高 倩，陳曉英，孫麗穎

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基于稀疏表示的TQWT在低頻振蕩信號去噪中應(yīng)用

高 倩，陳曉英，孫麗穎

(遼寧工業(yè)大學(xué)電氣工程學(xué)院，遼寧錦州 121001)

為了改善低頻振蕩信號的去噪效果，為低頻振蕩信號的檢測與分析提供準(zhǔn)確可靠的數(shù)據(jù)，在分析可調(diào)小波變換和稀疏表示原理的基礎(chǔ)上，給出了一種基于稀疏表示的可調(diào)小波變換去噪方法。該方法先利用可調(diào)小波變換對含噪的低頻振蕩信號進(jìn)行稀疏分解，得到初始的小波系數(shù)。再利用基追蹤去噪算法對得到的小波系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化處理。最后對優(yōu)化的小波系數(shù)進(jìn)行重構(gòu)，獲取干凈無噪的低頻振蕩信號。通過仿真分析驗證了該方法的去噪效果和可靠性優(yōu)于目前廣泛使用的小波軟、硬閾值去噪法。

可調(diào)小波變換；稀疏表示；低頻振蕩信號；去噪

0 引言

由于互聯(lián)電力系統(tǒng)的飛速發(fā)展和電力市場的引入，致使電力系統(tǒng)的規(guī)模不斷壯大，運(yùn)行也趨于飽和，由此引發(fā)的低頻振蕩不僅威脅著電網(wǎng)的安全穩(wěn)定運(yùn)行而且還制約著電網(wǎng)傳輸能力的提高[1]。低頻振蕩容易破壞電力系統(tǒng)的設(shè)備，引起聯(lián)絡(luò)線過流跳閘，輕則造成局部電網(wǎng)解列，重則將誘發(fā)連鎖事故導(dǎo)致電網(wǎng)瓦解，甚至發(fā)生大面積停電，嚴(yán)重破壞了電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性與安全性。近年來，國內(nèi)外發(fā)生了多次由低頻振蕩引發(fā)的電力故障，對人民的生活和國民經(jīng)濟(jì)的發(fā)展造成了嚴(yán)重的損失。因此，能夠有效地檢測和分析低頻振蕩信號對提高電力系統(tǒng)的穩(wěn)定性具有重大意義。但實際信號中除了有用的低頻振蕩信號外，還包含大量的噪聲信號，而噪聲的存在往往破壞了對低頻振蕩信號的有效表征，為后續(xù)信號檢測和分析帶來極大的負(fù)面影響。只有有效地濾除噪聲信號，才能為低頻振蕩信號的分析提供準(zhǔn)確可靠的信息，所以在檢測和分析低頻振蕩信號前對其進(jìn)行去噪處理顯得尤為重要。

目前低頻振蕩信號采用的去噪方法主要有卡爾曼濾波去噪、低通濾波器去噪、模糊濾波去噪、經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解去噪和小波閾值去噪[2-3]。這些方法雖然可以去除信號中的噪聲，但各自都存在一定的弊端。卡爾曼濾波要求系統(tǒng)模型精確，而實際輸入信號多為非平穩(wěn)信號，實際中很難滿足；使用低通濾波器進(jìn)行去噪時，很難準(zhǔn)確地確定濾波器的參數(shù)和所需的系統(tǒng)模型；模糊濾波去噪的缺點是模糊系統(tǒng)欠缺自學(xué)習(xí)、自組織和自適應(yīng)能力；經(jīng)驗?zāi)B(tài)分解去噪的缺陷是存在端點效應(yīng)和模態(tài)混疊問題。小波閾值去噪法具有容易實現(xiàn)、計算量小、去噪效果好的特點，近年來得到廣泛應(yīng)用[4]。但閾值和小波基的選取沒有確定的方法，而且傳統(tǒng)的軟、硬閾值函數(shù)都存在一定的缺陷，硬閾值函數(shù)由于其不連續(xù)性容易引起偽吉布斯現(xiàn)象而導(dǎo)致波形失真；軟閾值函數(shù)的連續(xù)性比較好，但其對原始信號的高頻信息的保留效果不太理想，往往造成信息的丟失，這就使得重構(gòu)后的信號與原始信號相比會有一定程度的失真與變形。

