陳 雷鄭德忠廖文喆

（1. 燕山大學河北省測試計量技術(shù)及儀器重點實驗室 秦皇島 066004 2. 東北石油大學秦皇島分校 秦皇島 066004 3. 河北工業(yè)大學控制科學與工程學院 天津 300130）

基于壓縮感知的含擾動電能質(zhì)量信號壓縮重構(gòu)方法

陳 雷1,2鄭德忠1廖文喆3

（1. 燕山大學河北省測試計量技術(shù)及儀器重點實驗室 秦皇島 066004 2. 東北石油大學秦皇島分校 秦皇島 066004 3. 河北工業(yè)大學控制科學與工程學院 天津 300130）

針對電能質(zhì)量信號的壓縮重構(gòu)問題，提出了一種應(yīng)用壓縮感知理論對電能質(zhì)量信號進行壓縮采樣和非線性恢復(fù)的方法。首先對含有擾動的電能質(zhì)量信號的稀疏性和可壓縮性進行了分析，并對現(xiàn)有的典型貪婪恢復(fù)算法的特性進行了研究，然后結(jié)合有代表性的SP和SAMP兩種算法的優(yōu)點，提出了一種改進的BSMP算法。應(yīng)用包括BSMP在內(nèi)的幾種貪婪算法對含有諧波、間諧波、電壓暫升和暫降等穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)擾動的電能質(zhì)量信號的壓縮重構(gòu)性能進行仿真分析，仿真結(jié)果說明了BSMP算法恢復(fù)混合或單一擾動的電能質(zhì)量信號的可行性。與現(xiàn)有貪婪算法相比，BSMP無需稀疏度先驗，可以用較快的速度和更高的壓縮比以100%的概率實現(xiàn)成功重構(gòu)。

壓縮感知 匹配追蹤 重構(gòu)算法 稀疏表示 電能質(zhì)量

0 引言

傳統(tǒng)的奈奎斯特（Nyquist）理論指出采樣頻率不能低于模擬信號頻譜中最高頻率的兩倍。近幾年提出的壓縮感知理論，建立在信號稀疏表示和逼近理論基礎(chǔ)上，打破了奈奎斯特理論的限制，是信號處理領(lǐng)域的一個新的研究方向。該理論指出，如果信號本身是稀疏或可壓縮的，或者在某種變換域下是稀疏或可壓縮的，則可以利用一種測量矩陣，將其投影到低維空間上，實現(xiàn)壓縮采樣。同時由于這種在低維空間上的投影采樣包含了重構(gòu)原始高維信號所需要的足夠信息，因此可以使用非線性運算從低維空間上的少量采樣測量值以高概率精確重構(gòu)原始信號[1-4]。

電能質(zhì)量是指電力系統(tǒng)公用電網(wǎng)供給的交流電能的品質(zhì)。依據(jù) IEEE 1159，電能質(zhì)量問題主要包括電壓和頻率偏差、電壓波動與閃變、三相不平衡、諧波和間諧波等穩(wěn)態(tài)擾動，以及電壓脈沖、振蕩、中斷、暫降和暫升等暫態(tài)擾動[5]。目前，隨著工業(yè)化的迅速發(fā)展，電網(wǎng)電能質(zhì)量問題變得越來越嚴峻，使其受到越來越多的關(guān)注，其研究范疇涉及去噪、壓縮、檢測、分類、評估和治理等幾大方面[6]。由于實際電能質(zhì)量信號的頻率范圍很寬，需要用較高的采樣頻率長時間不間斷地采集，導(dǎo)致其數(shù)據(jù)量十分龐大，加重了數(shù)據(jù)存儲和傳輸?shù)呢摀?，因此人們對電力信號?shù)據(jù)壓縮進行了大量研究，目前的研究大多是以小波理論為基礎(chǔ)。文獻[7,8]將基于小波或小波包變換系數(shù)的門限方法應(yīng)用于電能質(zhì)量檢測數(shù)據(jù)的壓縮，取得了一定的效果。文獻[9,10]將小波與編碼技術(shù)相結(jié)合，進一步提高了壓縮效率。文獻[11,12]引入二維小波實現(xiàn)壓縮。文獻[13]設(shè)計了一種基于模式相似性測度的電能質(zhì)量信號壓縮方法，其計算量遠低于小波方法，但壓縮比受頻率波動影響較大，且可能丟失部分數(shù)據(jù)。以上壓縮算法基本都是針對暫態(tài)或故障數(shù)據(jù)特征而設(shè)計的，且均建立在Nyquist定理基礎(chǔ)上。必須先高速采樣包含大量冗余信息的數(shù)據(jù)，然后丟棄大量的非重要數(shù)據(jù)實現(xiàn)壓縮，造成了采樣和存儲資源的浪費。

