趙猛　陳麗華*　張偉

(1.北京工業(yè)大學機電學院, 北京　100124) (2.機械結(jié)構(gòu)非線性振動與強度北京市重點實驗室, 北京　100124)

?

微型Mindlin板非線性動力學模型的建立?

趙猛1,2陳麗華1,2*張偉1,2

(1.北京工業(yè)大學機電學院, 北京100124) (2.機械結(jié)構(gòu)非線性振動與強度北京市重點實驗室, 北京100124)

隨著MEMS技術(shù)工藝的發(fā)展,微型結(jié)構(gòu)在工程領(lǐng)域的應用越來越廣泛.對于微型結(jié)構(gòu),經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學理論的本構(gòu)關(guān)系中不包含任何特征長度尺度,不能反映結(jié)構(gòu)在微米尺度下的尺寸效應.本文基于Von Karman大變形理論和一階剪切變形理論,把考慮尺寸效應的應變梯度理論推廣至微型Mindlin板的非線性問題.分別計算微結(jié)構(gòu)的應變能,包括宏觀變形應變能和微觀變形應變能兩部分,結(jié)合微型Mindlin板結(jié)構(gòu)的動能及外力功,代入Hamilton原理,得到了微型Mindlin板在大變形情況下的非線性動力學方程及邊界條件.

非線性,Mindlin板,應變梯度,尺度效應,Hamilton原理

引言

近些年,微機電系統(tǒng)(MEMS)的迅速發(fā)展,使得整個業(yè)界都呈現(xiàn)出了微型化的特點,此類結(jié)構(gòu)的尺寸都非常小,而實驗結(jié)果表明:在微尺度下,結(jié)構(gòu)會出現(xiàn)明顯的尺度效應.然而由于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學理論中并不包含特征長度參數(shù),因此并不能預測在微尺度下板結(jié)構(gòu)所表現(xiàn)出來的尺度效應.

從Cosserat兄弟提出偶應力理論開始,許多學者針對微結(jié)構(gòu)的尺度效應提出了一系列的理論,1964年,Mindlin[1]給出了彈性全應變梯度理論,除了通常的兩個拉梅常數(shù)以外,還引入五個新的材料常數(shù);1992年,Aifantis和Altan在本構(gòu)方程中引入了應變張量的二階梯度,提出了一種梯度彈性理論.1992年,Aifantis[2]構(gòu)建了一種簡單的應變梯度理論,采用了經(jīng)典線性各向同性彈性理論所采用的拉梅常數(shù);該理論中只使用了一個長度尺度參數(shù).2003年,Lam[3]等引入了相同的高階平衡約束,提出了一種有三個額外材料參數(shù)的彈性應變梯度理論.

與此同時,許多學者利用應變梯度理論對微型結(jié)構(gòu)進行了研究,2008年,Papargyri-Beskou和Beskos[4]運用應變梯度理論分析了彈性梯度彎曲Kirchhoff微型板結(jié)構(gòu)的靜態(tài)變形、穩(wěn)定性和線性固有頻率;2010年,Papargyri-Beskou[5]等用他們以前得到的基本方程分析了固定和簡支圓形彈性梯度薄板的靜態(tài)變形;2011年,Wang[6]等基于Lam等提出的彈性應變梯度理論提出了一種線性Kirchhoff微型板結(jié)構(gòu)模型,并研究了該結(jié)構(gòu)的靜態(tài)變形、固有頻率和屈曲;2012年,Ramezani[7]提出了基于標準彈性應變梯度理論的一階剪切變形微型板結(jié)構(gòu)模型,主要研究了結(jié)構(gòu)的靜態(tài)彎曲和線性固有頻率;2014年,Li[8]對基于應變梯度理論的雙層簡支Kirchhoff微型板進行了研究,得出尺寸效應對板的偏轉(zhuǎn)、軸向應力以及零應力面的位置有較大的影響.

