焦子峰，尹 晶,2，房克照，孫家文,2

(1. 大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室 DUT-UWA海洋工程聯(lián)合研究中心，遼寧 大連 116024; 2. 國家海洋環(huán)境監(jiān)測中心，遼寧 大連 116023)

一維全非線性Green-Naghdi水波方程數(shù)值模型

焦子峰1，尹 晶1,2，房克照1，孫家文1,2

(1. 大連理工大學(xué) 海岸和近海工程國家重點實驗室 DUT-UWA海洋工程聯(lián)合研究中心，遼寧 大連 116024; 2. 國家海洋環(huán)境監(jiān)測中心，遼寧 大連 116023)

建立了求解一維全非線性Green-Naghdi水波方程的中心有限體積/有限差分混合數(shù)值格式。采用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格對守恒形式的控制方程進行離散和積分，界面數(shù)值通量采用有限體積法計算，剩余項則采用中心有限差分格式求解。其中，采用中心迎風(fēng)有限體積格式計算控制體界面數(shù)值通量，并結(jié)合界面變量的線性重構(gòu)方法，使其在空間上具有四階精度，通過引入靜壓重構(gòu)技術(shù)和波浪破碎指標(biāo)使模型具備處理海岸水-陸動邊界及波浪破碎的能力。時間積分則采用具有總時間變差減小(Total Variation Diminishing, TVD)性質(zhì)的三階龍格-庫塔法進行。應(yīng)用該模型對孤立波在常水深和斜坡海岸上的傳播過程及規(guī)則波跨越潛堤傳播的實驗進行了數(shù)值模型研究，數(shù)值計算同解析解及實驗數(shù)據(jù)吻合良好。

Green-Naghdi水波方程；混合格式；中心迎風(fēng)格式；水-陸動邊界；波浪破碎

Abstract: A 1D Green-Naghdi model based on hybrid central finite-volume/finite-difference method is presented in this paper. The convective flux in the conservative governing equations is estimated using finite-volume method while the remaining terms are discretized using finite-difference method. Central upwind finite-volume scheme, in conjunction with fourth-order MUSCL method for variables reconstruction, is used to compute the interface flux. By introducing the hydrostatic reconstruction technique and wave breaking index, the model has the ability to deal with the coastal moving shoreline and wave breaking. The third-order Runge-Kutta method with TVD property is adopted to perform time marching. The propagation of solitary wave on plane and sloping beach and the experiment of regular propagating over a submerged sill are computed with this model. The numerical results are in good agreement with analytical and experimental data.

Keywords: Green-Naghdi wave equations; hybrid scheme; central upwind scheme; moving shoreline; wave breaking