如果利用壓縮感知理論，可以用遠低于Nyquist頻率的采樣率，直接采集到包含電能質(zhì)量信號重要特征的少量采樣值，實現(xiàn)數(shù)據(jù)采集和壓縮的同步進行，從而大大降低采樣、存儲和傳輸?shù)某杀?。本文在壓縮感知理論下，對電能質(zhì)量信號的壓縮采樣與重構(gòu)問題進行研究，并在已有壓縮感知重構(gòu)算法的基礎(chǔ)上提出了一種性能更好的算法，將其應(yīng)用于含擾動電能質(zhì)量信號的重構(gòu)上，并對其進行了理論和仿真分析，證明了其有效性。

1 信號的稀疏性和可壓縮性

信號的稀疏表示是壓縮感知理論的基礎(chǔ)和先決條件?？紤]一種實值、有限長度的一維離散信號f∈RN，可看作具有N個元素的N×1維列向量。任何信號可以用N×1維基向量{ψi}, i=1,…,N的線性組合來表示，簡化起見，假定基是正交的，使用N×N的基矩陣Ψ ={ψ1|ψ2|…|ψN}，其中{ψi}為矩陣的列，則信號f可表達為

這里x是N×1維的列向量，如果f是K個基向量的線性組合，K＜＜N，也就是式（1）中只有少量K個系數(shù)xi非零，其余N?K個系數(shù)為0，則稱K是稀疏的；如果系數(shù)xi∈RN按一定量級呈現(xiàn)指數(shù)衰減，即只有少量K個大系數(shù)和大量小系數(shù)，則信號f是可壓縮的，可以用這K個大系數(shù)很好地逼近[14,15]。

通常，變換基需要根據(jù)信號的特點來選取，常用的變換基主要有：離散余弦變換（Discrete Consine Transform, DCT）基、離散傅里葉變換（Discrete Fourier Transform, DFT）基、離散小波變換基、Curvelet基、Gabor基以及冗余字典等。

譜分析表明，含有諧波、間諧波穩(wěn)態(tài)擾動的電能質(zhì)量信號在傅里葉變換基下具有頻域稀疏性，而對于含有電壓暫升、暫降等暫態(tài)擾動的信號具有頻域可壓縮信號的性質(zhì)。即電能質(zhì)量擾動信號在合適的變換域下具有稀疏性或可壓縮性。

2 壓縮感知采樣及重構(gòu)原理

2.1稀疏信號的壓縮感知問題

假設(shè)x∈RN是在時域只有K（K＜N）個非零元素的未知稀疏信號，u∈RM是x在M個非適應(yīng)線性測量下的觀測值，Φ =[?1?2… ?M]T∈RM×N（M＜＜N, ?i∈RN）為壓縮感知中的壓縮采樣測量矩陣，M為測量維數(shù)，則有

壓縮感知問題是通過M個壓縮采樣測量值u，通過非線性重構(gòu)算法，恢復(fù)N維稀疏信號x的過程。

2.2變換域下稀疏信號的壓縮感知問題

實際上，絕大多數(shù)自然信號本身在時域上并不稀疏，而是在某種變換域或者字典下是稀疏或可壓縮的，如上節(jié)提到的電能質(zhì)量信號。考慮一種通用的非適應(yīng)線性測量過程

2.3壓縮感知測量矩陣

對于式（3）的求解問題，由于M＜N，這個問題變成一個病態(tài)問題。然而，如果x中非零系數(shù)的K個位置已知，那么在K≤M的情況下，該問題有解的充要條件是：對于任意有K個非零項的向量x，滿足

