任詠紅，趙得利，顧鈺

（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連116029）

基于Burg entropy-散度函數(shù)的不確定概率約束優(yōu)化問題的等價(jià)形式

任詠紅，趙得利，顧鈺

（遼寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧大連116029）

許多有重要價(jià)值的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型均為概率優(yōu)化模型，如水庫(kù)系統(tǒng)設(shè)計(jì)問題、現(xiàn)金匹配問題等，該類模型通常存在分布的不確定性.文章對(duì)概率優(yōu)化模型的分布不確定性展開研究，探討了基于Burg entropy-散度函數(shù)的不確定概率約束優(yōu)化問題的一個(gè)等價(jià)形式.構(gòu)造了基于Burg entropy-散度函數(shù)的不確定集，用測(cè)度變換的方法把一個(gè)關(guān)于分布P的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于似然比的凸優(yōu)化問題，證明了基于Burg entropy-散度函數(shù)的不確定概率約束優(yōu)化問題解的存在性，并且得到了基于Burg entropy-散度函數(shù)的不確定概率約束優(yōu)化問題的等價(jià)形式.

Burg entropy-散度函數(shù)；似然比；不確定概率約束優(yōu)化；測(cè)度變換

許多有重要價(jià)值的實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型均為如下形式的概率約束優(yōu)化（CCP）模型：

其中x是d維的決策向量，P表示分布P的不確定集，ξ是Ξ?Rk上的服從概率分布P的隨機(jī)向量，并且X?Rd，f∶Rd→R，H（x，ξ）∶Rd×Rk→R是實(shí)值函數(shù)，Pr～P表示關(guān)于分布P的概率，β是預(yù)先給定的置信水平.這里的分布P通常存在著不確定性，這就給問題（CCP）的求解增加了很大的難度，因而求解該類問題的關(guān)鍵是構(gòu)造不確定集.對(duì)于不確定集的構(gòu)造，學(xué)者做了大量的研究.如Delage和Ye[1]（2010）利用歷史數(shù)據(jù)構(gòu)造了關(guān)于均值向量和協(xié)方差矩陣的置信集.Goh和Sim[2]（2010）研究了具有方向偏差信息的均值向量的易處理的圓錐表示集等，其中具有代表性的工作是通過恰當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)得到分布的一個(gè)估計(jì)P0（稱為額定分布）.根據(jù)概率分布P和額定分布P0的距離不大于一個(gè)確定常數(shù)來構(gòu)造不確定集.確定兩個(gè)分布間的距離有很多方法，如Hu和Hong[3]（2013）研究了用KL散度定義概率分布不確定集的分布魯棒優(yōu)化問題.任詠紅[4]等（2015）討論了基于修正的χ2-距離散度函數(shù)的不確定概率約束優(yōu)化問題.

本文基于Burgentropy-散度函數(shù)確定分布P的不確定集，研究了問題（CCP）的約束條件，應(yīng)用測(cè)度變換的的方法將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于似然比的凸優(yōu)化問題，得到基于Burgentropy-散度函數(shù)的不確定概率約束優(yōu)化問題解的存在性，并建立了基于Burgentropy-散度函數(shù)的不確定概率并約束優(yōu)化問題的等價(jià)形式.

1　基于Burg entropy-散度函數(shù)的不確定集

考慮Burgentropy-散度函數(shù)

顯然，函數(shù)在t>0時(shí)是凸函數(shù)，且滿?(1)=0，對(duì)a>0有

P0是隨機(jī)變量ξ的額定分布，假設(shè)k維分布P和P0在Ξ?Rk上存在密度函數(shù)分別為p（ξ）和p0（ξ）.基于Burgentropy-散度函數(shù)，定義分布P到P0的Burgentropy-散度為

當(dāng)P0是離散分布時(shí)，p0（ξ）表示概率質(zhì)量函數(shù).當(dāng)P0是混合分布時(shí)，如果P0在ξ處有0質(zhì)量，那么p0（ξ）表示在ξ處的密度.若P0在ξ處有一正質(zhì)量，則p0（ξ）表示在ξ處的概率質(zhì)量函數(shù)，顯然，并且且僅當(dāng)在分布P0下幾乎處處（a.s.）有p（ξ）=p0（ξ）.稱為似然比，顯然則分布P到分布P0的Burgentropy-散度為

應(yīng)用Burgentropy-散度構(gòu)造額定分布P0的一個(gè)鄰域，得到不確定集

其中D表示所有概率分布的集合，η為任意大于0的數(shù).