針對上述問題，本文給出了一種基于稀疏表示的可調(diào)品質(zhì)因子小波變換(TQWT)去噪方法。該方法將低頻振蕩信號的去噪問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼庾顑?yōu)化問題，該最優(yōu)化問題的解對應(yīng)的是含噪低頻振蕩信號經(jīng)可調(diào)小波變換后得到的干凈無噪的小波系數(shù)的稀疏表示，該方法通過恢復(fù)小波系數(shù)的稀疏性達(dá)到去噪的目的。

1 可調(diào)品質(zhì)因子小波變換

1.1 品質(zhì)因數(shù)的定義及可調(diào)品質(zhì)因子小波變換的優(yōu)點

品質(zhì)因子的大小可反映信號的振動程度，越大，信號共振屬性越高，反之信號共振屬性越低[5]。它的定義式為

傳統(tǒng)小波變換的中心頻率與帶通濾波器帶寬的比值為一個常數(shù)，即為常數(shù)?？烧{(diào)小波變換，通過改變高通尺度變換參數(shù)，可以連續(xù)調(diào)節(jié)品質(zhì)因子。

用小波變換對待測信號進(jìn)行分解與重構(gòu)時，小波基函數(shù)的選取至關(guān)重要，其選擇的恰當(dāng)與否是影響信號分解與重構(gòu)成敗的一個決定性因素。當(dāng)待分析信號的共振屬性較高時，應(yīng)該選取具有較高品質(zhì)因子的小波基函數(shù)與之相匹配，反之亦然。傳統(tǒng)小波變換的品質(zhì)因子是一個常數(shù)，不能根據(jù)信號的共振屬性來調(diào)節(jié)，這樣就不能通過預(yù)先設(shè)置來選擇與待測信號振動屬性相匹配的小波基函數(shù)。然而可調(diào)小波變換可以根據(jù)待分析信號共振屬性的高低來預(yù)先設(shè)置，通過來選擇與之振動屬性相匹配的小波基函數(shù)，這樣就可以將振蕩形式不同的信號進(jìn)行分離，這是實現(xiàn)低頻振蕩信號與噪聲分離的基礎(chǔ)。由圖1可知，可調(diào)小波變換的越大，其對應(yīng)的小波基函數(shù)的振動屬性越高。

圖1 Q=1和Q=3時小波基函數(shù)的波形圖

1.2 可調(diào)小波變換(TQWT)原理

可調(diào)小波變換(Tunable Q-factor Wavelet Transform, TQWT)是近幾年提出的具有完美重構(gòu)性能的分析離散時間信號的一種可以預(yù)先設(shè)置品質(zhì)因子的小波變換，其基于迭代雙通道濾波器組和離散傅里葉變換來開發(fā)和實現(xiàn)[6]。該方法可以根據(jù)待分析信號的共振屬性來選取與之共振屬性相似的小波基函數(shù)，使小波變換的應(yīng)用更加廣泛[7]。其原理為：

可調(diào)小波變換是基于圖2所示的多分辨率濾波器組來實現(xiàn)信號的分解與重構(gòu)，、分別為低通濾波器和高通濾波器，為低通尺度變換參數(shù)，為高通尺度變換參數(shù)。

