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（1.西安工業(yè)大學(xué)測試與控制技術(shù)研究所，陜西 西安 710021；2.西安共達(dá)精密機(jī)器有限公司，陜西 西安 710075）

LM算法求解大殘差非線性最小二乘問題研究

祝強(qiáng)1，李少康1，徐臻2

（1.西安工業(yè)大學(xué)測試與控制技術(shù)研究所，陜西 西安 710021；2.西安共達(dá)精密機(jī)器有限公司，陜西 西安 710075）

針對傳統(tǒng)LM算法求解大殘差非線性最小二乘問題時(shí)存在算法失效的現(xiàn)象，分析Hessian矩陣與其近似矩陣的相似度對LM算法有效性的影響，提出一種依據(jù)殘差變化方向搜索信賴域區(qū)間的自尋優(yōu)LM算法。優(yōu)化阻尼系數(shù)的更新算法，引入大殘差引起的局部不收斂判斷條件，以最速下降法結(jié)束當(dāng)前迭代。迭代過程均以目標(biāo)函數(shù)值的減小作為接受條件，算法穩(wěn)定可靠。圓擬合測試結(jié)果證明:自尋優(yōu)LM算法對待求參數(shù)初始值的選取不敏感，在15°夾角短圓弧、大殘差等極端條件下仍可獲得較快的收斂速度和良好擬合效果。自尋優(yōu)LM算法具有較強(qiáng)的魯棒性和穩(wěn)定性，性能明顯優(yōu)于傳統(tǒng)LM算法。

LM算法；高斯牛頓法；最小二乘；殘差

0　引　言

在工程應(yīng)用中，許多問題都可以歸結(jié)為非線性最小二乘問題的最優(yōu)化實(shí)現(xiàn)，如圓擬合、非線性型面擬合。目前，大多數(shù)非線性最優(yōu)化方法是把目標(biāo)函數(shù)按Taylor級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，舍去高階項(xiàng)，將非線性目標(biāo)函數(shù)近似線性化，通過迭代算法求解待求參數(shù)，使其不斷逼近最優(yōu)目標(biāo)。

常用算法有最速下降法、Newton法[1-2]、Gauss-Newton（GN）法、Levenberg-Marquardt（LM）算法等。最速下降法利用負(fù)梯度方向作為搜索方向，是一種非常穩(wěn)定的算法，但收斂速度不能盡如人意。Newton法保留了目標(biāo)函數(shù)Taylor級(jí)數(shù)展開式中的一階項(xiàng)和二階項(xiàng)，具有二次收斂速度，但每一步迭代都需要計(jì)算Hessian矩陣，計(jì)算繁瑣。GN法以目標(biāo)函數(shù)的Jacobian矩陣來構(gòu)造Hessian矩陣的近似矩陣H′，提高了算法效率。以上兩者具有相同的缺陷，若Hessian矩陣或其近似矩陣H′為奇異矩陣時(shí)，兩種算法都無法繼續(xù)迭代。

LM算法[3-4]屬于一種信賴域算法，由學(xué)者K. Levenberg以及D.Marquardt研究提出的，目的在于解決Hessian構(gòu)造矩陣的非正定問題和奇異問題。LM算法主要用于求解非線性多元目標(biāo)函數(shù)[5]的最優(yōu)問題，目前對LM算法的研究主要集中在收斂速率和穩(wěn)定性上，如利用外在曲率在傳統(tǒng)LM算法中加入輔助加速項(xiàng)[6-7]來提高LM算法的收斂速度。采用Sobolev梯度替代歐氏梯度[8-9]實(shí)現(xiàn)LM算法求解非線性最小二乘問題。通過分析和改進(jìn)阻尼系數(shù)的更新策略[10-11]，使LM算法具有更強(qiáng)的適用性等。本文旨在分析殘差水平與算法穩(wěn)定性之間的關(guān)系，特別是求解非線性最小二乘問題，待求參數(shù)初始值的選取對LM算法穩(wěn)定性和收斂速度的影響，對阻尼系數(shù)和信賴域的更新策略進(jìn)行改進(jìn)，使之具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性。

