宋娟，張銘

（1.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北武漢430205）

（2.中國(guó)政法大學(xué)科學(xué)技術(shù)教學(xué)部，北京102249）

連續(xù)時(shí)間非時(shí)齊馬氏過程的廣義Dobrushin系數(shù)的估計(jì)

宋娟1，張銘2

（1.湖北經(jīng)濟(jì)學(xué)院統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖北武漢430205）

（2.中國(guó)政法大學(xué)科學(xué)技術(shù)教學(xué)部，北京102249）

本文研究了非時(shí)齊馬氏過程的廣義Dobrushin系數(shù)的估計(jì)問題.在將經(jīng)典Dobrushin遍歷系數(shù)推廣為加權(quán)的遍歷系數(shù)的基礎(chǔ)上，利用了矩陣拆分的方法，得到了對(duì)這種廣義遍歷系數(shù)的估計(jì)方法，推廣了時(shí)齊馬氏過程關(guān)于遍歷系數(shù)的估計(jì)結(jié)果，借此可進(jìn)一步得到有關(guān)遍歷性的判定結(jié)論.

非時(shí)齊馬氏過程；遍歷系數(shù)；V范數(shù)

1　引言

在研究遍歷性的問題時(shí)會(huì)涉及到很多不同的方法：如最小非負(fù)解理論，譜理論，泛函不等式以及遍歷系數(shù)等，其中應(yīng)用遍歷系數(shù)來進(jìn)行遍歷性推斷的的方法是一種較為簡(jiǎn)便且實(shí)用的方法.

遍歷系數(shù)有很多種，其中最重要也是最常用的一種就是Dobrushin遍歷系數(shù)δ（P）. Rhodius［10］和Neumann，Schneider［9］都曾研究過一些不同范數(shù)下的遍歷系數(shù)，并證明了這些遍歷系數(shù)都可以被Dobrushin遍歷系數(shù)所控制.

關(guān)于δ系數(shù)的研究已經(jīng)進(jìn)行了很多年，并且得到了很多重要的結(jié)果［2］.

近些年來，Hairer，Mattingly［5，6］等人在Meyn，Tweedie［8］的基礎(chǔ)上，通過引入V范數(shù)，推廣得到了LV空間及其對(duì)偶空間，并在其上討論指數(shù)收斂、多項(xiàng)式收斂、次指數(shù)收斂等一系列問題，綜合了drift條件、Lyapunov函數(shù)等得到了很好的結(jié)果.V范數(shù)實(shí)際上可以看作是一般常用范數(shù)的推廣，在應(yīng)用其進(jìn)行具體研究時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)它開拓了研究視野，提供了新的方法和理念，使研究過程得到簡(jiǎn)化.因此，越來越多的人投身于V范數(shù)的相關(guān)研究中，并將其推廣到了更廣泛的領(lǐng)域.文獻(xiàn)［7］就是將V范數(shù)的概念與δ系數(shù)、遍歷性相聯(lián)系，推廣得到了δV系數(shù)：定義符號(hào)測(cè)度μ的V范數(shù)為||μ||V：=sup｛∫Efdμ：||f||V≤1｝，其中V：E→［1，∞］是一個(gè)π-a.s.的有限函數(shù)，

由此就將δ（P）推廣為δV（P）.

定義1對(duì)于函數(shù)V：E→［1，∞），定義隨機(jī)概率矩陣P關(guān)于V的廣義Dobrushin系數(shù)為

根據(jù)這個(gè)定義，顯然有δV（I）=1.并且由此得到了指數(shù)遍歷的另一種判定方法.

一個(gè)ψ不可約非周期的馬氏鏈X=（Xn）n≥0是指數(shù)遍歷的當(dāng)且僅當(dāng)X是遍歷的且其不變測(cè)度為π，還存在一個(gè)π-a.s.有限函數(shù)V：E→［1，∞］使得π（V）＜∞并且當(dāng)n足夠大時(shí)有δV（Pn）＜1.

由此可以看出δV（P）與遍歷性有直接的聯(lián)系，因此對(duì)遍歷性的判定就轉(zhuǎn)換為了對(duì)δV（P）的估計(jì)問題.其實(shí)從文獻(xiàn)［7］中的相關(guān)性質(zhì)可以很明顯的看出，對(duì)于離散時(shí)間的馬氏鏈來說有

既然離散時(shí)間的δV（P）是被連乘積的形式控制的，那么連續(xù)時(shí)間時(shí)又是怎樣的情形呢？

2　主要結(jié)果和證明

為了結(jié)果陳述的方便，先給出一些基本符號(hào)及假設(shè).假設(shè)狀態(tài)空間E上的非時(shí)齊的連續(xù)時(shí)間馬氏過程Ps，t滿足以下條件