設(shè)低通子帶信號0()與高通子帶信號1()的長度分別為01，則，。

重構(gòu)信號()的離散傅里葉變換可表示為

圖3是基于3層可調(diào)小波變換的分解原理圖，每一層的低頻通道都是基于圖2(a)所示的分解方式進(jìn)行分解，從而實現(xiàn)對有限長信號的可調(diào)小波分解。而重構(gòu)則是分解的逆過程，將每一層分解得到的低通子帶信號與高通子帶信號按照如圖2(b)所示的重構(gòu)方式進(jìn)行重構(gòu)，就可以實現(xiàn)有限長信號的可調(diào)小波重構(gòu)。

圖3 可調(diào)Q小波變換的三層分解結(jié)構(gòu)圖

2 稀疏表示理論分析

稀疏表示的基本思想最早是由Mallat和zhang提出，由于其低采樣率、穩(wěn)定的重構(gòu)性能使得它被廣泛應(yīng)用于信號和圖像處理等領(lǐng)域，該方法通過過完備原子庫(字典)中若干原子的線性組合的形式來近似的表示原信號[8]。稀疏表示可以使復(fù)雜的信號變得更加簡潔，使信號的傳輸、壓縮變得更加方便靈活，從而減少實際工程中處理信號的費(fèi)用。同時稀疏表示也可以應(yīng)用于信號和圖像去噪，信號經(jīng)過稀疏分解后，可以很好地去除系數(shù)間的相關(guān)性，使信號能量更集中，可以更加簡潔、全面地表示原信號的特性，從而將噪聲和信號分離，稀疏表示為低頻振蕩信號的去噪提供了一個新的思路。

基追蹤(Basis Pursuit, BP)算法是非常經(jīng)典的全局優(yōu)化算法，被廣泛應(yīng)用于信號稀疏表示的求解過程中，其通過最小化1范數(shù)將求解0-范數(shù)的NP難問題轉(zhuǎn)變成線性規(guī)劃最優(yōu)化問題進(jìn)行求解[9]?；粉櫵惴ú捎?-范數(shù)取代0-范數(shù)，將式(5)非凸問題轉(zhuǎn)化成一個凸問題：

在實際應(yīng)用中，信號往往含有高斯白噪聲，為了更好地在消除噪聲同時獲得信號的最佳稀疏表示，通常采用基追蹤去噪算法[10]，將式(6)轉(zhuǎn)化為

(7)

3 基于稀疏表示的可調(diào)Q小波變換在低頻振蕩信號去噪中的應(yīng)用

設(shè)含噪的低頻振蕩信號為

(8)

式中：是干凈無噪的低頻振蕩信號；是服從正態(tài)分布的隨機(jī)白噪聲。

用可調(diào)小波變換對含噪的低頻振蕩信號進(jìn)行層分解，并得到小波系數(shù)。由于白噪聲的干擾和可調(diào)小波變換的過采樣，使得小波系數(shù)的稀疏性大大降低，即小波系數(shù)的表達(dá)形式是不唯一的，為了盡可能稀疏地將信號分解表示出來，應(yīng)用基追蹤去噪算法對小波系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化處理，具體處理表達(dá)式如下：

采用分裂增廣拉格朗日收縮法(SALSA)[11]對式(9)進(jìn)行求解，這種求解方法可以全面地約束目標(biāo)函數(shù)，將小波系數(shù)作為一個整體進(jìn)行求解，不會由于個別系數(shù)誤差而影響整體的解，克服了小波閾值去噪法逐點處理系數(shù)的不足。

設(shè)采用分裂增廣拉格朗日收縮法(SALSA)對公式(9)求解的結(jié)果為，則即為小波系數(shù)的最佳稀疏表示，其對應(yīng)的是干凈無噪的小波系數(shù)。然后，對進(jìn)行可調(diào)小波反變換就可以得到信號，即：，這樣就把干凈無噪的低頻振蕩信號從含噪的低頻振蕩信號中提取出來了，從而達(dá)到去噪的目的。

因此，基于稀疏表示的可調(diào)小波變換去噪的步驟如下：

(1)?根據(jù)含噪低頻振蕩信號的共振屬性選擇合適的分解層數(shù)、品質(zhì)因子和過采樣率，對其進(jìn)行層可調(diào)小波分解，得到各個子帶的小波系數(shù)。