準(zhǔn)確模擬波浪地傳播變形對海岸工程和海洋工程研究具有重要的意義。盡管直接求解水波歐拉方程的數(shù)值方法在近幾年有較快地發(fā)展[1]，Boussinesq模型仍然是研究工程尺度范圍內(nèi)波浪傳播變形問題最為廣泛的手段之一(如開源模型FUNWAVE[2]和COULWAVE[3]及丹麥DHI公司開發(fā)的MIKE21商業(yè)軟件波浪模塊等)。早期的Boussinesq方程通常僅具有弱非線性特征，只適用于小波幅波浪地模擬，經(jīng)過幾十年的研究，目前Boussinesq類水波方程的相關(guān)理論已達到了一個較高的水平，為強非線性波浪的數(shù)值計算奠定了基礎(chǔ)[4-5]。Green-Naghdi水波方程[6]是較為經(jīng)典的、具有全非線性特征的Boussinesq類水波方程，可用于研究非線性強和水深相對較深條件下波浪傳播問題(僅具有弱色散性)，因此，近幾年基于Green-Naghdi水波方程展開的數(shù)值計算層出不窮[7-8]。由于Boussinesq類方程通常含有高階導(dǎo)數(shù)項(包括色散項和非線性項)，不便于采用諸如有限元和有限體積方法求解，一般采用有限差分方法進行求解[9]。雖然有限差分方法簡單明了、易于編程，但采用有限差分方法的數(shù)學(xué)模型易產(chǎn)生高頻數(shù)值震蕩，當(dāng)非線性較強或者海床地形變化較大時尤為突出，經(jīng)常導(dǎo)致計算失敗，即便采用光滑器穩(wěn)定計算仍然不能從根本上解決上述問題[10]。且Boussinesq類模型在處理海岸水-陸動邊界和波浪破碎時通常采用近似方法，引入過多可調(diào)參數(shù)，這不但給實際應(yīng)用帶來不便，某種程度上也加劇了模型的不穩(wěn)定。完全非線性淺水方程和Boussinesq水波方程同屬淺水方程范疇，忽略高階非線性和色散項后，Boussinesq水波方程可退化為完全非線性淺水方程。完全非線性淺水方程屬于典型雙曲守恒律方程，這類方程有許多基于高分辨率有限體積格式的高精度解法[10]，且多以黎曼間斷解問題為理論基礎(chǔ)。而海岸水-陸動邊界問題本質(zhì)上屬于黎曼問題，正適合采用完全非線性淺水方程進行描述。此外，由于波浪破碎時Boussinesq方程中高階非線性項和色散項可以忽略不計[10]，破碎波仍可利用完全非線性淺水方程能夠捕捉間斷這一特點進行計算，因此采用高分辨率有限體積格式求解Boussinesq類水波方程具有重要的意義。鑒于Boussinesq類水波方程的表達式較為復(fù)雜，目前以發(fā)展有限體積/有限差分混合格式為主，這類數(shù)值格式具備穩(wěn)定性強、處理波浪破碎和海岸水-陸動邊界簡單的特點[11-13]。

有限體積法的數(shù)值實現(xiàn)重點體現(xiàn)在網(wǎng)格界面處數(shù)值通量的計算，通常采用迎風(fēng)格式和中心格式。高階迎風(fēng)格式精度高，但需要精確或者近似求解黎曼問題，構(gòu)造過程相對繁瑣，計算量大，對于實際應(yīng)用而言，較準(zhǔn)地求解黎曼解不是一件易事[10]；中心格式構(gòu)造簡單，但容易出現(xiàn)數(shù)值震蕩。近幾年出現(xiàn)的中心迎風(fēng)格式兼具迎風(fēng)格式精確性和中心格式簡單性優(yōu)點。中心迎風(fēng)格式無需求解復(fù)雜的黎曼問題，程序?qū)崿F(xiàn)簡單，目前采用中心迎風(fēng)格式求解Green-Naghdi水波方程中數(shù)值通量的研究并未見諸刊物，其精度和穩(wěn)定性等尚需進一步考察。

文中將中心迎風(fēng)有限體積格式應(yīng)用于Green-Naghdi水波方程數(shù)值通量的求解，同時為了處理近岸波浪計算常遇到的水-陸動邊界現(xiàn)象，采用靜壓重構(gòu)技術(shù)保證計算的穩(wěn)定性和水深h的非負性。該混合格式充分利用有限體積方法彌補有限差分方法在數(shù)值計算穩(wěn)定性和處理波浪破碎及水-陸動邊界問題的不足。通過模擬孤立波在常水深和斜坡海岸上的傳播及規(guī)則波跨越潛堤傳播實驗對所建模型驗證，數(shù)值計算結(jié)果與解析解和實驗數(shù)據(jù)及其他模型計算所得結(jié)果進行對比，結(jié)果表明，中心迎風(fēng)格式在程序編制難易程度、計算精度和計算效率等方面具有一定的優(yōu)勢。

1 數(shù)學(xué)模型

1.1 控制方程

一維全非線性弱色散性Green-Naghdi方程表達式[6,15]：

其中，d=η+h為總水深，η為波面，h為靜水水深，u為水深平均速度，zb為水底高程，g為重力加速度。下標(biāo)t和x分別表示變量對時間t和空間x的偏導(dǎo)數(shù)。式中，Φ和Ψ分別為：

對于平底海床，水底高程zb為常數(shù)，即zb對空間變量x的導(dǎo)數(shù)為0，因此方程(1)可以改寫為：

本文所建的一維Green-Naghdi水波方程模型將采用方程(1)作為控制方程。當(dāng)Φ=Ψ=0時，方程(1)和(3)分別與非平底海床和平底海床的淺水方程相一致。

