王益艷，伍世云

(四川文理學院智能制造學院，四川達州635000)

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關(guān)于斜坡信號的傅里葉變換探討
——從一則悖論談起

王益艷，伍世云

(四川文理學院智能制造學院，四川達州635000)

斜坡信號作為一種特殊的奇異信號，由于不滿足絕對可積的條件，在計算傅里葉變換時如果采用傳統(tǒng)方法往往會遇到困難.若采用傅里葉變換時域卷積定理，將導致一個悖論產(chǎn)生.從該悖論入手，對斜坡信號傅里葉變換的求解方法進行了探討，給出了三種新的計算方法，最后分析了悖論引起的原因.

斜坡信號；傅里葉變換；悖論；廣義函數(shù)

0　引 言

傅里葉變換是一種非常重要的時頻信號分析工具，已被廣泛應用于電力工程、通信和控制等領(lǐng)域.[1]對周期信號進行時頻分析時，需要利用其傅里葉級數(shù)展開，而求解傅里葉級數(shù)，必須滿足“狄利克雷”條件.[2]而對非周期信號而言，其傅里葉變換公式可表示為：[3]

(1)

其中，f(t)為時域連續(xù)信號，F(xiàn)(jω)為其對應的傅里葉變換.

一般來說，只要所給信號的上述積分收斂，其傅里葉變換就有意義.即要求滿足如下絕對可積的條件：[3]

(2)

其中，M為常量.但式(2)只是傅里葉變換存在的充分條件，并不是必要條件.某些常用信號(如周期信號、階躍信號、符號函數(shù)等)并不滿足式(2)絕對可積的條件，但可以借助廣義函數(shù)(如沖激函數(shù))的概念，[4]求解它們對應的傅里葉變換.

斜坡信號t·ε(t)作為一種特殊的奇異信號，顯然也不滿足絕對可積的條件.雖然可從現(xiàn)有的《信號與系統(tǒng)》教科書后面附錄“常見信號傅里葉變換表”中查到其傅里葉變換為：[5,6]

(3)

但王道憲等人對該結(jié)論提出了質(zhì)疑.[7]由于

(4)

f1(t)*f2(t)?F1(jω)·F2(jω)

(5)

可以得出：

(6)

顯然，式(3)和式(6)結(jié)果不相等(實部和虛部分別對應不相等).根據(jù)信號傅里葉變換結(jié)果的唯一性，同一信號不可能產(chǎn)生兩種截然不同的頻譜？于是產(chǎn)生了悖論.

1　斜坡信號傅里葉變換方法探討

王道憲等人對上述矛盾結(jié)果進行了探討，指出產(chǎn)生悖論的原因在于傅里葉變換本身所存在的不足：[7]只給出了傅里葉變換存在的充分條件，沒指出其所應滿足的必要條件.其實不然，為了作比較，本文先給出三種新的計算斜坡信號傅里葉變換的方法.同樣，也是利用傅里葉變換的性質(zhì).

(7)

而根據(jù)普通函數(shù)與沖擊偶函數(shù)乘積的定義：[8]

f(t)·δ′(t)=f(0)·δ′(t)-f′(0)·δ(t)

(8)

令f(t)=t，式(8)容易推出t·δ′(t)=-δ(t)，進行變量代換得ω·δ′(ω)=-δ(ω).因此式(7)可變?yōu)椋?/p>

(9)

(10)

(11)

式(11)的化簡利用了以下沖激函數(shù)卷積的兩條性質(zhì)：[9]

f(t)*δ(t)=f(t)，f(t)*δ′(t)=f′(t)

(12)

由上述分析可知，式(9)、(10)和(11)對斜坡信號計算傅里葉變換得到的結(jié)果相等，且與教材中附錄表給出的結(jié)論一致(見式(3))，唯獨與式(6)結(jié)果矛盾.觀察式(6)、(9)、(10)和(11)中間運算步驟就會發(fā)現(xiàn)：在計算過程中都利用了沖激函數(shù)δ(t)或沖激偶函數(shù)δ′(t)的乘積、微分或卷積運算.而沖激函數(shù)或沖激偶函數(shù)都屬于廣義函數(shù)，它不符合普通函數(shù)的定義，并且沖激函數(shù)具有自身一些獨有的性質(zhì).下面通過廣義函數(shù)的性質(zhì)分析上述矛盾結(jié)果產(chǎn)生的原因.

2　廣義函數(shù)的定義及上述悖論的根源

廣義函數(shù)g(t)的定義為：[10]

(13)

按廣義函數(shù)理論，沖激函數(shù)δ(t)可定義為：

(14)

其中，φ(t)在沖激時刻t=0處連續(xù).上式表明，廣義函數(shù)δ(t)具有篩選性質(zhì)，即可從φ(t)中篩選出φ(0)的值.

