崔婷玉，陳衛(wèi)松,丁緒星，武　闖，張　麗

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖241000)

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一種改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS算法及在車內(nèi)降噪中的應(yīng)用

崔婷玉，陳衛(wèi)松,丁緒星，武闖，張麗

(安徽師范大學(xué) 物理與電子信息學(xué)院，安徽 蕪湖241000)

為了提高傳統(tǒng)最小均方(LMS)算法的收斂速度，減小穩(wěn)態(tài)誤差，基于Sigmoid函數(shù)，提出一種改進(jìn)步長(zhǎng)因子μ的方法。該方法通過(guò)建立步長(zhǎng)因子μ和誤差信號(hào)e之間的非線性函數(shù)關(guān)系，并利用指數(shù)函數(shù)表示誤差信號(hào)e和可控參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對(duì)步長(zhǎng)因子μ進(jìn)行調(diào)整。算法收斂初期步長(zhǎng)因子μ相對(duì)較大，實(shí)現(xiàn)加快算法收斂速度的目的；算法收斂后期適度減小穩(wěn)態(tài)階段步長(zhǎng)因子μ，以達(dá)到減小算法穩(wěn)態(tài)誤差的目的。將該算法應(yīng)用于車內(nèi)噪聲的有源控制，并與LMS算法進(jìn)行仿真比較分析。仿真結(jié)果表明，相對(duì)于傳統(tǒng)LMS算法，該算法有效地加快了收斂速度，同時(shí)提高了系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

LMS算法;SVSLMS算法;變步長(zhǎng);車內(nèi)噪聲

0　引言

隨著人們生活質(zhì)量的提高，人們對(duì)于乘用車乘坐舒適度的要求也越來(lái)越高。對(duì)于乘用車來(lái)說(shuō)，車內(nèi)噪聲主要來(lái)源于發(fā)動(dòng)機(jī)和車身震動(dòng)輻射到車內(nèi)的噪聲，以400 Hz以下的低頻噪聲為主。自適應(yīng)主動(dòng)噪聲控制系統(tǒng)在低頻噪聲領(lǐng)域已獲得廣泛的應(yīng)用，是一種有效的乘用車車內(nèi)降噪方法。在自適應(yīng)主動(dòng)噪聲控制系統(tǒng)中，多采用LMS算法。LMS算法的步長(zhǎng)μ是固定值，步長(zhǎng)μ取值大，收斂速度快，但穩(wěn)態(tài)誤差較大，反之，步長(zhǎng)μ取值小，穩(wěn)態(tài)誤差較小，但收斂速度越慢。所以，LMS算法的收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差是一對(duì)矛盾。

為解決該問(wèn)題，研究人員提出很多種改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS算法，文獻(xiàn)[1]中提出的基于Sigmoid函數(shù)變步長(zhǎng)SVSLMS算法是其中具有代表性的變步長(zhǎng)LMS算法之一。該算法具有較快的收斂速度，但是Sigmoid函數(shù)在誤差信號(hào)e(n)接近零時(shí)變化太大，容易產(chǎn)生較大的穩(wěn)態(tài)誤差。文獻(xiàn)[2]中針對(duì)SVSLMS算法的不足進(jìn)行改進(jìn)，通過(guò)減小穩(wěn)態(tài)階段的調(diào)整步長(zhǎng)μ，有效地減小穩(wěn)態(tài)誤差，但是與SVSLMS算法相比，改進(jìn)后的算法計(jì)算復(fù)雜度高，收斂速度提高較小。文獻(xiàn)[3]中提出一種基于步長(zhǎng)和誤差信號(hào)之間的非線性關(guān)系的雙曲線正切函數(shù)變步長(zhǎng)LMS算法，該算法有較小的穩(wěn)態(tài)誤差，但是收斂速度提高較小。文獻(xiàn)[4]中提出一種步長(zhǎng)和誤差信號(hào)呈正弦函數(shù)關(guān)系的變步長(zhǎng)LMS算法，解決了LMS算法不能同時(shí)具有較快收斂速度和較小穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾，但是參數(shù)選取缺乏理論依據(jù)，只能通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)獲得。文獻(xiàn)[5-13]中用不同的方法提出步長(zhǎng)因子μ和誤差信號(hào)e之間的非線性函數(shù)關(guān)系的變步長(zhǎng)LMS算法，這些算法在改變步長(zhǎng)μ(n)時(shí)均遵循基本調(diào)整原則：在初始收斂階段，采用大的步長(zhǎng)，加快收斂速度，穩(wěn)態(tài)階段，采用較小的步長(zhǎng)，降低穩(wěn)態(tài)誤差。針對(duì)這種調(diào)整原則，本文在文獻(xiàn)[2]算法基礎(chǔ)上提出一種新的變步長(zhǎng)LMS算法，能夠有效地提高初始階段收斂速度，減小穩(wěn)態(tài)誤差。