為便于使用有限體積格式，將上述控制方程改寫為守恒形式：

其中，U為變量矢量，F(xiàn)為通量矢量，定義為：

式中：

為利用具有和諧性質(zhì)的高精度有限體積格式處理海岸水-陸動邊界問題引入水位ζ(=zb+d)。式(4)中S為源項，方便起見，將其分成三個組成部分，分別為水底坡度項Sh、水底摩擦項Sf和色散項Sd，即：

其中，水底摩擦項由常用的二次律公式給出τ=-fu|u|，其中，f為水底摩擦系數(shù)，通常取值范圍是0.000 1～0.01。式(7)中的色散項由下式給出：

1.2 方程空間離散與時間積分

將式(4)在整個控制體單元格上積分，得到下式：

式中：Ω為單元區(qū)域；Γ為單元邊界；nx為外法向量。

采用矩形網(wǎng)格單元，將計算域在空間、時間上均勻劃分單元網(wǎng)格，做如下離散xi=iΔx(i=1,…,I)，tn=nΔt(n=1,…,N)，其中Δx，Δt分別為空間、時間步長。波面η和速度u均定義在控制體中心。在有限體積[xi-1/2,xi+1/2]×[tn,tn+1]內(nèi)應(yīng)用方程(9)，采用對時間的差分近似為對時間的微分，并用差分代替導(dǎo)數(shù)，可得：

式中，Uin為n時刻解U在單元Ii∈[xi-1/2,xi+1/2]內(nèi)的空間平均值，F(xiàn)i+1/2為單元邊界xi+1/2處的數(shù)值通量，F(xiàn)i-1/2為單元邊界xi-1/2處的數(shù)值通量，Si為單元Ii對應(yīng)的數(shù)值源項。

基于Kurganov和Petrova提出的中心迎風(fēng)格式[16]，式(10)中的單元界面數(shù)值通量可以通過下式計算：

顯然，中心迎風(fēng)格式的有限體積法構(gòu)造相對簡潔并且不需要求解復(fù)雜的黎曼問題，因此中心迎風(fēng)格式的程序編制更為簡單，二維情況下，這一優(yōu)勢將更加明顯。

上述中心迎風(fēng)格式僅為一階精度，為了提高空間精度，采用四階高精度狀態(tài)差值方法(MUSCL)[17]對界面左右變量進行重構(gòu)，重構(gòu)后的界面變量再按照上述步驟進行。模型的時間積分采用具有TVD性質(zhì)的三階龍格-庫塔方法[10]：

為保證計算收斂，時間計算步長由Courant-Friedrichs-Lewy(CFL)穩(wěn)定性限制條件確定：

其中，ν為常數(shù)，對于本文計算，取ν=0.2。

1.3 邊界條件與波浪破碎的處理

模型中涉及的邊界條件包括固壁邊界、造波邊界和水-陸動邊界。固壁邊界條件通過在計算域兩端分別設(shè)置3個虛擬網(wǎng)格實現(xiàn)，虛擬網(wǎng)格的變量通過固壁處法向速度為零，切向速度導(dǎo)數(shù)為零賦值。計算中涉及孤立波和規(guī)則波的生成，前者通過在計算域內(nèi)給定初始波面和流速作為入射波浪，后者采用在連續(xù)方程中增加源項的方法生成所需波浪，且根據(jù)需要在計算域兩端設(shè)置海綿層避免波浪二次反射的問題[14]。水-陸動邊界條件是波浪計算的難點，本文也是充分利用有限體積法求解完全非線性淺水方程的優(yōu)勢，將水-陸動邊界處理為間斷。具體方法是通過在狀態(tài)重構(gòu)過程中(MUSCL)采用靜壓重構(gòu)技術(shù)實施[18]，該技術(shù)的特點就是將水-陸動邊界附近的海床視為隨時間做微小變動的，通過在計算過程中對海床的調(diào)整達到較準(zhǔn)確地捕捉水-陸動邊界的目的。與常用的薄層水體法相比，該方法具有更高的精度，且保證了重構(gòu)水深非負和水-陸動邊界處的和諧性，這對計算的穩(wěn)定性和精度非常重要。具體執(zhí)行步驟如下：

