唐鈺婷，仇小杰

（中航工業(yè)航空動力控制系統(tǒng)研究所，江蘇無錫214063）

航空發(fā)動機魯棒PI控制頻域設計

唐鈺婷，仇小杰

（中航工業(yè)航空動力控制系統(tǒng)研究所，江蘇無錫214063）

針對航空發(fā)動機高、低壓轉速和壓比控制回路，研究中考慮執(zhí)行機構動態(tài)的高階開環(huán)傳遞函數(shù)，根據(jù)推廣到時滯系統(tǒng)的棱邊定理，采用頻域方法設計有參數(shù)不確定性的非精確模型的魯棒PI控制器；并利用不確定范圍內的發(fā)動機非線性模型構成的棱邊系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)族，驗證了魯棒控制器作用下的系統(tǒng)性能。仿真結果表明，該頻域設計方法能使閉環(huán)系統(tǒng)的性能指標和魯棒性均達標。

航空發(fā)動機；高階系統(tǒng)；魯棒PI控制；頻域設計；棱邊定理；參數(shù)不確定性；時滯系統(tǒng)

1　引言

工程中很難精確描述實際的控制系統(tǒng)，因此所得系統(tǒng)模型常常存在不確定因素。對于航空發(fā)動機，建模時的近似、發(fā)動機的非線性失真、發(fā)動機和執(zhí)行機構個體間的差異等，都會為系統(tǒng)帶來不確定性。此外，發(fā)動機性能衰減、元件老化、外部干擾和噪聲、環(huán)境因素也會為系統(tǒng)帶來不確定性。當以上不確定因素對系統(tǒng)造成的影響不可忽略時，就必須將其納入控制系統(tǒng)設計的考慮范圍。而基于有不確定性的非精確模型設計控制器時，魯棒控制就成為一種重要的解決方法［1-2］。魯棒控制于1972年首次提出，隨后出現(xiàn)了Kharitonov定理［3］、棱邊定理、小增益定理、結構奇異值理論、H∞理論［4-5］等理論和方法。

PID控制是國內外現(xiàn)役航空發(fā)動機控制系統(tǒng)廣泛采用的一種方法［6］，對其結構的研究并未隨著時間的推移減弱，而是日益受到重視［7］。PID控制中的一個關鍵問題是控制參數(shù)的整定，控制質量和控制器的魯棒性都直接受到整定好壞的影響［8］。而通過頻域設計整定控制參數(shù)，可兼顧對系統(tǒng)響應動態(tài)和抑制噪聲的要求，具有良好的頻域特性，對噪聲和干擾的魯棒性較好。

本文根據(jù)推廣到時滯系統(tǒng)的棱邊定理，研究航空發(fā)動機控制系統(tǒng)的魯棒PI控制頻域設計方法，設計有參數(shù)不確定性的非精確模型的魯棒PI控制器。通過PI控制參數(shù)的穩(wěn)定域算法，確定棱邊系統(tǒng)的魯棒PI控制參數(shù)集，并利用不確定范圍內的發(fā)動機非線性模型構成的棱邊系統(tǒng)和不確定系統(tǒng)族，驗證魯棒控制器作用下的系統(tǒng)性能。

2　魯棒PID控制器頻域設計

考慮一類時滯系統(tǒng)，可用下述公式描述：

其特征方程可用下述n階準多項式描述：

式中：aik=αik+jβik，αik、βik∈R為常數(shù)，a00≠0， 0=h0＜h1＜h2＜…＜hN為對應于系統(tǒng)時滯的常量。

定義1［9］假設復平面上有一區(qū)域D，當式（2）中的特征準多項式p（ s）的所有零點都在D中時，時滯系統(tǒng)（1）被稱為D-穩(wěn)定的。特別地，如果p（s）為D-穩(wěn)定的，且D為左半平面，則稱p（s）為穩(wěn)定的。

假設式（2）中p（s）的系數(shù)包含不確定因素，則需要關注的就是在考慮了所有可容許的參數(shù)攝動的情況下確定D-穩(wěn)定性?？紤]下述一族n階（實數(shù)或復數(shù)）準特征多項式：

式中：conv表示凸生成。如果P為實數(shù)準多項式族，則每個準多項式）的首項系數(shù)必須同號［9］。

引理1［9］考慮如式（3）的n階準多項式多面體P和復平面上的任一區(qū)域D滿足如下條件：x和y分別為復平面上的兩點，存在實數(shù)α，對任意一點x∈Dc（Dc為D在復平面的補集）和任意M＞0，若有且 Rey≥α，則可以在Dc內找到一條連續(xù)的路徑由x通向y。則當且僅當多面體P的所有棱邊均是D-穩(wěn)定時，多面體P才是D-穩(wěn)定的。

