陳克恭，馬如云，孫小春

(1.西北師范大學地理與環(huán)境科學學院，甘肅蘭州　730070；2.西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅蘭州　730070)

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勾股定理與太極圖的內在聯(lián)系

陳克恭1，馬如云2，孫小春2

(1.西北師范大學地理與環(huán)境科學學院，甘肅蘭州730070；2.西北師范大學數(shù)學與統(tǒng)計學院，甘肅蘭州730070)

《易經》和太極文化博大精深、源遠流長，然而其表達方式有別于西方邏輯思維，尤其是太極圖缺少一個可以被連續(xù)方程所刻畫的標準圖，致使其作為中國傳統(tǒng)文化根基的科學性不足，影響了中國傳統(tǒng)文化的文化自信.本文從勾股定理(畢達哥拉斯定理)入手，通過單位正方形的內切圓，巧妙地應用了杠桿平衡原理(阿基米德定理)和模糊數(shù)學的核心思想，用一個代數(shù)方程精確地刻畫了太極圖的S曲線，不僅論證了中國太極圖的科學性，也揭示了太極圖反映事物存在的本根依據(jù).

易經；太極圖；勾股定理；代數(shù)方程

1　勾股定理的哲學內涵

眾所周知，“直角三角形的兩個直角邊平方之和等于斜邊的平方”，這在中國稱為勾股定理，在西方稱為畢達哥拉斯定理，其數(shù)學模型是

(1)

其中a,b,c分別是直角三角形的兩條直角邊和斜邊，見圖1(a).關于勾股定理的證明方法已有很多，其中之一就是東漢末年趙爽著《周髀算經》時說的“勾股各自乘，并之為玄實.開方除之，即玄.”趙爽依此還創(chuàng)造了“勾股圓方圖”，如圖1(b)所示.

(a)勾股定理

(b)勾股圓方圖

若用x和y分別表示兩條直角邊與斜邊所對應正方形面積的商值，并定義x和y分別為這個三角形的陽值和陰值(圖2)，即令

則有

(2)

因為a,b∈(0,c)，所以x,y∈(0,1).借助三角函數(shù)，x,y也可以表述為

(3)

圖2　直角三角形中陽值與陰值的關系

其幾何表述見圖3，其中α是邊a的對角.

(a)陽值和陰值

(b)陽值曲線

如果說(1)式和圖1是歐幾里得幾何的基石，那么圖2和(2)式則提出了模糊集合的概念，開啟了現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展之路.把它們聯(lián)系起來，則有如下概念：

(1)式和(2)式的本質內涵是指一個單位直角三角形的斜邊所對應的面積恒等于兩個直角邊所對應的面積之和.這一點可以用綠洲和沙漠的面積關系來形象說明，我們選取甘肅張掖為典型個案，若把張掖這個城市的總面積看作一個單位面積“1”，那么，綠洲面積和沙漠面積之和則恒等于“1”(因為在張掖這個特定的城市，有水即為綠洲，無水則為沙漠，但沙漠面積和綠洲面積之和總不會變[1]);當綠洲面積變大時，沙漠面積就會變小，反之亦然，而這個此消彼長的點的集合就是圓的軌跡.

又因為

x=1-y,y=1-x,

所以陽函數(shù)和陰函數(shù)保持偶對平衡，像量子糾纏一樣，相互糾纏、相互疊加，總值恒等于“1”，即綠洲面積是關于沙漠面積的偏差值，而沙漠面積是關于綠洲面積的偏差值，它們的偏差值之和恒等于“1”.然而，張掖的大部分區(qū)域絕非百分之百的沙漠，也絕非百分之百的綠洲，他們大多是在綠洲和沙漠之間，就像是在x+y=1這條線段上的點一樣，總處于[0，1]這個區(qū)間內，所不同的是相對于某一個平衡值而言，是更靠左一點，還是更靠右一點，是綠洲屬性更強一點，還是沙漠屬性更強一點[2,3].對于一個系統(tǒng)，我們完全可以在某一單純屬性上，就兩個相反相成的狀態(tài)進行集合分類，就像土壤的含水量可以分為干和濕兩個相反相成的集合，經濟運行狀態(tài)也可以分為積累和消費兩個相反相成的集合.總之，就像我們對待一切事物的主觀態(tài)度一樣，都可以用某一個客觀平衡值將事物分為正和反、白和黑,甚至是好和壞兩個相反相成的集合.盡管如此，但事物狀態(tài)的真實存在大多是在黑白的區(qū)間內，不是非白即黑，而是亦白亦黑.這正是中國傳統(tǒng)文化中“陰陽消長、此消彼長，一陰一陽謂之道，道生一、一生二、二生三、三生萬物”的思想，也是馬克思辯證唯物主義“一分為二”的思想.