第一步：利用已知變量(p,ζ,d)采用MUSCL方法重構(gòu)網(wǎng)格界面左右狀態(tài)變量：

在此過程中，引入一極小水深作為判斷網(wǎng)格干、濕狀態(tài)的闕值(d<10-4m)，如某網(wǎng)格水深小于此值認定為干網(wǎng)格，界面流速直接賦值為零。同理，可得到界面右側(cè)的速度值。需要注意的是，當(dāng)某一個網(wǎng)格的相鄰網(wǎng)格有干網(wǎng)格出現(xiàn)時，該網(wǎng)格以及干網(wǎng)格內(nèi)的變量分布認為常數(shù)。

第二步：確定界面處水底高程值并進行非負水深重構(gòu)，如下：

同理將上述過程用于右側(cè)界面，可得到右側(cè)界面狀態(tài)變量取值。

第三步：對水-陸邊界附近的網(wǎng)格進行調(diào)整，即定義：

然后對zb進行修正如下：

將通過式(16)-(20)進行的變量重構(gòu)過程用于數(shù)值通量的計算。為了獲得和諧解，對于方程中的底坡源項要做如下相應(yīng)處理[10]：

處理波浪破碎問題時采用文獻[10]給出的方法，即當(dāng)波高與水深之比達到0.8時，認為波浪發(fā)生破碎，Green-Naghdi水波方程退化為完全非線性淺水方程，將破碎波浪處理為間斷。

2 數(shù)值驗證

針對上文所建立的混合格式模型，本節(jié)將通過幾個典型算例的數(shù)值模擬分別對其進行驗證。其中，算例一為常水深孤立波的長距離傳播問題，用于驗證模型的精度；算例二為破碎和非破碎孤立波在斜坡海岸上的傳播問題，用于檢驗?zāi)Ｐ筒蹲剿?陸動邊界和模擬破碎波浪的能力；算例三為規(guī)則波跨越潛堤傳播，用于檢驗?zāi)Ｐ蛯姺蔷€性波浪模擬的能力。需要指出，所有計算均未使用人工光滑器。

2.1 孤立波在常水深水槽中的傳播

孤立波是波浪色散性和非線性平衡制約的典型代表，其在常水深水槽中長距離傳播的數(shù)值模擬是檢驗數(shù)值模型的有力工具。而且，對于一維Green-Naghdi水波方程，孤立波存在精確解[19]，可以用來驗證模型數(shù)值格式的精確性。

在本算例中，計算域長度450 m，靜水水深h0為1.0 m，在計算域內(nèi)給出孤立波解析解作為初始條件，波高H=0.6 m，孤立波從計算域的左側(cè)向右側(cè)傳播，初始時刻波峰位于x0=50 m處，網(wǎng)格尺寸Δx=0.10 m，忽略底摩擦的影響，且計算域兩端采用固壁邊界條件。圖1(a)給出了采用中心迎風(fēng)格式模擬的孤立波在t=0 s, 20 s, 40 s, 60 s和80 s時的波面狀態(tài)。從圖中可見，經(jīng)過長距離的傳播，孤立波的波形和波高值均保持穩(wěn)定，幾乎未發(fā)生變化，表明所建立的數(shù)值格式?jīng)]有引入偽色散和數(shù)值耗散。圖1(b)為在時間t=80 s時，模型計算結(jié)果與解析解的比較，可以看出兩者高度吻合，說明本模型具有較好的精確性。

圖1 孤立波的長距離傳播Fig. 1 The propagation of a solitary wave over a long distance

圖2 孤立波爬坡實驗海床Fig. 2 The sketch of experimental setup of solitary wave runup

2.2 孤立波在斜坡海岸上的爬坡

本節(jié)將用所建立的Green-Naghdi模型模擬孤立波在斜坡上的爬高實驗[20]，這些實驗結(jié)果被廣泛的用于檢驗波浪爬高模型，實驗海床如圖2所示，是一個坡度為1∶19.85的斜坡海岸。