對于式（1）形式的時滯系統(tǒng)，設有有限個數(shù)的傳遞函數(shù)

則不確定模型組成的所有凸生成，即不確定時滯系統(tǒng)族為：

定理1［9］考慮式（6）所示的參數(shù)不確定系統(tǒng)族，設計PI控制器進行控制，使該不確定系統(tǒng)族穩(wěn)定，當且僅當用同一PI控制器使得系統(tǒng)族中每一個）都穩(wěn)定。

證明［9］考慮有限個數(shù)的開環(huán)傳遞函數(shù)

3　發(fā)動機轉速和壓比系統(tǒng)魯棒控制頻域設計

3.1轉速系統(tǒng)魯棒控制頻域設計

假設燃油量-轉速線性模型的傳遞函數(shù)為包含兩個極點一個零點的二階動態(tài)系統(tǒng)，主燃油執(zhí)行機構的傳遞函數(shù)為帶滯后因子的一階慣性環(huán)節(jié)，則對于燃油量-轉速有：

式中：a1、a0、b1、b0為常數(shù)，K＞0為執(zhí)行機構穩(wěn)態(tài)增益，L＞0為執(zhí)行機構滯后時間，T為執(zhí)行機構時間常數(shù)。為簡便快速地驗證魯棒控制頻域設計方法的有效性，假設攝動的不確定參數(shù)為K和T。根據(jù)K和T的攝動范圍可得到若干個棱邊系統(tǒng)：

根據(jù)文獻［10］中PI控制參數(shù)的穩(wěn)定域算法，可得到這若干個棱邊系統(tǒng)各自對應的穩(wěn)定區(qū)域。由定理1可知，G（s）穩(wěn)定的充分必要條件即為這若干個棱邊系統(tǒng)同時穩(wěn)定。換言之所求的PI控制器的穩(wěn)定區(qū)域，即為這若干個棱邊系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域的交集，該交集內的控制器參數(shù)均能使系統(tǒng)（9）穩(wěn)定。在此交集內選擇能同時滿足系統(tǒng)族各種性能指標的控制參數(shù)，即可達到期望的控制要求。

3.2壓比系統(tǒng)魯棒控制頻域設計

假設噴口面積-壓比線性模型的傳遞函數(shù)為包含兩個極點兩個零點的二階動態(tài)系統(tǒng)，執(zhí)行機構的傳遞函數(shù)為帶滯后因子的一階慣性環(huán)節(jié)，則對于噴口面積-壓比有：

式中：b2為常數(shù)，其余同式（9）。同樣，根據(jù)K和T的攝動范圍可得到若干個棱邊系統(tǒng)：

在這若干個棱邊系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域的交集上選擇能同時滿足系統(tǒng)族各種性能指標的控制參數(shù)，即可達到期望的控制要求。

4　仿真算例

以海平面1.0馬赫數(shù)條件下的轉速控制系統(tǒng)為例，發(fā)動機中間狀態(tài)的燃油量-高壓轉速線性模型為：

主燃油執(zhí)行機構的傳遞函數(shù)為：

設執(zhí)行機構的K和T的攝動范圍均為±20%，由式（10）可得如下4個棱邊系統(tǒng)：

按照文獻［10］的方法，分別畫出這4個棱邊系統(tǒng)所對應的PI控制參數(shù)穩(wěn)定域，見圖1。圖中陰影部分為穩(wěn)定域的交集，即目標的參數(shù)穩(wěn)定域。為更快找到合適的控制參數(shù)，給棱邊系統(tǒng)以一定的幅值裕度和相角裕度要求得到范圍更小的目標參數(shù)區(qū)域，見圖2。

圖1　棱邊系統(tǒng)的控制參數(shù)穩(wěn)定域Fig.1 Control parameter stability region of edge systems

圖2　滿足幅值裕度和相角裕度的棱邊系統(tǒng)穩(wěn)定域Fig.2 Control parameter stability region satisfied the required stability margin of edge systems

圖3　各棱邊系統(tǒng)高壓轉速階躍響應Fig.3 High pressure rotor speed response of edge systems

圖4　不確定系統(tǒng)族的高壓轉速階躍響應Fig.4 High pressure rotor speed response of uncertain system family