1　LM算法推導(dǎo)及分析

1.1LM算法

以誤差平方和SSE構(gòu)造最小二乘目標(biāo)函數(shù)[5-6]F（x，w），表示為

式中：x——輸入?yún)?shù)向量；

w——待求參數(shù)向量；

N——待求參數(shù)向量的個(gè)數(shù)；

f——目標(biāo)函數(shù)單項(xiàng)殘差值；

M——離散非線性系統(tǒng)的采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)。

令k為迭代步數(shù)，wk、wk+1分別為第k步、第k+1步迭代搜索到的待求參數(shù)值，待求參數(shù)取wk時(shí)，Jacobian矩陣表示為Jk，單項(xiàng)殘差值表示為fk，梯度向量表示為gk，Hessian矩陣表示為Hk，則Newton法迭代公式為

式（3）說明Newton算法以負(fù)梯度方向作為極小值的搜索方向，相比于最速下降法而言，其步長不再通過線性精確搜索獲得，而是采用Hessian矩陣的逆矩陣作為搜索步長，算法具有二次收斂速度。當(dāng)矩陣H為奇異矩陣時(shí)，無法求得其逆矩陣，Newton法無法進(jìn)行迭代。同時(shí)，Hessian矩陣的正定性是Newton法搜索方向正確的保證。

GN法的迭代公式為

GN法以Jacobian矩陣來計(jì)算Hessian矩陣的近似矩陣，迭代過程中不再計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的二階偏導(dǎo)，算法效率得以提高。但兩者具有同樣的缺陷，當(dāng)近似Hessian矩陣奇異或非正定時(shí)，算法無法執(zhí)行或發(fā)散。

為了克服Newton法和GN法存在的缺陷，LM算法采用新的方法構(gòu)造近似Hessian矩陣，保證算法的穩(wěn)定性。LM算法迭代公式為

從迭代公式可以得出，LM算法是最速下降法和GN法的組合。阻尼系數(shù)μ相當(dāng)于權(quán)值，當(dāng)μ=0時(shí)，LM算法蛻化為GN法；當(dāng)系數(shù)μ較大時(shí)，LM算法近似為最速下降法。系數(shù)μ的選擇保證了LM算法的有效性，避免近似Hessian矩陣不可逆情況的出現(xiàn)。LM算法的實(shí)現(xiàn)方式不是唯一的[7-8]，研究的主要內(nèi)容集中在矩陣H的構(gòu)造方法以及阻尼系數(shù)μ的更新公式上，但各種算法都是以學(xué)者D.Marquardt給出的LM算法為基礎(chǔ)，這里稱之為傳統(tǒng)LM算法。

1.2傳統(tǒng)LM算法在圓擬合中的應(yīng)用分析

圓擬合[12-13]屬于非線性最小二乘問題，是工程應(yīng)用中經(jīng)常遇到的一種曲線擬合[14-15]，如回轉(zhuǎn)零件加工和測量中的坐標(biāo)系建立、圓度測量等。圓擬合通常是在被測工件或裝置上對其某一截面進(jìn)行采樣，獲取該截圓上的離散采樣點(diǎn)，通過優(yōu)化算法進(jìn)行圓擬合計(jì)算，得到圓心和半徑信息。

在理論半徑為100mm，采樣點(diǎn)數(shù)為11個(gè)，誤差水平±2μm條件下，采用傳統(tǒng)LM算法對不同采樣點(diǎn)中心夾角、不同初始值情況下進(jìn)行擬合計(jì)算，分析殘差、夾角對算法帶來的影響。設(shè)定最大迭代次數(shù)為50次，當(dāng)梯度向量的二范數(shù)或待求參數(shù)向量增量的二范數(shù)＜10-6時(shí)，迭代終止，仿真測試在Matlab中完成，測試結(jié)果如表1所示。表中“夾角”是指采樣點(diǎn)所含中心夾角大小，“初始值”是指算法選擇的待求參數(shù)初始向量，對于圓擬合，待求參數(shù)向量為（x，y，r），即圓心坐標(biāo)和半徑。“擬合圓心”是指算法得到的圓心坐標(biāo)（x，y）。傳統(tǒng)LM算法的圓擬合結(jié)果可以得出，當(dāng)采樣點(diǎn)中心夾角較大、待求參數(shù)初始值接近理論值時(shí)，算法可以獲得較為理想的擬合結(jié)果。如夾角為90°、120°，初始值選取為[0，2，90]或[-2，2，60]時(shí)，傳統(tǒng)LM算法得到的擬合圓信息較為真實(shí)，擬合圓心及擬合半徑偏差符合圓擬合中疊加誤差與采樣夾角間的誤差傳遞關(guān)系。當(dāng)初始值遠(yuǎn)離理論值時(shí)，如[-20，20，10]，算法不能收斂，無法得到正確的圓信息。