1　改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS算法

文獻(xiàn)[1]提出一種基于Sigmoid函數(shù)的變步長(zhǎng)LMS算法-SVSLMS算法，其步長(zhǎng)μ(n)為：

(1)

式中，e(n)為誤差信號(hào)，α、β為常數(shù)。

SVSLMS算法的收斂范圍0<β<2/λmax(λmax是輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的最大特征值),克服了傳統(tǒng)LMS算法的收斂速度慢的不足，但是在穩(wěn)態(tài)階段的步長(zhǎng)較大，容易引起穩(wěn)態(tài)失調(diào)。

文獻(xiàn)[2]在文獻(xiàn)[1]基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS算法，步長(zhǎng)μ(n)為：

(2)

式中，α為控制函數(shù)形狀的常數(shù)，β為控制函數(shù)取值范圍的常數(shù)。

該算法符合變步長(zhǎng)算法調(diào)整準(zhǔn)則，收斂范圍0<β<1/λmax,克服了SVSLMS算法的穩(wěn)態(tài)誤差較大的不足，但是收斂速度提高較小。

(3)

在初始收斂階段，為了加快收斂速度，將文獻(xiàn)[2]變步長(zhǎng)函數(shù)中固定值1調(diào)整為可控值exp(α)，當(dāng)α>0，exp(α)>1，所以在條件相同的情況下，改進(jìn)后的算法在初始階段步長(zhǎng)較大，為符合當(dāng)誤差函數(shù)e(n)取零時(shí)，步長(zhǎng)也為零，將文獻(xiàn)[2]算法中的固定值2調(diào)整為h/exp(α)。因?yàn)棣?n)<[β·exp(α)]，所以本文算法β·exp(α)的最大值[β·exp(α)]max=1/λmax,本文算法收斂條件為α>0,0<[β·exp(α)]<1/λmax。

圖1中圖(a)、(b)是3種算法的步長(zhǎng)和誤差關(guān)系比較圖。

(a)α=1.5，β=0.000 05,3種算法比較曲線

(b)α、β取不同值，3種算法比較曲線圖1　3種算法步長(zhǎng)與誤差關(guān)系比較曲線

圖中，曲線1代表SVSLMS算法，曲線2代表文獻(xiàn)[2]算法，曲線3代表本文算法，為了便于比較，將圖1(a)中3種算法的參數(shù)α和β取相同值，α=1.5，β=0.000 05.初始階段誤差值e(n)相同時(shí)，曲線3的步長(zhǎng)最大，使得本文算法收斂速度最快，在穩(wěn)態(tài)階段，誤差值e(n)相同時(shí)，曲線3的步長(zhǎng)小于曲線1但大于曲線2，穩(wěn)態(tài)誤差小于SVSLMS算法但大于文獻(xiàn)[2]算法。所以本文算法克服了SVSLMS算法穩(wěn)態(tài)誤差大的問(wèn)題，同時(shí)也彌補(bǔ)了文獻(xiàn)[2]算法收斂速度提高較小的不足。

為了從數(shù)學(xué)角度更好地分析本文算法，根據(jù)本文參數(shù)變化規(guī)律α,β均取較大值，有利于加快本文算法初始收斂速度。圖1(b)中SVSLMS算法取值為α=2，β=0.5情況下，文獻(xiàn)[2]算法最佳取值為α=6，β=0.2，本文算法最佳取值為α=1.7，β=0.05，h=4，圖1(b)顯示在初始階段，誤差值e(n)相同時(shí)，曲線3的步長(zhǎng)最大，使得本文算法收斂速度最快，在穩(wěn)態(tài)階段，誤差值e(n)相同時(shí)，曲線3的步長(zhǎng)最小，獲得穩(wěn)態(tài)誤差最小，所以本文算法優(yōu)于另外2種算法。