首先進行非破碎孤立波的爬坡模擬，孤立波的波高與水深之比H/h0=0.018 5，靜水水深h0=0.39 m。計算域的長度為90 m，網(wǎng)格長度Δx= 0.05 m，底摩擦系數(shù)取cf= 0.001。對計算結(jié)果進行以下無因次處理：

圖3中繪出了H/h0=0.018 5時，無量綱時間t*= 30, 40, 50, 60, 70時波形空間分布圖，x*=0對應(yīng)初始岸線。將數(shù)值計算結(jié)果與實驗結(jié)果進行對比，如圖3(a)和圖3(b)所示，數(shù)值計算結(jié)果稍超前于實驗結(jié)果，圖3(c)和圖3(d)較好地復(fù)演了孤立波爬坡及回落過程，而圖3(e)中水面與斜坡交界處較明顯的差別，這可能是因為黏性影響的結(jié)果[7]。對于該組物理模型實驗，Li等[7]采用基于有限元方法的Green-Naghdi方程模型進行過數(shù)值模擬，計算結(jié)果也一并在圖3中給出，可見其與本文計算結(jié)果基本一致。該算例說明模型能夠有效地模擬非破碎孤立波在海岸上的傳播、爬坡和回落過程中波浪的運動狀態(tài)。

其次模擬破碎波孤立波在斜坡海床上的爬高。設(shè)置孤立波波高與水深之比H/h0=0.3，其他條件不變。如圖4，取無量綱時間t*= 15, 20, 25, 30時數(shù)值模擬結(jié)果與實驗結(jié)果以及Li等[7]的數(shù)值計算結(jié)果進行對比，波面同樣采用無量綱形式。從圖4(b)中可以看到，數(shù)值計算結(jié)果由于孤立波的提前破碎，造成波面的計算結(jié)果小于實驗結(jié)果，且波前近乎垂直，但這并未影響波浪爬坡和回落的演化過程。數(shù)值計算結(jié)果與實驗結(jié)果吻合程度高，而偏小于Li等的數(shù)值計算結(jié)果，但各時刻的運動特征模擬均吻合較好。這說明本文所建立的Green-Naghdi模型能充分描述破碎孤立波傳播、爬坡及回落過程中典型的運動特征，有效驗證了模型的精度，同時說明了本模型具有較好的處理水-陸動邊界及波浪破碎的能力。

圖3 H/h0=0.018 5時孤立波波面數(shù)值計算結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)對比Fig. 3 Comparison of simulated and experimental surfaces of a solitary wave with H/h0=0.018 5

圖4 H/h0=0.3時孤立波波面數(shù)值計算結(jié)果和實驗數(shù)據(jù)對比Fig. 4 Comparison of simulated and experimental surfaces of a solitary wave with H/h0=0.3

2.3 規(guī)則波在潛堤海床上的傳播

規(guī)則波跨越潛堤傳播是非常復(fù)雜的波浪演化過程，涉及波浪的變淺、高次諧波產(chǎn)生釋放等，是檢驗?zāi)Ｐ蜕⑿院头蔷€性綜合性能的有力工具。采用Dingemans[21]的規(guī)則波跨越潛堤傳播的實驗來對數(shù)值模型檢驗，實驗海床設(shè)置在圖5中給出，海床兩端設(shè)置1.5倍波長海綿層吸收波浪，造波機在x=0 m處，平底處靜水水深為0.4 m，梯形壩的坡腳位于x=6.0 m處，梯形壩頂端長為2.0 m，距離靜水面0.1 m，梯形潛堤前坡坡度為1∶20，后坡坡度為1∶10，根據(jù)Dingemans[21]的實驗，在計算域內(nèi)設(shè)置10個浪高儀，位置分別為x=2 m, 4 m, 10.5 m, 12.5 m, 13.5 m, 14.5 m, 15.7 m, 17.3 m, 19 m和21 m。入射波波高H=0.02 m，周期T=2.02 s，計算網(wǎng)格長度為Δx=0.025 m。