表1　傳統(tǒng)LM算法的圓擬合結(jié)果

從傳統(tǒng)LM算法推導(dǎo)過程分析，算法采用Jacobian矩陣來計(jì)算Hessian矩陣的近似矩陣，在流程中以增益系數(shù)λ的符號(hào)來判斷當(dāng)前迭代點(diǎn)是否可以接受。也就是說，如果λ＞0，算法認(rèn)為當(dāng)前迭代點(diǎn)保證了目標(biāo)函數(shù)的下降趨勢，并以增益系數(shù)λ來計(jì)算下一步迭代的阻尼系數(shù)μ。對殘差函數(shù)f（x+h）按Taylor級(jí)數(shù)展開，并忽略二階及以上項(xiàng)，可得：

目標(biāo)函數(shù)可近似表示為

傳統(tǒng)LM算法中增益系數(shù)λ的計(jì)算如下式：

式（8）中分母項(xiàng)為

表2　初始向量選擇對Hessian矩陣及近似Hessian矩陣的影響

由于阻尼系數(shù)μ＞0，且hTh、-hTg為正，因此式（8）中的分母項(xiàng)必為正，這就是傳統(tǒng)LM算法采用增益系數(shù)λ的符號(hào)來判斷目標(biāo)函數(shù)是否下降的原因。從上述推導(dǎo)過程可知，式（6）是該結(jié)論的基礎(chǔ)。但在實(shí)際應(yīng)用中，由于待求參數(shù)向量的理論值無法預(yù)知，選定的初始值可能遠(yuǎn)離理論值，從而導(dǎo)致采用線性模型來近似原目標(biāo)函數(shù)不成立。在這種情況下，增益系數(shù)λ算式的分母項(xiàng)無法保證一定為正，傳統(tǒng)LM算法中對殘差變化方向的判斷和阻尼系數(shù)μ的預(yù)測都會(huì)失效。

Pi在孤獨(dú)而絕望的漂流中，選擇了信仰上帝，“信仰上帝就是敞開心胸，就是不受拘束，就是深深的信任，就是愛的自由行動(dòng)”有時(shí)候他會(huì)疲憊、憤怒、和憂傷，他就會(huì)努力讓自己高興起來。他會(huì)摸著用襯衫碎片做的包頭巾大聲說：“這是上帝的帽子”；他會(huì)指著理查德·帕克大聲說“這是上帝的貓”；他會(huì)指著救生艇大聲說“這是上帝的方舟”；他會(huì)攤開雙手大聲說“這是上帝的寬廣土地”；他會(huì)指著天空大聲說“這是上帝的耳朵”就這樣，他一直提醒自己上帝的創(chuàng)造和自己在其中的位置。黑暗最終會(huì)消散，上帝會(huì)留下來，成為他心里一個(gè)閃光的點(diǎn)，他會(huì)繼續(xù)去愛，并因?yàn)閷@世界的愛而活下去。

為了分析初始值偏離理論值的程度對傳統(tǒng)LM算法的影響，表2選取4種初始值向量，計(jì)算圓擬合目標(biāo)函數(shù)對應(yīng)的Hessian矩陣及其近似矩陣H（由Jacobian矩陣獲得），并給出兩者之間的相似度。表中理論圓圓心為（0，0），理論半徑為100mm。由相似度結(jié)果可知，當(dāng)初始向量為[0，0，100]（向量元素依次為初始圓心坐標(biāo)x、y，初始半徑r），即不含偏差時(shí)，兩者相似度為1。隨著初始值不斷偏離理論值，兩者之間的相似度不斷下降。