圖2、圖3和圖4分別是當(dāng)參數(shù)h、α和β取不同值時(shí)，變步長(zhǎng)μ(n)和誤差函數(shù)e(n)的關(guān)系圖。從圖2中可以看出，h在初始階段對(duì)步長(zhǎng)影響較小，它對(duì)步長(zhǎng)函數(shù)的底部有很大的影響，也就是說(shuō)，在穩(wěn)態(tài)階段，它對(duì)步長(zhǎng)有較大的影響。如果h的值越大，步長(zhǎng)在曲線底部改變得就越慢，誤差函數(shù)e(n)趨于零時(shí)，步長(zhǎng)μ(n)越小，穩(wěn)態(tài)誤差越小。反之，h的值越小，穩(wěn)態(tài)誤差越大。所以結(jié)合文獻(xiàn)[2]和仿真結(jié)果取h=4。圖3和圖4表明，α和β參數(shù)的調(diào)整對(duì)初始階段步長(zhǎng)影響較大，決定了算法的收斂性能，但α和β的調(diào)整對(duì)步長(zhǎng)大小的影響不同，α和β參數(shù)均需調(diào)整。當(dāng)α和β取值越大，初始階段的步長(zhǎng)就越大，算法的收斂速度就越快。相反，α和β取值越小，初始階段的步長(zhǎng)就越小，算法的收斂速度就越慢。所以本文算法的步長(zhǎng)參數(shù)調(diào)整規(guī)則如下：在滿足算法不發(fā)散的前提下，選取較大的α、β和較小的h，可使算法具有較快的收斂速度和跟蹤速度。反之，選取較小的α、β和較大的h，會(huì)使算法具有較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)。實(shí)際應(yīng)用中，根據(jù)具體的情況，選擇適當(dāng)?shù)膆、α和β值，才能達(dá)到最佳的效果。

圖2　 h改變時(shí)μ(n)和e(n)的關(guān)系圖

圖3　 α改變時(shí)μ(n)和e(n)的關(guān)系圖

圖4　β改變時(shí)μ(n)和e(n)的關(guān)系圖

2　仿真研究結(jié)果分析

2.1收斂性能和抗噪能力仿真比較分析

為了驗(yàn)證本文算法在不同信噪比條件下的收斂性能和抗噪能力，對(duì)本文算法和另外3種算法進(jìn)行仿真對(duì)比實(shí)驗(yàn)。仿真條件如下：為說(shuō)明文中算法對(duì)處理信號(hào)的選取具有一般性，輸入信號(hào)選用被噪聲信號(hào)干擾的隨機(jī)信號(hào),其中噪聲信號(hào)r(n)為方差為1、均值為零的高斯白噪聲,濾波器階數(shù)為8。為了平衡收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差，固定步長(zhǎng)LMS算法的步長(zhǎng)μ=0.00 001。由于另外3種算法的α和β取值不具有一般性，在滿足0<[β·exp(α)]<1/λmax范圍內(nèi)隨機(jī)取相同值α=1.5，β=0.00 005。α和β取值如圖1(a)所示，4種算法在信噪比為10和15時(shí)誤差函數(shù)的MATLAB仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5(a)和(b)中曲線1代表LMS算法，曲線2代表SVSLMS算法，曲線3代表文獻(xiàn)[2]算法，曲線4代表本文算法，在圖5(a)中，曲線4誤差e(n)收斂于n=200，穩(wěn)態(tài)誤差e(n)<1，另外3條曲線n=200未收斂，穩(wěn)態(tài)誤差e(n)>1。圖5(b)中，曲線4收斂于n=50，另外3條曲線n=50時(shí)未收斂，曲線4穩(wěn)態(tài)誤差e(n)最小。仿真結(jié)果可以得出，相同條件下，曲線4的收斂速度要最快，穩(wěn)態(tài)誤差最小，結(jié)果進(jìn)一步驗(yàn)證了本文算法收斂速度快和抗噪能力強(qiáng)的特點(diǎn)。與固定步長(zhǎng)的LMS算法相比，本文算法的計(jì)算量增加了四次指數(shù)運(yùn)算、兩次除法運(yùn)算和四次加法運(yùn)算。

圖5　不同信噪比條件下，4種算法收斂曲線對(duì)比

2.2車內(nèi)噪聲控制仿真分析

為了分析本文算法在車內(nèi)降噪中的應(yīng)用，在車內(nèi)錄取一段噪聲信號(hào)導(dǎo)入MATLAB程序中，采用LMS算法和本文算法對(duì)車內(nèi)噪聲信號(hào)進(jìn)行自適應(yīng)濾波降噪。