以上各位學者針對微型結(jié)構(gòu)進行的是線性研究,而在大變形非線性研究方面:2004年,Lazopoulos[9]基于Aifantis提出的彈性應變梯度理論,結(jié)合von Karman幾何非線性建立了Kirchhoff微型板結(jié)構(gòu)的方程;2011年,Reddy[10]研究了微結(jié)構(gòu)Euler-Bernoulli和Timoshenko功能梯度材料梁的非線性振動問題;2012年和2013年,Ramezani和Rajabi[11]利用應變梯度理論研究了微型梁結(jié)構(gòu)的非線性問題,并發(fā)現(xiàn)非線性是提升結(jié)構(gòu)固有頻率的主要原因,但在某些特殊的長厚比情況下,尺度效應也有明顯提升固有頻率的效果.2013年,Ramezani[12]基于應變梯度理論對微型薄板結(jié)構(gòu)進行了非線性振動的研究.

綜上所述,針對微型結(jié)構(gòu)的線性問題已進行了深入的研究,而應用應變梯度理論進行非線性研究工作目前還主要集中在梁結(jié)構(gòu)和薄板結(jié)構(gòu),所以本文針對微型Mindlin板,綜合考慮一階剪切變形、Von Karman大變形和尺寸效應的影響,把應變梯度理論推廣到Mindlin板的非線性問題,分別計算微結(jié)構(gòu)的勢能,動能及外力功,代入Hamilton原理,得到了微型Mindlin板在大變形情況下的非線性動力學方程及邊界條件,該方程及邊界條件可應用于MEMS結(jié)構(gòu)中微型Mindlin板結(jié)構(gòu),進行非線性動力學分析,同時也可應用于微型機械結(jié)構(gòu)、微型太陽能帆板等微型Mindlin板結(jié)構(gòu)的振動控制的研究.

1　應變梯度理論

應變梯度理論在本構(gòu)關(guān)系中引入了材料的特征長度尺寸,并考慮了應變梯度高階張量對應變能密度函數(shù)的影響,能夠描述和解釋微構(gòu)件力學性能的尺寸效應現(xiàn)象.應變梯度理論建立了連續(xù)介質(zhì)框架下考慮應變梯度影響的新的本構(gòu)模型,成為刻劃微米尺度效應的有力工具,也是聯(lián)系經(jīng)典力學與原子力學之間現(xiàn)實可行的橋梁,它們是一種廣義連續(xù)介質(zhì)力學理論.

應變梯度理論有三種形式:

Ⅰ型應變梯度ηijk=uk,ij;

Ⅱ型應變梯度ηijk=εjk,i;

(1)

其中:

(2)

a4ηijkηijk+a5ηiikηkji

(3)

aJ(J=1,2,3,4,5)為材料的尺度參數(shù).

根據(jù)(3)式可以得到高階應力的表達式:

a2(ηpiiδqr+ηqiiδpr)+2a3ηiirδpq+

2a4ηpqr+a5(ηrqp+ηrpq)

(4)

δij為克羅內(nèi)克函數(shù).

2　模型的建立

針對微型Mindlin板,尺寸為a×b×h,

圖1　結(jié)構(gòu)示意圖Fig. 1　The illustration of the Mindlin plate

綜合考慮一階剪切變形、VonKarman大變形和尺度效應的影響,利用Hamilton原理建立板結(jié)構(gòu)的非線性動力學模型.

對于Mindlin板,板結(jié)構(gòu)內(nèi)任意一點沿X、Y、Z方向的位移分別為:

(5)

其中u0,v0,w0為中面上任意點在X、Y、Z方向的位移,φx,φy分別為繞Y軸和X軸的轉(zhuǎn)角.

由VonKarman大變形理論,可以得到非線性應變表達式:

(6)

由本構(gòu)關(guān)系得到應力表達式為:

(7)

E,υ分別為材料的彈性模量和泊松比.

設(shè):

(8)

其中:h為板結(jié)構(gòu)厚度.