相似度變化表明傳統(tǒng)LM算法不適合解決大殘差條件下的非線性最小二乘問題，殘差較大時(shí)將導(dǎo)致目標(biāo)函數(shù)的線性近似產(chǎn)生嚴(yán)重偏離，導(dǎo)致算法對殘差變化趨勢判斷出錯(cuò)，造成阻尼系數(shù)μ的預(yù)測失敗，算法失穩(wěn)。殘差較大時(shí)：1）計(jì)算目標(biāo)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，LM算法蛻變?yōu)楦咚古ｎD法；2）改進(jìn)阻尼系數(shù)的更新方法，提高LM算法的穩(wěn)定性，在保持超線性收斂速度的同時(shí)，簡化算法的計(jì)算復(fù)雜度。

2　自尋優(yōu)LM算法

通過以上分析和測試可知，當(dāng)殘差較大時(shí)，傳統(tǒng)LM算法可能失效，算法無法獲得正確的圓擬合結(jié)果。針對這種情況，本文提出一種改進(jìn)的自尋優(yōu)LM算法，修正信賴域搜索條件，優(yōu)化阻尼系數(shù)的更新方式，使LM算法具有更強(qiáng)魯棒性。算法流程如下：

1）初始化各變量，迭代步數(shù)k=0，確定待求參數(shù)向量初始值w0，設(shè)定迭代停止條件ε，最大迭代步數(shù)kmax。

2）計(jì)算Hessian近似矩陣H，H=JTkJk，計(jì)算梯度向量g，g=Jkfk。

3）第1步采用最速下降法計(jì)算下降方向h，采用一維準(zhǔn)確線性搜索計(jì)算步長d，得到搜索點(diǎn)w1，w1=w0-d·h。迭代步數(shù)k=k+1，更新搜索點(diǎn)，w0=w1，計(jì)算H、g。

5）計(jì)算待求參數(shù)變化量h，h=-H-1g，更新搜索點(diǎn)w1=w0-h，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值F1，令λmin=λ0，λ0=λ0+2λa，λmax=λ0，轉(zhuǎn)至6）。

6）如果F1≤F0，更新搜索點(diǎn)，w0=w1。迭代步數(shù)k= k+1，若k＞kmax，轉(zhuǎn)至11）。否則，轉(zhuǎn)至4）；如果F1＞F0，令Fmin=F1，轉(zhuǎn)至7）。

7）更新阻尼系數(shù)μ=（λmin+λmax）/2，F(xiàn)old=F1，更新矩陣，計(jì)算待求參數(shù)變化量h，更新搜索點(diǎn)w′=w0-h，計(jì)算目標(biāo)函數(shù)值F1。

8）如果 Fmin＞F1，置 Fmin=F1，λmin=λ0，num=0；否則，num=num+1；若num＞10，置ρ=1，轉(zhuǎn)9）；否則，轉(zhuǎn)至10）。

9）采用最速下降法替代本步迭代過程，計(jì)算迭代搜索點(diǎn)w1，w1=w0-d·h，更新搜索點(diǎn)，w0=w1，轉(zhuǎn)至4）。

10）如果Fold≤F1，搜索方向殘差增大，令λmax=λ0，λ0=λ0+λa/5，λmin=λ0，l=0，ν=2。如果Fold＞F1，搜索方向殘差減小，若l=1，令ν=2ν。更新變量λmin=λ0，λ0=λ0+ ν×λa，λmax=λ0，l=1。跳轉(zhuǎn)至6）。

11）結(jié)束迭代。

表3　自尋優(yōu)LM算法的圓擬合結(jié)果

自尋優(yōu)LM算法的每一步迭代過程均以目標(biāo)函數(shù)值減小作為接受條件，確保殘差保持下降趨勢。阻尼系數(shù)μ的更新不再依賴于目標(biāo)函數(shù)值的變化，而是在搜索過程中根據(jù)殘差變化方向進(jìn)行修正，自動(dòng)調(diào)整搜索范圍λmin、λmax，實(shí)現(xiàn)合理阻尼系數(shù)的快速搜索，避免了大殘差條件下產(chǎn)生錯(cuò)誤的搜索方向。由于實(shí)際采樣點(diǎn)總會(huì)帶有一定的誤差，當(dāng)誤差水平較高時(shí)，殘差會(huì)出現(xiàn)連續(xù)增大情況，表示無法很快找到合理的阻尼系數(shù)或當(dāng)前搜索方向錯(cuò)誤，阻尼系數(shù)的搜索耗時(shí)過長，算法將停止本次搜索，而改用最速下降法來計(jì)算本次迭代過程，保證算法的正常進(jìn)行。

