李 明，張 黎

?

TheoH方差在光學(xué)陀螺隨機(jī)誤差分析中的應(yīng)用

李 明，張 黎

( 東北林業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，哈爾濱 150040 )

針對用Allan方差方法進(jìn)行隨機(jī)誤差分析時(shí)平均時(shí)間只能達(dá)到數(shù)據(jù)長度的一半，以致長相關(guān)時(shí)間下估計(jì)值的置信度較低的問題，本文提出運(yùn)用高置信度的混合理論方差(TheoH方差)對光學(xué)陀螺進(jìn)行分析。該方法結(jié)合光學(xué)陀螺的信號特征，通過改變混合點(diǎn)位置對偏差補(bǔ)償函數(shù)進(jìn)行改進(jìn)，提高了估計(jì)準(zhǔn)確度。運(yùn)用多種方差估計(jì)算法對仿真信號以及光學(xué)陀螺實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行分析。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，TheoH方差辨識結(jié)果和實(shí)際的冪律譜噪聲特性一致，且具有比Allan方差更高的估計(jì)精度。

光纖元件；光學(xué)陀螺；隨機(jī)誤差；TheoH方差；Allan方差

0 引 言

光學(xué)陀螺的性能指標(biāo)主要包括：零偏與零偏穩(wěn)定性、角隨機(jī)游走系數(shù)、標(biāo)度因數(shù)、動(dòng)態(tài)測量范圍、帶寬、啟動(dòng)時(shí)間、預(yù)熱時(shí)間等。其中零偏不穩(wěn)定性、角度隨機(jī)游走系數(shù)和標(biāo)度因數(shù)是評價(jià)光學(xué)陀螺性能的關(guān)鍵性指標(biāo)，它直接決定了光學(xué)陀螺的應(yīng)用領(lǐng)域和精度等級，代表了陀螺研制生產(chǎn)單位的技術(shù)水平。Allan方差是一種從時(shí)域數(shù)據(jù)中分析振蕩器頻率穩(wěn)定性的方法，能夠?qū)鈱W(xué)陀螺輸出角速率中存在的各個(gè)噪聲項(xiàng)(包含零偏不穩(wěn)定性和角度隨機(jī)游走)和整個(gè)噪聲系統(tǒng)進(jìn)行細(xì)致的表征和辨識[1]。

然而運(yùn)用Allan方差進(jìn)行噪聲信號處理時(shí)，其平均時(shí)間只能達(dá)到數(shù)據(jù)總時(shí)間長度的一半，在長相關(guān)時(shí)間下，由于估計(jì)實(shí)際自由度的降低，導(dǎo)致估計(jì)值的置信度較差。針對傳統(tǒng)Allan方差的不足，學(xué)者們提出了很多改進(jìn)算法。文獻(xiàn)[2]運(yùn)用重疊Allan方差(Overlapping Allan Variance)對慣性傳感器的隨機(jī)誤差進(jìn)行分析，通過重疊采樣形成所有可能的相關(guān)時(shí)間為的子序列，來最大限度的利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)估計(jì)Allan方差，但該方法的相關(guān)時(shí)間依然只能是總時(shí)間長度的一半。文獻(xiàn)[3]運(yùn)用總方差法對光纖陀螺的隨機(jī)誤差特性進(jìn)行了分析，該方法雖然增加了方差估計(jì)的自由度，但延伸后的數(shù)據(jù)并不能反映信號的真實(shí)情況[4]。Theo1(Theoretical Variance #1，也稱#1理論方差)方差是模仿Allan方差的較新的統(tǒng)計(jì)方法，其相關(guān)時(shí)間可以達(dá)到3/4(為信號總持續(xù)時(shí)間)，具有更好的置信度，但Theo1方差是對Allan方差的有偏估計(jì)，因此需要對其做偏差修正[5]。文獻(xiàn)[6]將Theo1方差用于光學(xué)陀螺長相關(guān)時(shí)間下隨機(jī)誤差分析，提取出了更多的陀螺噪聲信息。TheoH方差是去除了Theo1方差與Allan方差之間偏差，再與Allan方差在不同相關(guān)時(shí)間上合成的較新的統(tǒng)計(jì)方法，尤其適合相關(guān)時(shí)間較長和多種噪聲混合存在的情況，可以從相同的數(shù)據(jù)序列中最大程度獲得統(tǒng)計(jì)信息[7]。文獻(xiàn)[8]運(yùn)用TheoH方差對光學(xué)陀螺的隨機(jī)誤差進(jìn)行了分析，取得了較好的效果，不過該方法在短相關(guān)時(shí)間用經(jīng)典Allan方差混合來繪制雙對數(shù)曲線，如果換成交疊Allan方差的話，應(yīng)該可以進(jìn)一步提高隨機(jī)誤差系數(shù)估計(jì)值的置信度[9]。

