)量關(guān)系來判斷位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

考點5 切線的性質(zhì)和判定

例6 （2016·廣東廣州）如圖11，以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB是小圓的切線，點P是切點，AB=12，OP=6，則劣弧AB的長為_______.（結(jié)果保留π）

【解析】因為AB是切線，P為切點，由切線性質(zhì)“圓的切線垂直于過切點的半徑”和“垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦”，可得AP=BP=6，連接半徑OA或OB，由勾股定理可得OB=12，再由垂徑定理和圓心角定理，可得劣弧AB所對的圓心角∠AOB=120°，再由弧長公式可得劣弧AB的長為8π.

例7 （2016·湖北黃石）如圖12，☉O的直徑為AB，點C在圓周上（異于A，B），AD⊥CD.

（1） 若BC=3，AB=5，求AC的值；

（2） 若AC是∠DAB的平分線，求證：直線CD是☉O的切線.

【解析】（1） 根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，可得∠ACB=90°，再由勾股定理即可求得AC=4；

（2） 連接過圓上的點C的半徑，根據(jù)角平分線性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)，∴∠DAC=∠OCA，即AD∥OC，又∵AD⊥DC，∴OC⊥DC，∴DC是☉O的切線.

【點評】重點知識：切線的識別與特征.

遇到有切線時，一般要引過切點的半徑，以便利用切線的性質(zhì)定理，得到垂直，進而得到直角三角形，從而使思考簡化；或連接要證的切線與圓的交點，以便判定切線.

三、 與圓有關(guān)的計算

與圓有關(guān)的計算涉及范圍較廣，主要有線段的長度、角度、弧長、陰影部分面積、扇形面積、圓柱側(cè)面積、圓錐的側(cè)面積計算，這里我們主要研究弧長、扇形面積、圓柱圓錐的側(cè)面積和全面積.

考點6 弧長、扇形面積

例8 （2016·湖南長沙）如圖13，扇形OAB的圓心角為120°，半徑為3，則該扇形的弧長為________.（結(jié)果保留π）

【解析】已知扇形OAB的圓心角為120°，半徑為3，根據(jù)弧長公式可得扇形的弧長為=2π.

例9 （2016·浙江寧波）如圖14，半圓O的直徑AB=2，弦CD∥AB，∠COD=90°，則圖中陰影部分面積為________.

【解析】已知CD∥AB，根據(jù)“同底等高的兩個三角形的面積相等”可得S△ACD=S△COD，所以S陰影=S扇形COD==.

【點評】熟知計算公式是關(guān)鍵，還要學(xué)會通過作圖、識圖、閱讀圖形探索弧長、扇形及其組合圖形面積的計算方法和解題規(guī)律，把不規(guī)則圖形的問題轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的問題（例題9是利用同底等高進行了轉(zhuǎn)化）.本考點應(yīng)注意：

（1） 在弧長的計算公式中，n是表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不要帶單位；

（2） 題設(shè)未標(biāo)明精確度的，可以將弧長用π表示；

（3） 正確區(qū)分弧、弧的度數(shù)、弧長三個概念，度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等，弧長相等的弧不一定是等弧，只有在同圓或等圓中，才有等弧的概念，才是三者的統(tǒng)一.

考點7 圓柱、圓錐的側(cè)面積和全面積

例10 （2016·浙江寧波）如圖15，圓錐的底面半徑r為6 cm，高h(yuǎn)為8 cm，則圓錐的側(cè)面積為（ ）.

A. 30π cm2 B. 48π cm2

C. 60π cm2 D. 80π cm2

【解析】根據(jù)勾股定理可求得圓錐的母線長為10 cm，再由圓錐的側(cè)面積公式得S=πRl=π×6×10=60π（cm2）.

【點評】正確區(qū)分圓錐側(cè)面展開圖中各元素與圓錐間的各元素的對應(yīng)關(guān)系是處理此類問題的關(guān)鍵.比如圓錐的側(cè)面積就是其展開扇形的面積，所以應(yīng)掌握扇形面積計算公式以及圓錐與扇形之間的聯(lián)系.

分析近年“與圓有關(guān)的計算”的中考題，不難發(fā)現(xiàn)，“與圓有關(guān)的計算”離不開解直角三角形，特別是勾股定理，而解直角三角形離不開直角三角形，因而如何構(gòu)造直角三角形是必須掌握的；另外在涉及弧長、扇形面積的計算時，要靈活運用相關(guān)的計算公式，要弄清楚圓錐的高、母線、底面的半徑與圓錐的側(cè)面展開圖之間的內(nèi)在聯(lián)系.

“圓”是我們學(xué)習(xí)的第一個曲線圖形，在圖形認(rèn)識上是一個飛躍.圓的復(fù)習(xí)應(yīng)緊緊圍繞基本概念、基本圖形、重要定理及圓的有關(guān)計算進行，要在復(fù)雜圖形中分解出基本圖形，或通過添加適當(dāng)輔助線，構(gòu)造或分解基本圖形，將復(fù)雜問題簡單化.

另外，要體會圓中一些隱含條件的作用，如“同弧所對的圓周角相等”“半徑都相等”等，培養(yǎng)挖掘隱含條件的意識和能力.

“萬變不離其宗”，如何游刃有余地解決圓的問題，除了熟悉基本知識基本圖形以外，還要注意滲透轉(zhuǎn)化的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、方程的思想、由特殊到一般的思想、分類討論的思想方法以及運動變化、變中不變等觀點.

相信大家定能利用“圓”進一步地把初中幾何知識系統(tǒng)化，培養(yǎng)應(yīng)用意識，拓展數(shù)學(xué)思維，豐富解決數(shù)學(xué)問題的方法與手段，提高綜合運用能力、創(chuàng)新意識和實踐的能力，對初中的幾何知識有一個整體上的了解，把教材內(nèi)容融會貫通，使數(shù)學(xué)能力實現(xiàn)一個“質(zhì)”的飛躍！

（作者單位：江蘇省南京師范大學(xué)附屬蘇州石湖中學(xué)）