2　勾股定理與太極圖的內在聯(lián)系

(4)

設C(x,y1),D(x,y2)，則C,D滿足圓方程：

其中

代入(4)式得中國太極圖S曲線標準方程為

(5)

圖4(b)中的S曲線逆時針旋轉90°即得中國太極陰陽標準圖(圖5).

(a)單位正方形內切圓

(b)S曲線

(4)式說明了圓和正方形之間的關系，即盡管兩個系統(tǒng)不同，但它們的變化規(guī)律相同，即陰陽值的比值相等，猶如對一個特定的杠桿，盡管左右兩邊力臂長短不同，受力大小不同，但距離和重物兩個系統(tǒng)之間始終圍繞著一個平衡點保持著一個新系統(tǒng)的平衡，這既是阿基米德的杠桿原理(圖6)，也是桿秤稱重物的原理.對此，我國先秦時期的墨子早在《墨經》中已有詳細論述.

圖5　中國太極陰陽標準圖

(陰陽面積之和為1，陰陽反向值之和為1)

Fig 5The standard Chinese diagram of the universe

圖6　杠桿原理

3　中國太極圖的“玄”意

世界猶如一個直角三角形，有一個相反相成的屬性，像量子糾纏一樣，相互疊加、偶對平衡于一個事物之中；這個相反相成的屬性又猶如兩個直角邊所代表的面積一樣，此消彼長、偶對平衡，但都始終恒等于“1”.從這個角度講，中國太極圖及太極文化全部思想的核心就是偶對平衡，就是關于“存在者之存在”的幾何表達，是對“存在”之根據(jù)的表述，是“being of beings”中的“being”，是“一即一切”中的“一”，它源于勾股定理，卻早已超越了勾股定理，不僅表達了歐拉公式的思想(eiπ+1=0，“至陽1”旋轉π=180°得到“至陰-1”；eiθ·e-iθ=(cosθ+isinθ)(cosθ-isinθ)=cos2θ+sin2θ=1隱含了實部的平方加虛部的平方等于模的平方的復數(shù)概念)，也表達了現(xiàn)代數(shù)學模糊集合的重要思想.如此看來，“勾股各自乘，并之為玄實.開方除之，即玄”中的“玄”其實并不“玄”，是因我們不解，而賦予了“玄”這個字太多的弦外之音.

[1]陳克恭．“轉型”張掖——生態(tài)經濟之路[M].蘭州：甘肅文化出版社，2012．

[2]陳克恭，馬如云．中國太極圖理論的數(shù)學模型及應用[J].西北師范大學學報(自然科學版)，2015，51(5)：1．

[3]陳克恭，馬如云．中國太極圖理論的數(shù)學模型及應用(Ⅱ)[J].西北師范大學學報(自然科學版)，2015，51(6)：1．

(責任編輯馬宇鴻)

The intrinsic relation between the Pythagorean theorems and the Chinese diagram of the universe

CHEN Ke-gong1,MA Ru-yun2,SUN Xiao-chun2

(1.College of Geography and Environmental Science,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China;2.College of Mathematics and Statistics,Northwest Normal University,Lanzhou 730070,Gansu,China)

The I Ching(The book of change) and Chinese Taiji culture with long history are extensive and profound.However,because their expression are different from the logical thinking of western man,especially there is no one standard graph characterized by the function to the Chinese diagram of the universe,these lead to the lack of science as the foundation of Chinese traditional culture,and influence cultural self-confidence of Chinese traditional culture.This paper accurately characterizes the sigmoid curve to the Chinese diagram of the universe by a function expression based on the Archimedes's principle and the core idea of fuzzy mathematics.The inscribed circle of the unit square plays a very important role during the process.The results express not only the scientificity of the Chinese diagram of the universe,but also the original basis of there is something that is reflected by the Chinese diagram of the universe.

I Ching;the Chinese diagram of the universe;the Pythagorean theorem;algebraic equation

10.16783/j.cnki.nwnuz.2016.05.001

2016-08-15

陳克恭(1961—)，男，甘肅蘭州人，研究員，博士研究生導師，西北師范大學黨委書記.主要研究方向為環(huán)境生態(tài)學.E-mail:chenkg@nwnu.edu.cn

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1001-988Ⅹ(2016)05-0001-04