2　不確定概率約束的轉(zhuǎn)化形式

考慮概率約束優(yōu)化（CCP）模型：

該問題是一個(gè)相當(dāng)抽象的優(yōu)化模型，因?yàn)槠渲袥Q策變量的概率分布P是不確定的，這使問題很難處理.而解決問題（2）的一個(gè)關(guān)鍵步驟是約束函數(shù)所對(duì)應(yīng)的優(yōu)化問題的求解.

考慮問題（2）的約束函數(shù)

應(yīng)用測(cè)度變換的方法得到

結(jié)合（1）和（4），問題（3）就可以轉(zhuǎn)化為如下形式

命題1：?jiǎn)栴}（5）是關(guān)于L（ξ）的凸優(yōu)化問題.

證明令

關(guān)于L（ξ）是凹的.因此問題（5）是凸優(yōu)化問題，命題得證.

問題（5）的Lagrange函數(shù)為

則問題（5）等價(jià)于

問題（6）的對(duì)偶問題為

可以證明問題（6）和問題（7）之間的強(qiáng)對(duì)偶定理成立.從而要想求解問題（5），只需求解問題（7）即可．

3　內(nèi)部極大化問題的求解

問題（7）的內(nèi)部極大問題的求解可以轉(zhuǎn)化為求解如下問題

設(shè)v（λ，α）是問題（8）的最優(yōu)值函數(shù)，考慮如下兩種情況：

（1）當(dāng)α=0時(shí)，設(shè)Hμ（x）是在分布P0下的本質(zhì)上確界，即

構(gòu)造一個(gè)分布序列Pj<

因此，v（λ，α）=Hμ（x）.

（2）當(dāng)α≠0時(shí)，定義函數(shù)

易證J(L(ξ))關(guān)于L(ξ)是凹的，那么就有J(L(ξ))的方向?qū)?shù)存在，記DJ(L(ξ))表示J(L(ξ))的方向?qū)?shù)，則對(duì)于在L(ξ)處的任意可行方向V(ξ)：

因?yàn)楫?dāng)t∈R+時(shí)，函數(shù)?(t)是凸函數(shù).所以對(duì)任意的L(ξ)和可行方向V(ξ)，函數(shù)

關(guān)于t是單調(diào)遞增的，因此由單調(diào)收斂定理可知

由命題1可知，問題（8）是一個(gè)無約束的凸優(yōu)化問題，因此問題（8）的最優(yōu)解即為L(zhǎng)agrange函數(shù)l0(α,λ,L(ξ))的穩(wěn)定點(diǎn)，即l0(α,λ,L(ξ))的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)方程的解.

定理得證.

由定理得，基于Burgentropy散度函數(shù)，問題（7）等價(jià)于

[1]Delage E,Ye Y.Distributionally robust optimization under moment uncertainty with application to data-driven problems[J].Op?erations Research,2010,58:595-612.

[2]Goh J,Sim M.Distributionally robust optimization and its tractable approximations[J].Operations Research,2010,58(4):902-917.

[3]Hu Z,Hong L J.Kullback-Leibler divergence constrained distributionally robust optimization.Technical report[EB/OL].http:// www.optimization-online.org/DB_FILE/2012/11/3677.pdf.

[4]任詠紅,王榆,趙得利.基于修正的x2-距離散度的不確定概率優(yōu)化問題[J].遼寧師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2015,38(2):156-160.

責(zé)任編輯：劉紅

An Equivalent Form of Ambiguous Probabilistic Constrained Optimization Problem Based on Burg Entropy-divergence Function

REN Yonghong，ZHAO Deli，GU Yu
（School of Mathematics，Liaoning Normal University，Dalian 116029，China）

Many practical problems with important values can be modeled as probabilistic optimization problems,such as reservoir system design,cash matching,and so on,in which often exists distribution of uncertainty.This paper facuses on the uncertainty distribution,and aims at studying an equivalent form of ambiguous probabilistic constrained optimization prob?lem based on Burg entropy-divergence function.Ambiguous set based on Burg entropy-divergence is constructed.With the change-of-measure technique,the optimization problem with respect to distribution P is converted to a convex optimization with respect to likelihood ratio.Existence of solutions of ambiguous probabilistic constrained optimization problem is proved based on Burg entropy-divergence function.Consequently,we obtain the equivalent form of ambiguous probabilistic con?strained optimization problem based on Burgentropy-divergence function.

Burg entropy-divergence；likelihood ratio；ambiguous probabilistic constrained optimization；change-of-mea?sure technique

O 221.5

A

1674-4942（2016）01-0001-05

2015-09-13

國(guó)家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（11171138）；遼寧省教育廳科學(xué)研究一般項(xiàng)目（L2015291）