3　自尋優(yōu)LM算法測試分析

為了測試自尋優(yōu)LM算法在大殘差情況下的運(yùn)行狀態(tài)，以表1中的測試條件進(jìn)行仿真，對5種不同中心夾角和3種不同初始值情況下進(jìn)行圓擬合計(jì)算，仿真結(jié)果如表3所示。

從表中測試結(jié)果來看，自尋優(yōu)LM算法的穩(wěn)定性明顯優(yōu)于傳統(tǒng)LM算法，在初始值遠(yuǎn)離理論值時(shí)仍然獲得了理想的圓擬合結(jié)果。當(dāng)采樣點(diǎn)分布于中心夾角15°極端條件下，算法的擬合結(jié)果正確且穩(wěn)定。從各種擬合條件下的測試結(jié)果來看，自尋優(yōu)LM算法的迭代步數(shù)和計(jì)算時(shí)間基本恒定，目標(biāo)函數(shù)的最終殘差值接近一致，即算法效率不受采樣條件和初始值選擇的影響，具有很強(qiáng)的魯棒性。

4　結(jié)束語

本文以圓擬合為例，分析了初始值選擇對Hessian矩陣及近似矩陣之間相似度的影響，證明了傳統(tǒng)LM算法不適合解決大殘差條件下的非線性最小二乘問題，從理論層面給出傳統(tǒng)LM算法失效的原因。文中提出自尋優(yōu)LM算法，算法修正了尋找最優(yōu)信賴域的條件，優(yōu)化了阻尼系數(shù)的計(jì)算方法，提高LM算法的魯棒性。圓擬合仿真測試證明，自尋優(yōu)LM算法的穩(wěn)定性明顯優(yōu)于傳統(tǒng)LM算法，算法效率不受初值的影響，在短圓弧、初值遠(yuǎn)離理論值時(shí)均可獲得良好的擬合結(jié)果。

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（編輯：莫婕）

Study of solving nonlinear least squares under large residual based on Levenberg-Marquardt algorithm

ZHU Qiang1，LI Shaokang1，XU Zhen2
（1.Institute of Measurement and Control Technology，Xi’an Technological University，Xi’an 710021，China；2.Xi’an GongDa Precision Machine Co.，Ltd.，Xi’an 710075，China）

The traditional Levenberg-Marquardt algorithm(LM algorithm)is always invalid in solving large residual nonlinear least squares problems.Thus,how the similarity between Hessian matrix and its approximate matrix influences the effectiveness of the traditional LM algorithm is analyzed.And a self-optimizing LM algorithm that the residual changing direction is used to search for trust-region intervals is proposed.The updating algorithm of damping coefficient is improved;A judging condition is introduced to solve the localdivergence caused by large residual;and the LM algorithm is substituted by the steepest descent method.It is the unique accepting condition that the objective function value is decreased continuously in the iterative process.The self-optimizing LM algorithm is stable and reliable.Circle fitting tests show that the self-optimizing LM algorithm is insensitive to the initial value of searching parameters.Under the extremeconditionssuchaslargeresidualandtheshortarcof15°includedangle,the convergence is fast and the fitting results are good,which proves that this new algorithm is robust and stable and its performance is superior to the traditional LM algorithm.

Levenberg-Marquardt algorithm；Gauss-Newton algorithm；least squares；residual

A

1674-5124（2016）03-0012-05

10.11857/j.issn.1674-5124.2016.03.003

2015-07-30；

2015-09-11

國家自然科學(xué)基金（51475351）；陜西省科學(xué)技術(shù)研究發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目（2013K08-12）；陜西省協(xié)同創(chuàng)新計(jì)劃項(xiàng)目（2015XT-32）；西安工業(yè)大學(xué)校長基金（XAGDXJJ1006）

祝強(qiáng)（1972-），男，湖北襄陽市人，副教授，博士，研究方向?yàn)榫軠y量與控制技術(shù)。