基于經(jīng)典連續(xù)介質(zhì)力學,微型板結(jié)構(gòu)宏觀變形的應變能表達式為:

(9)

把由VonKarman大變形理論得到的非線性應變表達式(6)代入Ⅱ型應變梯度理論表達式ηijk=ηikj=εjk,i=εkj,i(i,j,k=x,y,z),得到非線性應變梯度表達式如下:

ηxzz=ηyzz=ηzzz=ηzxz=ηzzx=ηzyz=ηzzy=0

(10)

代入(4)式,得到非線性高階應力表達式:

τxxx=2(a1+a2+a3+a4+a5)ηxxx+

(a1+2a2)ηxyy+(a1+2a3)ηyyx

τxxy=(a1+2a5)ηyxx+(a1+2a3)ηyyy+

2(a3+a4)ηxxy

τxyx=2(a4+a5)ηxxy

τxyy=(a1+2a2)ηxxx+(a1+2a5)ηyyx+

2(a2+a4)ηxyy

τxxz=(a1+2a5)ηzxx+2(a3+a4)ηxxz+

a1ηzyy+2a3ηyyz

τxzx=2(a4+a5)ηxxz

τxyz=2a4ηxyz+2a5ηzxy

τxzy=2a4ηxyz+2a5ηyxz

τxzz=(a1+2a2)ηxxx+a1ηyyx+2a2ηxyy

τyxx=(a1+2a5)ηxxy+(a1+2a2)ηyyy+

(2a2+2a4)ηyxx

τyzy=(2a4+2a5)ηyxy

τyyx=(a1+2a3)ηxxx+(a1+2a5)ηxyy+

(2a3+2a4)ηyyx

τyyy=(a1+2a3)ηxxy+(a1+2a2)ηyxx+

(2a1+2a2+2a3+2a4+2a5)ηyyy

τyxz=2a4ηyxz+2a5ηzxy

τyzx=2a4ηyxz+2a5ηxyz

τyyz=(a1+2a5)ηzyy+(2a3+2a4)ηyyz+

a1ηzxx+2a3ηxxz

τyzy=(2a4+2a5)ηyzy

τyzz=(a1+2a2)ηyyy+a1ηxxy+2a2ηyxx

τzxx=(a1+2a5)ηxxz+(2a2+2a4)ηzxx+

a1ηyyz+2a2ηzyy

τzxy=2a4ηzxy+2a5ηyxz

τzyx=2a4ηzxy+2a5ηxyz

τzyy=(a1+2a5)ηyyz+(2a2+2a4)ηzyy+

a1ηxxz+2a2ηzxx

τzzx=(a1+2a3)ηxxx+a1ηxyy+2a3ηyyx

τzzy=(a1+2a3)ηyyy+a1ηyxx+2a3ηxxy

τzzz=(a1+2a3)ηxxz+(a1+2a3)ηyyz+

(a1+2a2)ηzxx+(a1+2a2)ηzyy

τzxz=τzyz=0

(11)

同時設(shè):

(12)

則微觀變形部分的應變能為:

(13)

由此考慮尺度效應微型板結(jié)構(gòu)的總應變能為:

(14)

結(jié)構(gòu)的動能和外力功分別為:

(15)

WE=∫Ω(qw)dxdy

(16)

其中:τijk為高階應力,ηijk為高階應變,ρ為材料密度,q(x,y)為結(jié)構(gòu)所受橫向分布力.

將(14)、(15)、(16)三式代入Hamilton原理:

(17)

整理得到微型Mindlin板的非線性動力學方程:

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

同時得到了微型Mindlin板的邊界條件:見表1、表2:

表1　x=0, a邊界條件

表2　y=0, b邊界條件

分別把(7)、(11)代入(8)和(12)式,再代入到動力學方程(18)～(22)和邊界條件中,得到由位移表示的非線性動力學方程和邊界條件.限于篇幅有限,本文并未列出.

3　結(jié)論

本文基于VonKarman大變形理論和一階剪切變形理論,將應變梯度理論推廣到Mindlin板的非線性問題,采用能夠反映大變形的Ⅱ型應變梯度理論,分別計算微結(jié)構(gòu)宏觀變形的應變能和微觀變形的應變能,結(jié)合微型Mindlin板結(jié)構(gòu)的動能及外力功,基于Hamilton原理,得到了微型Mindlin板大變形情況下的非線性動力學方程及邊界條件,方程和邊界條件中分別包含宏觀變形項和微觀變形項,為MEMS結(jié)構(gòu)中微型Mindlin板結(jié)構(gòu)的非線性動力學分析提供了理論基礎(chǔ),同時方程可應用于微型機械結(jié)構(gòu)、微型太陽能帆板等微型Mindlin板結(jié)構(gòu)的振動控制的研究.