(2)?設(shè)置相應(yīng)的正則化參數(shù)，建立如式(9)所示的目標(biāo)函數(shù)，用SALSA優(yōu)化算法求出最優(yōu)解，即低頻振蕩信號的小波系數(shù)的最佳稀疏表示。

4 仿真分析與計算

為了驗證基于稀疏表示的可調(diào)小波變換去噪法的去噪效果，利用Matlab仿真軟件對該算法進(jìn)行了實驗仿真，并與目前應(yīng)用廣泛的小波閾值去噪法進(jìn)行了仿真對比。

在仿真實驗中，給定低頻振蕩電壓信號的表達(dá)式為

仿真中設(shè)定采樣頻率為20?Hz，采樣點的個數(shù)為512，幅值取標(biāo)幺值(p.u.)，對上述的低頻振蕩信號加入高斯白噪聲作為仿真噪聲，高斯白噪聲均值為0，方差為0.01，此時待測含噪信號的信噪比=32.244?6?dB，均方根誤差=0.100?2，原始信號與加噪信號的波形圖如圖4所示。

對待測含噪的低頻振蕩信號分別進(jìn)行小波軟、硬閾值去噪，在自動降噪函數(shù)中，選用db8小波函數(shù)，分解層數(shù)為5層，閾值修改方法為‘sln’，由于閾值選擇規(guī)則有四種：啟發(fā)式閾值規(guī)則、無偏風(fēng)險閾值規(guī)則、極大極小閾值規(guī)則、固定閾值規(guī)則。

圖4 原始信號與加噪信號

通過對上述四種閾值規(guī)則的去噪效果進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)啟發(fā)式閾值去噪的信噪比最高，均方根誤差最小，去噪效果最好，所以本文的軟、硬閾值均采用啟發(fā)式閾值規(guī)則。小波硬閾值去噪后的波形如圖5(a)所示，小波軟閾值去噪后的波形如圖5(b)所示。用基于稀疏表示的TQWT去噪法對含噪的低頻振蕩信號進(jìn)行去噪處理，參數(shù)設(shè)置為：品質(zhì)因子=3，過采樣率=3，分解層數(shù)=19，正則化參數(shù)=0.5，影響分裂增廣拉格朗日收縮法(SALSA)收斂速度的參數(shù)=0.5，SALSA的迭代次數(shù)=100，去噪后的仿真波形圖如圖5(c)所示。

為了能夠定量地對比基于稀疏表示的可調(diào)小波變換去噪法與小波軟、硬閾值去噪法的去噪效果，引入如下兩個判斷去噪效果好壞的標(biāo)準(zhǔn)：

信噪比SNR，其定義式為

均方根誤差RMSE，其定義式為

分別計算了小波硬閾值去噪、小波軟閾值去噪、基于稀疏表示的TQWT去噪后信號的信噪比與均方根誤差。在計算過程中，對原始信號加入不同程度的噪聲，由于高斯白噪聲是隨機(jī)產(chǎn)生的，所以在每個噪聲水平下重復(fù)做20次仿真實驗，然后將仿真所得數(shù)據(jù)求平均值。表1和表2是高斯白噪聲的標(biāo)準(zhǔn)差分別設(shè)為0.1、0.13、0.17，而原始信號的其他參數(shù)保持不變時，三種去噪方法的SNR與RMSE的計算結(jié)果。