同理，可得到該點中間狀態(tài)燃油量-低壓轉速的4個棱邊系統(tǒng)穩(wěn)定區(qū)域的交集，由此得到魯棒控制參數(shù)，相應的棱邊系統(tǒng)和驗證系統(tǒng)的仿真結果見圖5和圖6。圖中，NLr為給定低壓轉速，NLG1～NLG4分別為燃油量-低壓轉速4個棱邊系統(tǒng)的低壓轉速響應，NLG5～NLG8分別為燃油量-低壓轉速4個驗證系統(tǒng)的低壓轉速響應。由圖5可知，各系統(tǒng)均能達到穩(wěn)定，響應中超調量最大的是G4（）s，不超過1.975%；調節(jié)時間最長的是G1（）s，不超過1.48 s，能滿足期望的性能要求。由圖6可看出，4個驗證系統(tǒng)均達到了穩(wěn)定的超調量最大為0.400%，的調節(jié)時間最長為1.40 s，控制效果較好。

圖5　各棱邊系統(tǒng)低壓轉速階躍響應Fig.5 Low pressure rotor speed response of edge systems

圖6　不確定系統(tǒng)族的低壓轉速階躍響應Fig.6 Low pressure rotor speed response of uncertain system family

以海平面1.0馬赫數(shù)條件下的壓比控制系統(tǒng)為例，發(fā)動機中間狀態(tài)的噴口面積-壓比線性模型為：

執(zhí)行機構的傳遞函數(shù)采用以下形式：

設執(zhí)行機構的K和T的攝動范圍均為±20%，采用類似于上述的方法，分別畫出4個棱邊系統(tǒng)所對應的PI控制參數(shù)穩(wěn)定區(qū)域，并給以一定的幅值裕度和相角裕度要求，得到穩(wěn)定區(qū)域的交集。選擇魯棒控制參數(shù)相應的棱邊系統(tǒng)和驗證系統(tǒng)的仿真結果見圖7和圖8。圖中，πtr為給定壓比，πtG1～πtG4分別為噴口面積-壓比4個棱邊系統(tǒng)的壓比響應，πtG5～πtG8分別為噴口面積-壓比4個驗證系統(tǒng)的壓比響應。由圖7可知，各系統(tǒng)均能達到穩(wěn)定，響應均無超調；調節(jié)時間最長的是G1（）s，不超過0.400 s，能滿足期望的性能要求。從圖8可看出，4個驗證系統(tǒng)均達到了穩(wěn)定，響應均無超調，G5（）s的調節(jié)時間最長為0.400 s，控制效果良好。

圖7　各棱邊系統(tǒng)壓比階躍響應Fig.7 Pressure ratio response of edge systems

圖8　不確定系統(tǒng)族的壓比階躍響應Fig.8 Pressure ratio response of uncertain system family

5　結束語

本文將實際的航空發(fā)動機控制中將出現(xiàn)不確定因素的問題納入考慮，針對發(fā)動機轉速控制系統(tǒng)和壓比控制系統(tǒng)，利用頻域方法設計基于有不確定性的非精確模型的魯棒控制器。根據(jù)推廣到時滯系統(tǒng)的棱邊定理，一個高維準多項式多面體的穩(wěn)定性問題可轉化成若干個多面體棱邊系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題，求得這些棱邊系統(tǒng)的穩(wěn)定域交集即可得到不確定系統(tǒng)族的控制參數(shù)取值范圍。并以具體工作點的轉速和壓比作為被控對象，給系統(tǒng)參數(shù)以一定的變化，在穩(wěn)定域的交集上選擇能使控制系統(tǒng)達到性能指標的魯棒控制參數(shù)，利用在不確定范圍里的系統(tǒng)驗證了魯棒控制器作用下的系統(tǒng)性能。非線性模型仿真結果表明，該頻域設計方法得到的魯棒控制參數(shù)的控制效果較好，擴大了航空發(fā)動機控制系統(tǒng)頻域設計的適用范圍，具有較好的應用前景。

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Frequency domain design of robust PI control for aero-engine

TANG Yu-ting，QIU Xiao-jie

（AVIC Aviation Motor Control System Institute，Wuxi 214063，China）

For the aero-engine high and low pressure rotor speed control loops and pressure ratio control loop，considering dynamic high order open loop transfer function of execute mechanism，the frequency do?main method of designing the robust PI controller for the non-exact models with parameter uncertainties was researched，which based on the edge theorem extended to time-delay systems；then the edge systems and the uncertain system family contained the engine nonlinear model that in the range of uncertainty were used to validate the system performance under the robust controller.Simulation results demonstrate that the design method satisfies performance indices and robustness of closed loop system.

aero-engine；high order system；robust PI control；frequency domain design；edge theorem；parametric uncertainty；time-delay system

V233.7+3

A

1672-2620（2016）04-0038-05

2016-05-30；

2016-08-13

唐鈺婷（1988-），女，河南滑縣人，助理工程師，碩士，從事航空發(fā)動機控制研究。