在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上，本文在TheoH方差的雙對數(shù)曲線繪制過程中，用交疊Allan方差代替Allan方差進(jìn)行混合，提高了中、短相關(guān)時(shí)間下參數(shù)的估計(jì)置信度；同時(shí)通過調(diào)整去除偏離函數(shù)中交接時(shí)間點(diǎn)的位置，使雙對數(shù)曲線更加平滑，便于使用最小二乘法進(jìn)行參數(shù)擬合。將改進(jìn)方法用于仿真信號和對陀螺實(shí)測數(shù)據(jù)的分析，結(jié)果表明該方法在中、短相關(guān)時(shí)間下具有和交疊Allan方差相同的估計(jì)置信度，而且在長相關(guān)時(shí)間下能獲得更多的隨機(jī)誤差信息，提高了光學(xué)陀螺隨機(jī)誤差的估計(jì)準(zhǔn)確度。

1 Allan方差與TheoH方差原理

1.1 Allan方差和交疊Allan方差

Allan方差是一種時(shí)域分析技術(shù)，本質(zhì)是將光學(xué)陀螺輸出的隨機(jī)誤差信號輸入到帶通參數(shù)(也稱相關(guān)時(shí)間)的Allan方差濾波器，得到一組濾波輸出，進(jìn)而辨識和細(xì)化出較多的誤差源。大量試驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，不同的隨機(jī)誤差項(xiàng)將出現(xiàn)在不同的相關(guān)時(shí)間區(qū)域[8]。Allan方差的估計(jì)是基于有限長度數(shù)據(jù)，其估計(jì)的可信度完全依賴于數(shù)據(jù)的獨(dú)立組數(shù)[6]。對于獨(dú)立組數(shù)為的序列，代表Allan方差估計(jì)的實(shí)際自由度，對于隨機(jī)信號來說，估計(jì)值的可信度隨的增加而提高，Allan方差估計(jì)值的百分比誤差為

為提高Allan方差的估計(jì)置信度，學(xué)者們又提出了交疊Allan方差，其采樣示意圖如圖1。該方法除進(jìn)行重疊采樣外與Allan方差計(jì)算方法完全一樣，可以有效提高Allan方差在短相關(guān)時(shí)間下的估計(jì)置信度，但由于其最大相關(guān)時(shí)間也為，所以在長相關(guān)時(shí)間下的估計(jì)置信度仍然不高。

1.2 Theo1方差和原理

Theo1方差是美國國家標(biāo)準(zhǔn)局(NIST)推薦的的一種新的方差分析方法，它具有和Allan方差相似的統(tǒng)計(jì)特性，但是在估計(jì)長相關(guān)時(shí)間下振蕩器穩(wěn)定性方面具有顯著的優(yōu)點(diǎn)，首先是計(jì)算的相關(guān)時(shí)間能達(dá)到數(shù)據(jù)總時(shí)間長度的75%，其次是具有更高的估計(jì)置信度，而且可以辨識出更多種類的噪聲[10]。相比較于Allan方差，Theo1是一種估計(jì)性能提高了的方差分析方法，對于時(shí)間序列，采樣間隔為，總時(shí)間為，Theo1方差采取了二次采樣方法，就是在采樣時(shí)間內(nèi)，，為偶數(shù)，方差計(jì)算的采樣時(shí)間步幅變?yōu)椋俅芜M(jìn)行采樣。Theo1方差有兩個(gè)采樣時(shí)間，一個(gè)是，一個(gè)是，相對應(yīng)于Allan方差的定義，Theo1方差的定義為