2.4壓縮感知重構(gòu)算法

根據(jù)以上論述，本節(jié)討論變換域下稀疏或可壓縮的電能質(zhì)量信號的壓縮感知求解問題。

最小l0范數(shù)等效于使求解得到的非零系數(shù)的個數(shù)最少，即信號最稀疏，因此求解式（3）的很自然的想法是在l0范數(shù)最小框架下求解

但求解式（5）是個完全的NP（non-deterministic polynomial）難問題，需要窮舉 x中 K個非零項的所有種可能的位置。D. L. Donoho證明了l1范數(shù)為最接近l0范數(shù)的凸函數(shù)[17]，基于線性規(guī)劃問題的l1范數(shù)最優(yōu)化能夠得到與l0范數(shù)同樣的解。因此式（5）可以轉(zhuǎn)化為如下求解l1范數(shù)最小問題。

這類算法稱為l1-LP（liner program）重構(gòu)算法，由于該類算法是求解全局最優(yōu)解，所以算法具有極高的準確度和穩(wěn)定性。主要有基追蹤法、梯度投影法、內(nèi)點法、迭代閾值法和迭代加權(quán)最小二乘法等。然而，l1-LP重構(gòu)算法需要對其進行線性規(guī)劃，計算量大，導(dǎo)致算法復(fù)雜度極高、速度很慢。因此，人們又提出了求取次最優(yōu)解的基于貪婪迭代匹配追蹤的系列算法，該系列算法是通過逐步選取對壓縮測量值產(chǎn)生最大影響的列向量來實現(xiàn)對原始信號的最優(yōu)估計。目前主要有：MP、OMP、StOMP、ROMP、SP、CoSaMP和SAMP等算法[18-21]。除了以上兩大類算法外，還有貝葉斯類算法和組合算法等。

3 后向子空間匹配追蹤重構(gòu)算法

由于貪婪匹配追蹤類算法結(jié)構(gòu)簡單、速度快且更具實用性，因此本文通過研究現(xiàn)有一系列貪婪算法，結(jié)合幾種算法的優(yōu)點，提出了一種后向子空間匹配追蹤（Backward Subspace Matching Pursuit, BSMP）算法。

基于迭代貪婪追蹤思想的早期算法是 MP和OMP，后來又出現(xiàn)了分段正交匹配追蹤 StOMP算法和正則化正交匹配追蹤ROMP，這些算法的重構(gòu)復(fù)雜度為O（KMN），要比l1-LP類算法低得多。但要實現(xiàn)精確重構(gòu)，需要更多的測量值，并且不能保證重構(gòu)質(zhì)量。因此一些基于回溯思想的貪婪算法被提出來，有代表性的是子空間追蹤 SP和壓縮采樣匹配追蹤CoSaMP，它們提供了類似l1-LP方法的重構(gòu)質(zhì)量的理論保證以及更低的重構(gòu)復(fù)雜度。SP和CoSaMP算法并不像 OMP類算法那樣每次迭代選出Θ中的一個或幾個列向量，而是在第一次迭代就選出Θ中的K個列向量，然后通過繼續(xù)迭代，不斷優(yōu)化這K個列向量，進而得到最優(yōu)的向量集合，用來重構(gòu)信號。

但是，SP和CoSaMP都假定稀疏度K為已知，因此，需要預(yù)先估計K值。文獻[21]通過實驗證明，如果低估了K值，會導(dǎo)致算法不能精確恢復(fù)信號，如果K值估計過高，會大幅度降低算法的重構(gòu)準確度和魯棒性。可見，如果K的估計與真值相差太遠，SP算法的性能降低很快，CoSaMP算法也有類似的情況。鑒于此，文獻[21]提出的稀疏自適應(yīng)匹配追蹤算法SAMP，可以處理稀疏度K未知的信號，提供了基于最優(yōu)化方法的理論保證，并且具有比以上算法更優(yōu)秀的重構(gòu)性能。