（1）對(duì)任意的t≥u≥s≥0，都有Ps，t=Ps，uPu，t；

定理2對(duì)于非時(shí)齊的連續(xù)時(shí)間馬氏過程Ps，t，若有supiqi（t）＜∞，t≥0，則

其中

即可.這里用到文獻(xiàn)［7］中證得的關(guān)于δV（P）系數(shù)的一個(gè)非常重要的性質(zhì)

由此可以得出對(duì)于所有的s＜t，都有

也就是

那么對(duì)于所有的△t＞0來說就有

此時(shí)再令△t↓0，即得

也就是Pt，t+△t具有如下矩陣形式

再根據(jù)δV（P）的定義，有

此時(shí)考慮到，由于supiqi（t）＜∞，所以存在εt＞0，使得對(duì)于任意的△t＜εt時(shí)都有

于是可以得到

則綜上有

于是綜上可知

類似的方法，也可以得到

于是最終得到所要的

至此證明完畢.

根據(jù)前面的定義可知經(jīng)典Dobrushin遍歷系數(shù)就是當(dāng)V（x）≡1時(shí)的特例，于是可得

推論3對(duì)于非時(shí)齊的連續(xù)時(shí)間馬氏鏈Ps，t，若有supiqi（t）＜∞，t≥0，則

其中

證此處只需令定理2中的V=1，即得

再由已知事實(shí)（a+b）-|a-b|=2min（a，b），即可得到結(jié)論.

這里的證明方法是從遍歷系數(shù)本身的定義出發(fā)，使本文對(duì)其控制上界中的?α和?αV的來源有了更清楚的認(rèn)識(shí).由以上得到的結(jié)果可以看出，無論是δ系數(shù)還是δV系數(shù)，其在連續(xù)時(shí)間情形的控制上界都是由指數(shù)形式的控制量所控制的，這恰恰與離散時(shí)間的情況是相對(duì)應(yīng)的.

［1］王偉剛，一般隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的強(qiáng)大數(shù)律［J］.數(shù)學(xué)雜志，2011，31（3）：481-487.

［2］Anderson W J.Continuous-time Markov chains an applications-oriented approach［M］.New York：Springer-Verlag，1991.

［3］Chen Mufa.From Markov chains to non-equilibrium particle systems［M］.Beijing：World Scientufic，Second Edition，2004.

［4］Dobrushin R L.Central limit theorem for non-stationary Markov chains I，II［J］.The.Prob.Appl.，1956，1：63-80，329-383.

［5］Hairer M，Mattingly J C.Spectral gaps in Wassersttein distances and the 2D stochastic Navier-Stokes equations［J］.Ann.Prob.，2008，36（6）：2050-2091.

［6］Hairer M，Mattingly J C.Yet another look at Harris'ergodic theorem for Markov chains［J］.Seminar Stoch.Anal.Rand.Fiel.Appl.VI，Prog.Prob.，2011，63：109-117.

［7］Mao Yonghua，Zhang Ming，Zhang Yuhui.A generalization of Dobrushin coefficient［J］.Chinese J. Appl.Prob.Stat.，2013，29（5）：489-494.

［8］Meyn S P，Tweedie R L.Markov chains and stochastic stability［M］.London：Springer-Verlag，1996.

［9］Neumann M，Schneider H.The convergence of general products of matrices and the weak ergodicity of Markov chains［J］.Linear Alg.Appl.，1999，287：307-314.

［10］Rhodius A.On the maximum of ergodicity coefficients，the Dobrushin ergodicity coefficient，and products of stochastic matrices［J］.Linear Alg.Appl.，1997，253：141-154.

THE ESTIMATE OF GENERALIZED ERGODIC COEFFICIENT FOR CONTINUOUS-TIME INHOMOGENEOUS MARKOV PROCESSES

SONG Juan1，ZHANG Ming2
（1.School of Statistics，Hubei University of Economics，Wuhan 430205，China）
（2.Department of Science and Technology，China University of Political Science and Law，Beijing 102249，China）

In this paper，we study the estimate of the generalized ergodic coefficient for inhomogeneous Markov processes.On the basis of the generalization of the classical Dobrushin ergodic coefficient and using the matrix，we obtain the estimate of the generalized ergodic coefficient，which extends the result of the estimation of the ergodic coefficient for homogeneous Markov processes，with which we can get a criterion for the geometric ergodicity.

inhomogeneous Markov processes；ergodic coefficient；V-norm

MR（2010）主題分類號(hào)：37A30；60J27O211.62

A

0255-7797（2016）05-1097-06

2015-11-05接收日期：2015-12-23

中國(guó)政法大學(xué)青年教師科研啟動(dòng)資助項(xiàng)目（10816108）；國(guó)家社科項(xiàng)目“社交網(wǎng)絡(luò)對(duì)社會(huì)穩(wěn)定性影響的統(tǒng)計(jì)研究”（15CTJ006）.

宋娟（1981-），女，湖北武漢，講師，主要研究方向：基礎(chǔ)數(shù)學(xué).

張銘.

2010 MR Subject Classification：37A30；60J27