但是由于Theo1采用完全不同的數(shù)據(jù)采樣方法，所以相對Allan方差是有偏的，因此需要對其做偏差修正。TheoBR(Bias-Removed version of Theo1，用表示)就是自動(dòng)補(bǔ)償Theo1與交疊Allan方差之間偏差后得到的方差計(jì)算函數(shù)。即：

為更準(zhǔn)確的對隨機(jī)誤差進(jìn)行估計(jì)，TheoH方差采用了一種混合統(tǒng)計(jì)的方式：

圖3 交疊Allan方差與TheoBR方差組合過程

但是該算法在對光學(xué)陀螺進(jìn)行分析時(shí)，會(huì)出現(xiàn)融合點(diǎn)重疊的問題，因此經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，本文提出將該算法的值變?yōu)闂l件下的最大值，這樣能夠使融合曲線更為平滑，更易于利用最小二乘法進(jìn)行辨識，更適合光學(xué)陀螺的特點(diǎn)。相對于Allan方差，Theo1和TheoH理論方差估計(jì)置信度更高[5-8]。

2 仿真與實(shí)驗(yàn)研究

類似于Allan方差，TheoH方差能夠很好地給出原子鐘的頻率穩(wěn)定性。更為一般地，對于光學(xué)陀螺中的各種噪聲，TheoH方差可以通過分析雙對數(shù)圖中對應(yīng)的曲線斜率檢驗(yàn)噪聲類型以及辨識噪聲參數(shù)。光學(xué)陀螺的隨機(jī)誤差源主要包括角度隨機(jī)游走、偏置不穩(wěn)定性、速率隨機(jī)游走、速率斜坡、量化噪聲，以及指數(shù)相關(guān)(Markov過程)噪聲等[11]。這些隨機(jī)噪聲過程都可以用冪律譜模型來表征。因此，如果TheoH方差的分析對象是光學(xué)陀螺的角度信號或者角速度信號，TheoH方差分析方法完全可以替代Allan方差用于光學(xué)陀螺的隨機(jī)誤差特性分析，文獻(xiàn)[6]和[8]證明了該推論。

2.1 仿真試驗(yàn)研究

光學(xué)陀螺中的隨機(jī)噪聲服從冪律譜噪聲特性，通過改變與白噪聲方差(或標(biāo)準(zhǔn)差)相關(guān)的參數(shù)，可以得到方差時(shí)變的各種冪律譜噪聲[6]。文獻(xiàn)[12]用一階馬爾可夫過程來模擬零偏不穩(wěn)定性，用高斯白噪聲驅(qū)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型來模擬其它噪聲，作為光學(xué)陀螺仿真數(shù)學(xué)模型。本文借鑒該數(shù)學(xué)模型，采樣頻率為10 Hz，采樣時(shí)間1200 s，仿真信號如圖4。圖中白色部分為零偏不穩(wěn)定性，黑色部分為其它噪聲項(xiàng)。本文重點(diǎn)只對零偏不穩(wěn)定性進(jìn)行提取是因?yàn)榱闫环€(wěn)定是評價(jià)光學(xué)陀螺性能的重要指標(biāo)，也是補(bǔ)償算法和濾波算法中經(jīng)常要用到的參數(shù)，因此本文著重考察多種算法在提取零偏不穩(wěn)定性方面的表現(xiàn)。而評價(jià)光學(xué)陀螺的另一個(gè)指標(biāo)——角度隨機(jī)游走，是短相關(guān)時(shí)間下可以提取到的隨機(jī)誤差系數(shù)，用TheoH方差和Allan方差提取的結(jié)果相差不大，因此沒有進(jìn)行仿真。