1MindlinRD.Micro-structureinlinearelasticity. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1964,16(1):51～78

2AifantisEC.Ontheroleofgradientsinthelocalizationofdeformationandfracture. International Journal of Engineering Science, 1992,30(10):1279～1299

3LamDCC,YangF,ChongACM,WangJ,TongP.Experimentsandtheoryinstraingradientelasticity. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2003,51(8):1477～1508

4Papargyri-BeskouS,BeskosDE.Static,stabilityanddynamicanalysisofgradientelasticflexuralKirchhoffplates. Archive of Applied Mechanics, 2008,78(8):625～635

5Papargyri-BeskouS,GiannakopoulosAE,BeskosDE.Variationalanalysisofgradientelasticflexuralplatesunderstaticloading. International Journal of Solids Structures, 2010,47(20):2755～2766

6WangB,ZhouS,ZhaoJ,ChenX.Asize-dependentKirchhoffmicro-platemodelbasedonstraingradientelasticitytheory. European Journal of Mechanics A-Solids, 2011,30(4):517～524

7RamezaniS.Asheardeformationmicro-platemodelbasedonthemostgeneralformofstraingradientelasticity. International Journal of Mechanical Sciences, 2012,57(1):34～42

8LiAQ,ZhouSJ,ZhouSS,WangBL.Asize-dependentmodelforbi-layeredKirchhoffmicro-platebasedonstraingradientelasticitytheory. Composite Structures, 2014,113:272～280

9LazopoulosKA.Onthegradientstrainelasticitytheoryofplates. European Journal of Mechanics A-Solids, 2004,23(5):843～852

10ReddyJN.Microstructure-dependentcouplestresstheoriesoffunctionallygradedbeams. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2011,59(11):2382～2399

11RajabiF,RamezaniS.Anonlinearmicrobeammodelbasedonstraingradientelasticitytheory. Acta Mechanica Solida Sinica, 2013,26(1):21～34

12RamezaniS.Nonlinearvibrationanalysisofmicro-platesbasedonstraingradientelasticitytheory. Nonlinear Dynamics, 2013,73(3):1399～1421

*TheprojectsupportedbytheNationalNaturalScienceFoundationofChina(11472019).

?CorrespondingauthorE-mail:chenlihua@bjut.edu.cn

09June2015,revised08July2015.

NONLINEARDYNAMICSMODELOFTHEMICRO-MINDLINPLATEBASEDONTHESTRAINGRADIENTTHEORY?

ZhaoMengChenLihua?ZhangWei

(Beijing Key Laboratory of Nonlinear Vibrations and Strength of Mechanical Structures College of Mechanical Engineering,Beijing University of Technology, Beijing100124, China)

WiththedevelopmentofMEMSfabricatingtechnology,MEMSstructurenowhasawideapplicationinmanufacturingindustry.Meanwhile,becauseofnoanycharacteristiclengthscaleparametersinconstitutiverelationship,theclassicaltheoryofcontinuummechanicsisunlikelytopredictthesizeeffectundermicroscale.ThispaperinvestigatesthenonlinearproblemsofmicroMindlinplatesbasedonthefirst-ordersheardeformationtheoryandvonKarmannon-linearity,andthestraingradienttheoryisalsoutilizedtotakesizeeffectintoconsideration.NonlineardynamicmodelofthemicroMindlinplatealongwithitsboundaryconditionsareobtainedbytakingstrainenergy,includingstrainenergyofbothmacroandmicrodeformation,kineticenergyandexternalworkintoHamilton′sprinciple.

nonlinear,Mindlinplate,straingradienttheory,sizeeffect,Hamiltonprinciple

E-mail: chenlihua@bjut.edu.cn

10.6052/1672-6553-2015-078

2015-06-09收到第1稿,2015-07-08收到修改稿.

*國家自然科學基金資助項目(11472019)