本文結(jié)合 SP和 CoSaMP算法的回溯思想和SAMP的稀疏度自適應(yīng)思想，在 SP算法基礎(chǔ)上進行改進，提出一種采用回溯思想和盲稀疏度估計的BSMP算法，并將其應(yīng)用到電能質(zhì)量信號的重構(gòu)中。為了說明該算法，首先對 SP算法的思想及實現(xiàn)方法進行簡要介紹如下：

（1）輸入：Θ，u，稀疏度估計K。

SP算法的特點是，在稀疏度K估計較準確的情況下效率很高，該算法每次迭代，通過執(zhí)行刪除步驟進行回退篩選，使整個迭代一直保留著長度為 K的支撐估計集，通過幾次迭代即可得到稀疏解向量。

SP算法基于迭代擴展和收縮支撐集合，從而允許在支撐估計中添加和刪除錯選的非零索引。但是，需要預(yù)先估計稀疏度 K，使支撐大小在迭代過程中保持不變，這對于大多數(shù)實際應(yīng)用是個障礙。

BSMP算法采用 SP的通過回溯迭代擴展和收縮支撐集合，并吸收SAMP的按照指定步長擴展支撐，進而實現(xiàn)稀疏自適應(yīng)的思想，在不需要稀疏度先驗估計的情況下，實現(xiàn)重構(gòu)。該算法的實現(xiàn)步驟如下：

（1）輸入：Θ，u，前向步長L1，后向步長L2。

④ 將xp后L2個幅值最小項的坐標存入集合I2，即中幅值最小的L2個元素的索引}。

⑦ 滿足循環(huán)條件，則重復(fù)執(zhí)行步驟①～⑥，否則跳出循環(huán)，并輸出解向量

BSMP算法的迭代過程可描述如下：

電能質(zhì)量擾動復(fù)雜多樣，其稀疏度無法預(yù)先確定，BSMP綜合了SP的高效性和SAMP不需要稀疏先驗的優(yōu)點，無需預(yù)先估計電能質(zhì)量信號的稀疏度K，每次迭代，按步長擴展支撐集，這樣反復(fù)迭代，直到觀測向量的殘差能量不滿足循環(huán)條件或迭代次數(shù)達到指定的最大次數(shù)Km，即可得到稀疏解向量x，進而可用稀疏基重構(gòu)電能質(zhì)量信號。

4 仿真分析

4.1重構(gòu)性能指標

相對方均根誤差（Relative Root Mean Square Error, RRMSE），簡稱相對誤差，其表達式為

重構(gòu)信噪比（Signal to Noise Ratio, SNR）為

壓縮比（Compression Ratio, CR）為

4.2重構(gòu)成功條件

4.3仿真

Ψ 采用正交傅里葉變換基，每次隨機產(chǎn)生新的高斯分布測量矩陣Φ。對于 BSMP算法，參考文獻[22]中所述的方法，同時通過大量仿真得到，當取前向步長約為后向步長即擴展步長為2，可以兼顧不同M下的恢復(fù)性能與運算速度；同樣，對于SAMP算法中的步長取2。

4.3.1含有諧波擾動的重構(gòu)

設(shè)電能質(zhì)量測試信號中含有3次、5次和7次諧波擾動，所用信號模型為

采樣率1.6kHz，原始信號長度N=1 600，譜分析可知，其傅里葉正交基下的稀疏度為8。

假設(shè)信號的實際稀疏度未知，這里稀疏度估計為K=10和20，分別進行仿真分析。并對每個M重復(fù)100次仿真，計算成功重構(gòu)概率。圖1a和圖1b分別給出了K=10和K=20時的成功重構(gòu)概率曲線，x軸代表測量值M，y軸代表成功重構(gòu)的概率。可見相同的M下，BSMP實現(xiàn)了相對更高的重構(gòu)概率，SP和CoSaMP的稀疏度估計與實際值相差越大，重構(gòu)性能越差。根據(jù)圖1b，可以得到表1，即100%成功重構(gòu)時，各種算法的最小M值及其對應(yīng)的壓縮比CR。表2給出了K=20、M=80，成功重構(gòu)概率均為100%時，各種算法的平均運行時間。