圖5是分別運(yùn)用Allan方差、Theo1方差和TheoH方差對仿真信號進(jìn)行分析的雙對數(shù)曲線圖，橫軸為平均時(shí)間(或相關(guān)時(shí)間)，縱軸為標(biāo)準(zhǔn)差(Deviation，即方差的開平方)。從圖中可以看出，當(dāng)平均因子較小(即相關(guān)時(shí)間較短)時(shí)，傳統(tǒng)Allan方差和TheoH方差幾乎完全相等，但是在大的平均因子的情況下，由于傳統(tǒng)Allan方差估計(jì)的自由度很小，估計(jì)值波動(dòng)較大，尤其是在接近測量數(shù)據(jù)總持續(xù)時(shí)間的一半()時(shí)，Allan方差估計(jì)值波動(dòng)非常劇烈，這是因?yàn)閺膶?yīng)的自由度來看，當(dāng)時(shí)，Allan方差僅有一個(gè)自由度，而TheoH方差有2.1～6個(gè)自由度的原因[7]。圖中還可以看到TheoH方差和Theo1方差的相關(guān)時(shí)間可以達(dá)到900 s左右且依然保持穩(wěn)定，而Allan方差不到400 s就開始劇烈波動(dòng)了。而且Theo1方差法在長相關(guān)時(shí)間下，由于沒有得到有效補(bǔ)償相對Allan方差發(fā)生了偏離，只有TheoH方差即通過改變采樣步長進(jìn)行二次采樣的方法將相關(guān)時(shí)間提高到了，又對算法造成的偏離進(jìn)行了自動(dòng)補(bǔ)償，為準(zhǔn)確的辨識出陀螺的噪聲系數(shù)提供了保障。

圖6是文獻(xiàn)[8]提出的Allan方差與TheoBR混合得到的TheoH方差(Hybrid of Allan and TheoBRVariance)，本文提出的交疊Allan方差與TheoBR混合得到的TheoH方差(Hybrid of Overlapping Allan and TheoBR Variance)和去除交接點(diǎn)跳變的改進(jìn)的TheoH方差(Improvement TheoH Variance)三種方法的比較圖?？梢钥吹礁倪M(jìn)前不管是Allan方差還是重疊Allan方差同TheoBR方差并沒有完全融合在一起，出現(xiàn)了一段突然的跳變，造成曲線不夠平滑，必然會(huì)影響到下一步獨(dú)立噪聲項(xiàng)的辨識準(zhǔn)確度。產(chǎn)生這個(gè)問題的原因是TheoBR方差的補(bǔ)償函數(shù)是針對原子時(shí)鐘頻率穩(wěn)定度的，并不完全適用于光學(xué)陀螺，本文通過大量試驗(yàn)對其算法進(jìn)行了改動(dòng)，將融合點(diǎn)由提前到了。使兩種算法的融合更為完美，擬合出的曲線更為平滑，提高了辨識精度，更易于用最小二乘法等隨機(jī)誤差辨識方法進(jìn)行擬合及噪聲系數(shù)的提取。

圖6 TheoH方差改進(jìn)前后雙對數(shù)曲線比較圖

把用一階馬爾可夫過程仿真的零偏不穩(wěn)定性1 200 s平均值作為標(biāo)準(zhǔn)值(0.033 8)，分別用Allan方差、文獻(xiàn)[8]提出的方法、本文提出的兩種改進(jìn)方法和來提取零偏不穩(wěn)定性誤差系數(shù)值，通過比較哪個(gè)更接近標(biāo)準(zhǔn)值來判斷各個(gè)算法的參數(shù)辨識能力，比較結(jié)果見表1?？梢钥吹剑疚母倪M(jìn)算法辨識出的零偏不穩(wěn)定性估計(jì)值最接近標(biāo)準(zhǔn)值。

Table 1 Extraction results of bias instability by different variance analysis methods