圖5 三種去噪方法的仿真對比圖

表1 三種去噪方法的信噪比對比

表2 三種去噪方法的均方根誤差對比

由圖5可知，與小波軟、硬閾值去噪法相比，基于稀疏表示的TQWT去噪后的信號更加光滑，在原始信號發(fā)生突變時，能夠更好地保留原始信號的突變信息。由表1、表2可見，三種去噪方法中，基于稀疏表示的TQWT去噪后信號的信噪比最大，均方根誤差最小。由文獻(xiàn)[12]可知，信噪比SNR越大，均方根誤差RMSE越小，去噪效果越好，且去噪后的信號與原始信號越接近。綜上可知，基于稀疏表示的TQWT去噪法較小波軟、硬閾值去噪法可以獲得更好的去噪效果和更高的可靠性。

本文的可調(diào)小波變換運(yùn)用基2 FFT算法，大大提高了運(yùn)算效率。由于本文算法的小波分解層數(shù)比小波軟、硬閾值去噪法的分解層數(shù)要多，而且所用的分裂增廣拉格朗日收縮法(SALSA)是一種迭代算法，所以運(yùn)算量稍有增加，但整體運(yùn)算時間小于1.5?s，可以滿足在線應(yīng)用的要求。綜合計算量和去噪效果的考慮，基于稀疏表示的TQWT去噪法在低頻振蕩信號去噪中的去噪效果優(yōu)于小波軟、硬閾值去噪法。

5 結(jié)論

本文采用基于稀疏表示的TQWT去噪法對低頻振蕩信號進(jìn)行去噪處理，通過仿真分析與計算驗證了基于稀疏表示的TQWT去噪法對低頻振蕩信號的去噪效果優(yōu)于目前廣泛使用的小波軟、硬閾值去噪法，能夠較好地保留原始信號的特征信息，為低頻振蕩信號的分析提供準(zhǔn)確可靠的信息。因此，基于稀疏表示的可調(diào)小波變換(TQWT)可以應(yīng)用于低頻振蕩信號去噪中，且具有很好的去噪效果。由于本文的可調(diào)小波變換運(yùn)用基2 FFT算法，所以輸入信號的長度應(yīng)為2的整數(shù)冪，若不滿足，則需在序列后面補(bǔ)零。本文算法主要針對低頻振蕩信號中的高斯白噪聲具有很好的去噪效果，此外，影響本文算法去噪效果的因素有：正則化參數(shù)以及SALSA的迭代次數(shù)和小波分解層數(shù)等相關(guān)參數(shù)的選取，對此可做進(jìn)一步的研究。

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(編輯 魏小麗)

Low frequency oscillating signals denoising based on TQWT via sparse representation

GAO Qian, CHEN Xiaoying, SUN Liying

(College of Electric Engineering, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China)

In order to improve the denoising effect of low frequency oscillation signals and provide the accurate and reliable data for detection and analysis of low frequency oscillation signals, the denoising method based on tunable-factor wavelet transform via sparse representation is given on the analysis of tunable-factor wavelet transform and sparse representation theories. Firstly, the tunable-factor wavelet transform is adopted to perform the signal sparse decomposition for the noisy low frequency oscillation signals, and the initial wavelet coefficients are obtained; secondly, the BP denoising algorithm is used to optimize the obtained wavelet coefficients; lastly, the optimized wavelet coefficients are reconstructed, then the low frequency oscillation signal without noisy is obtained. After the computer simulation, the result demonstrates that this method is superior to the current widely used wavelet soft-threshold and hard-threshold in denoising effect and reliability.

tunable-factor wavelet transform; sparse representation; low frequency oscillation signals; denoising

10.7667/PSPC151358

遼寧省高等學(xué)校優(yōu)秀人才支持計劃項目(LR2013028)

2015-08-04；

2015-09-17

高 倩(1987-)，女，碩士研究生，研究方向為電力系統(tǒng)諧波檢測與抑制；E-mail: gaoqianfd @163.com 陳曉英(1966-)，女，碩士，教授，研究生導(dǎo)師，研究方向為電力系統(tǒng)及其自動化；孫麗穎(1972-)，女，博士，教授，研究生導(dǎo)師，研究方向為電力系統(tǒng)及其自動化。