圖5 規(guī)則波跨越潛堤傳播實驗布置示意Fig. 5 The sketch of experimental setup of regular waves propagation over submerged bar

圖6給出了10個浪高儀位置上數(shù)值模擬結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)的對比。如圖6所示，規(guī)則波跨越堤頂傳播過程中，波浪受到潛堤的影響，波形發(fā)生明顯變化，潛堤前以及堤頂位置處波面的數(shù)值計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)吻合程度高，說明模型能夠準(zhǔn)確模擬規(guī)則波的傳播及跨越潛堤時的波浪狀態(tài)。但是，在堤后浪高儀(例如x≥15.7 m)波面時間序列圖中可以看到，數(shù)值計算結(jié)果與實驗結(jié)果在波幅和相位上均有較明顯地差別，這是因為規(guī)則波跨越潛堤后的波浪中包含了具有強色散性的高頻自由波，而本文所使用的Green-Naghdi方程僅具有弱色散性，對強色散性波浪的模擬效果較差。使用高級別Green-Naghdi方程，例如GN-5方程，可得到更為精確的數(shù)值結(jié)果[22](本文采用方程為GN-1型方程)。

圖6 規(guī)則波跨越潛堤傳播各浪高儀處的波面時間序列Fig. 6 Time series of surface elevations for regular waves passing over a submerged bar

圖6中同時給出Li等[7]的對該物理模型實驗的數(shù)值計算結(jié)果，可見其與本文計算結(jié)果基本一致，但存在一些細節(jié)差別。在圖6(a)-(f)測點處，本文模型計算結(jié)果與Li等的計算結(jié)果吻合程度較高，而在圖6(g)-(j)測點處Li等波面幅值計算結(jié)果均偏高于本模型計算結(jié)果，盡管如此，兩者差異較小，而且相位吻合程度高，這進一步證明了數(shù)值模型的精度與正確性。

3 結(jié) 語

將中心迎風(fēng)格式應(yīng)用于建立求解一維全非線性Green-Naghdi水波方程的混合數(shù)值格式。對守恒形式控制方程中的通量項，采用有限體積方法離散和積分，應(yīng)用中心迎風(fēng)格式求解界面處數(shù)值通量，界面左右變量則通過四階狀態(tài)插值方法重構(gòu)，同時結(jié)合靜壓重構(gòu)技術(shù)保證計算域內(nèi)的和諧性和重構(gòu)水深非負性。方程中剩余項采用有限差分方法進行求解。應(yīng)用具有TVD性質(zhì)的三階龍格-庫塔方法進行時間積分。針對典型算例進行了數(shù)值模擬，結(jié)果表明所建立的數(shù)值模式具有穩(wěn)定性強、間斷捕捉、處理海岸水-陸動邊界及波浪破碎方便等優(yōu)點。應(yīng)用典型算例對所建模型進行了驗證，數(shù)值計算結(jié)果與解析解、實驗數(shù)據(jù)及其他模型計算結(jié)果吻合良好，綜合考慮程序編制難易程度、計算精度和計算效率等方面，中心迎風(fēng)格式值得在Green-Naghdi水波方程的求解方面進行推廣和應(yīng)用。

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A numerical scheme for one-dimensional and fully nonlinear Green-Naghdi wave equations

JIAO Zifeng1, YIN Jing1, 2, FANG Kezhao1, SUN Jiawen1, 2

(1. The State Key Laboratory of Coastal and Offshore Engineering, Ocean Engineering Joint Research Center of DUT-UWA, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 2. National Marine Environmental Monitoring Center, State Oceanic Administration, Dalian 116023, China)

O353.2

A

10.16483/j.issn.1005-9865.2016.06.004

1005-9865(2016)06-0030-08

2016-02-01

國家自然科學(xué)基金資助項目 (51579034)；中國科學(xué)院海洋環(huán)流與波動重點實驗室開放基金課題資助(KLOCW1502);遼寧省教育廳重點實驗室基礎(chǔ)研究項目資助(LZ2015013)

焦子峰(1989-)，男，山東日照人，碩士研究生，從事海岸動力學(xué)方面研究。E-mail：zfjiao@mail.dlut.edu.cn