沖激函數(shù)可以求導，求積分，也可以與普通函數(shù)進行乘積或卷積，沖激函數(shù)之間也可以進行卷積.[9-10]比如：

沖激函數(shù)δ(t)的一階導數(shù)δ′(t)可定義為：

(15)

δ(t)的積分為：

(16)

其中，ε(t)為階躍函數(shù).

沖激函數(shù)δ(t)與普通函數(shù)f(t)的乘積：

f(t)·δ(t)=f(0)·δ(t)

(17)

沖激函數(shù)δ(t)與普通函數(shù)f(t)的卷積：

f(t)*δ(t)=f(t)

(18)

沖激函數(shù)δ(t)與沖激函數(shù)δ(t)的卷積：

δ(t)*δ(t)=δ(t)

(19)

但是，由于廣義函數(shù)自身之間不能進行乘法運算，[11]因此δ(t)·δ(t)沒有定義.[12]在上一節(jié)中，分別采用時域微分、頻域微分、頻域卷積定理等三種不同方法，在求解斜坡信號傅里葉變換過程中，式(9)、(10)和(11)分別利用的是沖激函數(shù)與普通函數(shù)的乘積、沖激函數(shù)的微分、沖激函數(shù)與沖激函數(shù)的卷積等性質(zhì).而采用時域卷積定理方法計算斜坡信號的傅里葉變換，式(6)中出現(xiàn)了δ2(ω)，即兩個沖激函數(shù)直接相乘，它沒有定義，所以該結(jié)果不正確.因此，對斜坡信號，不能采用時域卷積定理求其傅里葉變換.

3　結(jié)論

斜坡信號作為一種特殊的奇異信號，它既不是能量信號，也不是功率信號.在計算其傅里葉頻譜時，由于不滿足絕對可積的條件，如果采用傳統(tǒng)方法往往會遇到困難.通過引入廣義函數(shù)(如沖激函數(shù)δ(t))，再借助卷積積分和傅里葉變換的性質(zhì)，可使問題簡單化.本文從一個悖論結(jié)果出發(fā)，對斜坡信號的傅里葉變換方法進行了簡要探討，給出了三種新的計算方法，最后指出了悖論產(chǎn)生的原因，有利于人們加深對廣義函數(shù)的理解.

[1] Vretblad A.FourierAnalysisandItsApplications[M]. Berlin：Spring-Verlag, 2003: 23-26.

[2] B.P. 拉茲. 線性系統(tǒng)與信號[M].劉樹棠，王微潔，譯.西安: 西安交通大學出版社, 2006: 473-474.

[3] 金波, 張正炳. 信號與系統(tǒng)分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2011: 315-316.

[4] Philips L, Parr M, Riskin E A.Signals,Systems,andTransforms[J].International Journal of Gynecology & Obstetrics,2009(S2):S416.

[5] 鄭君里, 應啟珩, 楊為理. 信號與系統(tǒng):上[M]. 北京: 高等教育出版社, 2011: 404-405.

[6] 王寶祥. 信號與系統(tǒng)[M]. 北京: 電子工業(yè)出版社, 2010: 305-306.

[7] 王道憲, 段曉輝, 楊光臨.關(guān)于信號傅里葉變換存在條件問題的探討[J]. 電子與信息學報, 2013(11)：2790-2793.

[8] 劉泉, 江雪梅. 信號與系統(tǒng)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2006: 22-23.

[9] 郭銀景. 信號與系統(tǒng)[M]. 北京: 機械工業(yè)出版社, 2009：41-42.

[10]陳生潭, 郭寶龍, 李學武,等. 信號與系統(tǒng)[M]. 西安: 西安電子科技大學出版社, 2008：18-19.

[11]L.施瓦茲. 廣義函數(shù)論[M]. 姚家燕,譯.北京: 高等教育出版社, 2010：83-84.

[12]吳大正. 信號與線性系統(tǒng)分析[M]. 北京: 高等教育出版社, 2008：18-19.

[責任編輯范藻]

The Paradox in Fourier Transform of Ramp Signal

WANG Yiyan,WU Shiyun

(Intelligent Manufacturing School of Sichuan University of Arts and Sciences, Dazhou Sichuan 635000, China)

The ramp signal, as a special singular signal, calculating its Fourier transform by the traditional methods has encountered a difficult problem, because the condition of absolutely integrable is not satisfied, while calculating by Fourier transform time domain convolution theorem, a paradox will be resulted. In this paper, the method for solving the Fourier transform of ramp signal is discussed from the start of the paradox, then three new calculation methods are presented, and finally the reason of the paradox caused is analyzed.

ramp signal; Fourier transform; paradox; generalized function

2016-03-07

四川文理學院教改重點項目(2013JZ12)；四川文理學院教改一般項目(2013JY32)

王益艷(1982—)，男，湖北咸寧人.講師，碩士，主要從事信號與圖像處理研究.

TP391

A

1674-5248(2016)05-0036-03