圖1　含有諧波穩(wěn)態(tài)擾動的電能質(zhì)量信號在不同算法下的成功重構(gòu)概率與M的關(guān)系Fig.1 Probability of successful recovery of power quality signal with harmonic vs the number of measurements M under different algorithms

表1　不同算法下的重構(gòu)壓縮比（N=1 600 K=20）Tab.1 Compression ratio of each algorithm

表2　不同算法的平均運行時間（N=1 600 M=80 K=20）Tab.2 Average run time of each algorithm

整體而言，BSMP算法無需估計稀疏度，且與SAMP算法相比具有時間優(yōu)勢，同時可用較少的壓縮采樣值，以更高的壓縮比實現(xiàn)重構(gòu)。

4.3.2含有諧波、間諧波擾動的重構(gòu)

設(shè)電能信號包含有3次、5次、7次和11次諧波，間諧波頻率有72Hz、120Hz、453Hz和511Hz，表達式為

采樣率1.6kHz，信號長度N=1 600，其傅里葉正交基下的稀疏度為18。

這里取稀疏度估計值K=30，對應(yīng)每個M值重復(fù)仿真 100次，計算成功重構(gòu)的概率，得到如圖 2所示的曲線?？梢?，相同的M取值下，BSMP、SAMP算法的成功重構(gòu)概率最高，OMP次之，SP、CoSaMP性能較差。表 2給出了K=30，M=120時幾種算法的平均運行時間。綜合圖 2和表 3，可見，BSMP算法的綜合重構(gòu)性能最好。

圖2　含有諧波、間諧波穩(wěn)態(tài)擾動的電能質(zhì)量信號在不同算法下的成功重構(gòu)概率與M的關(guān)系Fig.2 Probability of successful recovery of power quality signal with harmonic and interharmonic vs the number of measurements M under different algorithms

表3　不同算法的平均運行時間（N=1 600 M=120 K=30）Tab.3 Average run time of each algorithm

4.3.3稀疏基下的可壓縮電能質(zhì)量信號的重構(gòu)

含有電壓中斷、暫升、暫降和振蕩等暫態(tài)擾動的電能質(zhì)量信號，在傅里葉變換基下具有可壓縮性。由于可壓縮信號的稀疏度更加難于估計，因此這里僅對具有稀疏度自適應(yīng)的BSMP和SAMP兩種算法進行對比仿真，對應(yīng)每個M值重復(fù)仿真100次，計算成功重構(gòu)概率，仍取N=1 600，采樣率1.6kHz。各種擾動組合的種類復(fù)雜多樣，這里考慮包含如下兩種典型擾動信號的重構(gòu)，設(shè)信號在 1 000～1 280的采樣點處產(chǎn)生幅度為20%的暫升或暫降，對應(yīng)的時間是t1～t2。

1）對于只包含有電壓暫升的單一擾動的電能質(zhì)量信號，所用信號模型為

成功重構(gòu)的概率曲線如圖3所示，圖中，BSMP 和SAMP兩種算法的重構(gòu)概率曲線基本一致。

圖3　含有電壓暫升擾動的成功重構(gòu)概率對比Fig.3 Probability of successful recovery with voltage swell

取M=140時，即壓縮比為11∶1時，兩種算法成功重構(gòu)概率均為100%，仿真得到，BSMP的平均運行時間約為130ms，而SAMP約為420ms；BSMP下運行100次的RRMSE平均值為0.025，重構(gòu)信號的SNR平均值為32dB，與SAMP基本一致。圖4給出了BSMP算法下，M=140時，原始信號（見式（13））、重構(gòu)信號及重構(gòu)誤差的波形。

圖4　基于BSMP的含電壓暫升擾動重構(gòu)波形Fig.4 Reconstruction waveforms with voltage swell using BSMP

2）對于同時含有諧波、間諧波和電壓暫降的復(fù)合擾動電能質(zhì)量信號，所用信號模型為

成功重構(gòu)概率曲線如圖5所示，BSMP和SAMP兩種算法的重構(gòu)概率曲線也是基本一致的。取M= 160時，即壓縮比為10∶1時，BSMP的平均運行時間約為210ms，SAMP約為475ms；BSMP下運行100次的RRMSE平均值為0.033，重構(gòu)信號的SNR平均值為30dB，與SAMP基本一致。圖6給出了BSMP算法下，M=160時，原始信號式（14）、重構(gòu)信號及重構(gòu)誤差的波形。