仿真條件如下：讀取噪聲信號(hào)前1 000個(gè)采樣點(diǎn),選取輸入信號(hào)和期望信號(hào)中的前100個(gè)采樣點(diǎn)作為訓(xùn)練點(diǎn)構(gòu)建自適應(yīng)濾波器，隨機(jī)選取未參與訓(xùn)練的采樣點(diǎn)進(jìn)行自適應(yīng)濾波降噪處理。經(jīng)過(guò)多次實(shí)驗(yàn)，LMS算法的固定步長(zhǎng)最佳取值為μ=0.1，本文算法參數(shù)α，β取值為α=4，β=5?；贚MS算法和本文算法的自適應(yīng)濾波降噪結(jié)果如圖6所示，圖4中細(xì)實(shí)線為經(jīng)過(guò)自適應(yīng)LMS濾波器處理后的誤差信號(hào)波形，粗虛線為經(jīng)過(guò)本文算法構(gòu)建的自適應(yīng)濾波器處理后的誤差信號(hào)波形。

圖6　2種算法的誤差信號(hào)波形

圖6中分別是LMS算法和本文算法在自適應(yīng)濾波過(guò)程中的誤差波形曲線，它表明了自適應(yīng)濾波過(guò)程中誤差的變化過(guò)程。由圖6可知自適應(yīng)LMS濾波中的誤差波形(細(xì)實(shí)線)達(dá)到穩(wěn)態(tài)誤差的速度明顯比本文算法誤差曲線(粗虛線)要慢，同時(shí)本文算法在迭代過(guò)程中的誤差值明顯小于LMS算法。

通過(guò)建立基于LMS算法和本文算法的自適應(yīng)濾波器，并應(yīng)用于車內(nèi)噪聲的主動(dòng)控制的結(jié)果比較表明，本文算法抵消原始車內(nèi)噪聲效果較好，對(duì)LMS算法在迭代步長(zhǎng)取值矛盾問(wèn)題有所改善，具有更快的算法收斂速度和較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

3　結(jié)束語(yǔ)

提出了一種改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS算法，針對(duì)傳統(tǒng)LMS和SVSLMS算法在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差方面存在的不足，該算法在SVSLMS算法的基礎(chǔ)上，通過(guò)調(diào)節(jié)可變參數(shù)值，達(dá)到動(dòng)態(tài)選取步長(zhǎng)大小的目的，有效提高了算法的收斂速度，降低了算法的穩(wěn)態(tài)誤差，同時(shí)提高了算法在車內(nèi)降噪應(yīng)用中的降噪能力。該算法在后期需要在算法復(fù)雜度方面進(jìn)行研究改進(jìn)，減小相應(yīng)計(jì)算量。

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An Improved Variable-step-size LMS Algorithm and Its Application for Reducing Noise in Vehicles

CUI Ting-yu，CHEN Wei-song，DING Xu-xing，WU Chuang，ZHANG Li

(College of Physics and Electronic Information，Anhui Normal University，Wuhu Anhui 241000，China)

In order to improve the convergence speed and reduce the steady-state error of the traditional least mean square (LMS) algorithm，a method is proposed to improve the step factor μ based on the Sigmoid function.In the algorithm，a nonlinear relationship is established between the step factor μ and the error signal e.The error signal e and controllable parameters are expressed in exponential form to adjust the step size factor μ.The step factor μ is relatively large in the initial convergence stage to speed up convergence of the algorithm.In the later convergence stage，the step factor μ is moderately reduced to achieve the purpose of reducing the steady-state error.The proposed algorithm is applied to the active control of vehicle interior noise.The control effect of the algorithm is compared with that of the LMS algorithm.The simulation results show that the proposed algorithm accelerates the convergence rate and improves the stability of the system.

least mean square (LMS) algorithm；sigmoid variable step-size LMS (SVSLMS) algorithm；variable step size；vehicle interior noise

10.3969/j.issn.1003-3114.2016.05.20

引用格式：崔婷玉，陳衛(wèi)松,丁緒星，等.一種改進(jìn)的變步長(zhǎng)LMS算法及在車內(nèi)降噪中的應(yīng)用[J].無(wú)線電通信技術(shù),2016,42(5):80-84.

2016-06-06

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61401004)；安徽師范大學(xué)研究生科研創(chuàng)新與實(shí)踐項(xiàng)目(2014yks063)

崔婷玉(1991—)，女，碩士研究生，物聯(lián)網(wǎng)技術(shù)專業(yè)，主要研究方向：有源噪聲控制。陳衛(wèi)松(1973—)，男,副教授，碩士生導(dǎo)師，主要研究方向：音頻信號(hào)處理及噪聲控制。

TN911.23

A

1003-3114(2016)05-80-5