2.2 光學(xué)陀螺信號隨機(jī)誤差分析

光學(xué)陀螺在工作時(shí)，受溫度、輻射和外界環(huán)境干擾的綜合影響，隨機(jī)噪聲較大，通過對陀螺的隨機(jī)誤差項(xiàng)進(jìn)行辨識和細(xì)化，可以為進(jìn)一步進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)和算法補(bǔ)償提供依據(jù)。本文以動(dòng)態(tài)試驗(yàn)中采集到的陀螺輸出信號為例，對多種方差分析算法進(jìn)行了比較分析。圖7為光纖陀螺的量測信號，采樣時(shí)間間隔為0.05 s，采集數(shù)據(jù)約60 000個(gè)。

圖8是用不同方差分析方法對光學(xué)陀螺啟動(dòng)信號進(jìn)行分析的比較圖。可以看到在短相關(guān)時(shí)間下各個(gè)方差的計(jì)算結(jié)果基本保持一致，在長相關(guān)時(shí)間下卻完全不同：Allan方差的波動(dòng)很大，交疊Allan方差雖然在短相關(guān)時(shí)間具有較高的置信度，但最多只能計(jì)算到數(shù)據(jù)總長度的一半，所以更長的相關(guān)時(shí)間還需要TheoH方差來進(jìn)行估計(jì)，Theo1方差很早就偏離了方差變化的趨勢，總方差的表現(xiàn)也正如它的數(shù)據(jù)延伸算法原理一樣，延伸的數(shù)據(jù)不能代表信號真實(shí)變化，只是減小了波動(dòng)，延續(xù)了短相關(guān)時(shí)間下變化的趨勢，并不能真正的表征長相關(guān)時(shí)間下的變化特點(diǎn)。只有TheoH方差既能在短相關(guān)時(shí)間與Allan方差保持一致，又在其無法進(jìn)行計(jì)算的長相關(guān)時(shí)間下進(jìn)行了置信度較高的估計(jì)，二次采樣的算法使之能包含更多的陀螺噪聲信息，可以更為準(zhǔn)確的提取出各個(gè)噪聲項(xiàng)。

3 結(jié) 論

本文結(jié)合光學(xué)陀螺的特點(diǎn)，對用于原子時(shí)鐘頻率穩(wěn)定度分析的TheoH方差進(jìn)行了有效改進(jìn)，使之更為適用于光學(xué)陀螺信號分析。該方法克服Allan方差方法在長相關(guān)時(shí)間下等效自由度低導(dǎo)致置信度低的問題，擬合出的方差曲線相關(guān)時(shí)間提高了50%，并且包含更多的噪聲信息，為準(zhǔn)確辨識和提取噪聲源，并進(jìn)一步對光學(xué)陀螺進(jìn)行結(jié)構(gòu)改進(jìn)或?qū)Ш綖V波算法精度的提高提供了參考。

[1] 石國祥，陳堅(jiān)，葉軍，等. 總方差方法在光纖陀螺隨機(jī)誤差分析中的應(yīng)用 [J]. 光電工程，2012，39(1)：62-67.

SHI Guoxiang，CHEN Jian，YE Jun，. Applications of total variance method in random error analysis of the fiber optic gyro signal [J]. Opto-Electronic Engineering，2012，39(1)：62-67.

[2] LI Jintao，F(xiàn)ANG Jiancheng. Not fully overlapping Allan variance and total variance for inertial sensor stochastic error analysis [J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement(S0018-9456)，2013，62(10)：2659-2672.

[3] 韓軍良，葛升民，沈毅. 基于總方差方法的光纖陀螺隨機(jī)誤差特性研究 [J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，39(5)：708-711.

HAN Junliang，GE Shengmin，SHEN Yi. Research on the random error properties of FOG based on total variance [J]. Journal of Harbin Institute of Technology，2007，39(5)：708-711.

[4] Howe David A. The total deviation approach to long-term characterization of frequency stability [J]. IEEE Transactions on Ultrasonic，F(xiàn)erroelectrics，and Frequency Control(S0885-3010)，2000，47(5)：1102-1110.

[5] Howe David A，Tasset T N. Theol： characterization of very long-term frequency stability [C]// Proceedings of the 18th European Frequency and Time Forum (EFTF '04)，Guildford，UK，April 5-7，2004：581-587.