圖5　含有復(fù)合擾動的成功重構(gòu)概率對比Fig.5 Probability of successful recovery with mixed disturbances

圖6　基于BSMP的含復(fù)合擾動重構(gòu)波形Fig.6 Reconstruction waveforms with mixed disturbances using BSMP

以上采用BSMP和SAMP兩種算法對信號式（13）和式（14）的重構(gòu)仿真表明，相同重構(gòu)條件下兩種算法的重構(gòu)概率曲線和重構(gòu)指標基本一致，但BSMP算法的速度更快。

進一步實驗得到，適當減小壓縮比，可以進一步減小RRMSE，并提高SNR。當取M=400，即壓縮比減小到4∶1時，BSMP算法下，分別對式（13）和式（14）所示信號進行壓縮感知重構(gòu)，運行 100次，得到RRMSE的平均值分別為0.015和0.018，SNR平均值分別為36.2dB和34.8dB，即通過犧牲壓縮比，獲得重構(gòu)性能的提升。另外，如果在確保成功重構(gòu)的壓縮比下，適當增加擴展步長，還可以進一步縮短BSMP算法的運行時間。

5 結(jié)論

將壓縮感知引入到電能質(zhì)量信號的壓縮重構(gòu)領(lǐng)域。對含有穩(wěn)態(tài)和暫態(tài)擾動的電能質(zhì)量信號的稀疏性和可壓縮性進行了分析，在壓縮感知理論下實現(xiàn)對電能質(zhì)量信號的壓縮采樣，并采用貪婪算法進行非線性重構(gòu)。仿真分析表明，所提出的BSMP貪婪算法可以在稀疏度未知的情況下，以更少的測量值，獲得比現(xiàn)有貪婪算法更好的重建效果，并且運行時間低于同樣具有盲稀疏度恢復(fù)的SAMP算法。理論分析和仿真結(jié)果表明，該方法信號重建速度較快，重構(gòu)效果更好，適合含擾動電能質(zhì)量信號的壓縮感知重構(gòu)應(yīng)用。

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Method Based on Compressed Sensing for Compression and Reconstruction of Power Quality Signals with Disturbances

Chen Lei1,2Zheng Dezhong1Liao Wenzhe3
（1. Key Laboratory of Measurement Technology and Instrumentation of Hebei Province Yanshan University Qinhuangdao 066004 China 2. Northeast Petroleum University at Qinhuangdao Qinhuangdao 066004 China 3. College of Control Science and Engineering Hebei University of Technology Tianjin 300130 China）

A method based on compressed sensing theory is proposed to realize the compressive sampling and nonlinear recovery. The compressibility and the sparsity of the disturbed power quality signals are analyzed, and the existing iterative greedy pursuit recovery algorithms are reviewed. Combined with the advantages of two typical algorithms SP and SAMP, an improved method named BSMP is proposed. Then the reconstruction performance of several typical greedy pursuit recovery algorithms are simulated and analyzed, using the power quality signals with steady or transient disturbances such as harmonics, interharmonics, voltage swell and sag, etc. Results verify the feasibility of the BSMP in recovering the power quality signals with mixed or single disturbances. Compared with the existing greedy algorithms, BSMP algorithm does not require sparsity level as prior information, and can realize the successful reconstruction absolutely with faster speed and higher compression ratio.

Compressed sensing, matching pursuit, reconstruction algorithm, sparse representation, power quality

TM74

陳 雷 男，1979年生，博士研究生，副教授，研究方向為電能質(zhì)量分析、智能檢測與信號。

E-mail: addisonqhd@163.com（通信作者）

鄭德忠 男，1949年生，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為系統(tǒng)仿真、信號處理、遙測遙控和先進控制等。

E-mail: lianxiangqhd@126.com

河北省自然科學基金（F2014203224）和秦皇島市科技支撐計劃（201302A042）資助項目。

2014-04-28 改稿日期 2015-01-06