[6] 程旭維，湯霞清，黃湘遠(yuǎn). 基于#1理論方差的光學(xué)陀螺長期隨機(jī)誤差分析 [J]. 中國激光，2014，41(10)：10005003.1-10005003.8.

CHENG Xuwei，TANG Xiaqing，HUANG Xiangyuan. Investigation on random error properties of optic gyroscope based on Theoretical Variance #1 [J]. Chinese Journal of Lasers，2014，41(10)：10005003.1-10005003.8.

[7] Howe David A. TheoH：A hybrid，high-confidence statistic that improves on the Allan deviation [J]. Metrologia(S0026-1394)，2006，43(4)：322-331.

[8] 湯霞清，程旭維，高軍強(qiáng). 光學(xué)陀螺隨機(jī)誤差特性的混合理論方差方法分析 [J]. 兵工學(xué)報(bào)，2015，36(9)：1688-1695.
TANG Xiaqing，CHENG Xuwei，GAO Junqiang. Hybrid Theoretical Variance Analysis for Random Error Properties of Optic Gyroscope [J]. Acta Armamentaria，2015，36(9)：1688-1695.

[9] 李曉瑩，胡敏，張鵬，等. 交疊式Allan方差在微機(jī)械陀螺隨機(jī)誤差辨識中的應(yīng)用 [J]. 西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，25(2)：225-229.
LI Xiaoying，HU Min，ZHANG Peng，. Applying Overlapping Allan Variance Theory to Better Stochastic Modeling of Microgyro [J]. Journal of Northwestern Polytechnical University，2007，25(2)：225-229.

[10] Levine Judah，Parker T. The algorithm used to realize UTC(NIST) [C]// 2002 IEEE International Frequency Control Symposium，New Orleans，Louisiana，USA，May 29-31，2002：537-542.

[11] 金毅，吳訓(xùn)忠，謝聶，等. 光纖陀螺隨機(jī)漂移在線建模實(shí)時(shí)濾波技術(shù) [J]. 光電工程，2015，42(3)：13-19.
JIN Yi，WU Xunzhong，XIE Nie，. Real-time Filtering Research Based on On-line Modeling Random Drift of FOG [J]. Opto-Electronic Engineering，2015，42(3)：13-19.

[12] 金毅，吳訓(xùn)忠，謝聶. 基于Allan方差的光纖陀螺隨機(jī)漂移建模與仿真 [J]. 應(yīng)用光學(xué)，2014，35(3)：547-551.
JIN Yi，WU Xunzhong，XIE Nie. Modeling and simulation of FOG random drift based on Allan variance [J]. Journal of Applied Optics，2014，35(3)：547-551.

Application of TheoH Variance in Stochastic Error Analysis for the Optical Gyroscope Signal

LI Ming，ZHANG Li

( College of Mechanical and Electrical Engineering, Northeast Forestry University, Harbin 150040, China )

To solve the problems that the averaging time of Allan variance can only reach half of total data length，and confidence at long averaging time is lower, according to the random errors properties of the inertial sensors at time and frequency domains, a new method for analyzing the random error properties of the inertial sensor based on high confidence and hybrid Allan variance (TheoH variance) is proposed, which can better adapt to the characteristics of optical gyroscope by changing the location of the transition point. The simulated random error of optical gyroscope and measured data of FOG start-up signal are analyzed with the TheoH variance and other variance analysis method. The results show that the estimation values of the TheoH variance are consistent with power-law noise，It can efficiently improve the confidence in the case of great averaging time, and its estimation accuracy is higher than the Allan variance, especially in long term- values.

optical fiber components; optical gyroscope; stochastic error; TheoH variance; Allan variance

1003-501X(2016)08-0027-06

TN253

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.08.005

2015-11-18；

2016-01-06

中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金項(xiàng)目(2572015BB06)；東北林業(yè)大學(xué)教育教學(xué)研究項(xiàng)目(DGY2014-33)

李明(1980-)，男(漢族)，江蘇宿遷人。講師，碩士，主要研究方向是計(jì)算機(jī)應(yīng)用。E-mail: liming_nefu1980@sina.com。