李志偉，李克昭,2

(1.河南理工大學(xué) 測繪與國土信息工程學(xué)院,河南 焦作 454000；2. 北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,河南 鄭州 450052)

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基于Markov理論的加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測優(yōu)化模型

李志偉1，李克昭1,2

(1.河南理工大學(xué) 測繪與國土信息工程學(xué)院,河南 焦作 454000；2. 北斗導(dǎo)航應(yīng)用技術(shù)協(xié)同創(chuàng)新中心,河南 鄭州 450052)

背景值的構(gòu)造方法是影響加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測模型的精度和適應(yīng)性的關(guān)鍵因素。文中通過等分函數(shù)法構(gòu)造新的背景值對傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)模型進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后的模型使其同時適應(yīng)于高增長指數(shù)序列和低增長指數(shù)序列，提高傳統(tǒng)模型的預(yù)測精度和適應(yīng)性能力。但是優(yōu)化后的模型依然易受建模數(shù)據(jù)隨機(jī)擾動影響。馬爾科夫(Markov)模型具有削弱建模數(shù)據(jù)的隨機(jī)擾動性的優(yōu)勢。基于此，將優(yōu)化的加權(quán)非等距GM(1,1)模型和Markov理論有機(jī)結(jié)合，構(gòu)建優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)預(yù)測模型。最后，結(jié)合秀山湖二期工程的變形實(shí)測數(shù)據(jù)，運(yùn)用新陳代謝的計算模式進(jìn)行預(yù)測驗證。結(jié)果表明：優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)預(yù)測模型的擬合和預(yù)測精度都優(yōu)于傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測模型，新的預(yù)測模型的適用性更強(qiáng)，具有實(shí)際的參考價值。

加權(quán)非等距GM(1,1)模型；背景值；等分函數(shù)法；新陳代謝；變形監(jiān)測

變形監(jiān)測工作可為建筑物安全運(yùn)營、山體滑坡和礦區(qū)塌陷災(zāi)害的預(yù)防和治理等工作提供科學(xué)的決策依據(jù)。在原始變形監(jiān)測數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，如能構(gòu)建合理的預(yù)測模型，不僅為變形監(jiān)測工作提供先驗信息，而且還能為災(zāi)害預(yù)防提供判斷依據(jù)，可把災(zāi)害的損害降低到最小。尤其在GNSS自動化監(jiān)測系統(tǒng)中，預(yù)測方法及合理預(yù)測模型的引入，有可能實(shí)現(xiàn)山體滑坡、礦區(qū)塌陷等突發(fā)災(zāi)害的實(shí)時監(jiān)測或及時預(yù)測?；疑到y(tǒng)理論是一種針對研究資料較少、實(shí)測數(shù)據(jù)貧乏以及不確定性問題的理論。變形監(jiān)測數(shù)據(jù)本身具有一定的灰性，應(yīng)用灰色系統(tǒng)理論建立預(yù)測模型是合適的。

灰色系統(tǒng)理論的預(yù)測模型有多種，其中用于變形監(jiān)測的灰色預(yù)測模型主要有灰色GM(1,1)[1]，初值、背景值以及殘差優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型[2-4]，最小二乘優(yōu)化的灰色GM(1,1)模型[5]，灰線性組合模型[6-7]等。這些模型都是基于等時距的灰色預(yù)測建立的，而在變形監(jiān)測的實(shí)際工作中，監(jiān)測的時間序列往往是非等距的。因此，很多學(xué)者就針對非等距時間序列，構(gòu)建灰色非等距GM(1,1)預(yù)測模型[8-10]，并應(yīng)用到變形監(jiān)測工作中，取得一定的成果。但是，傳統(tǒng)的非等距 GM(1,1)預(yù)測模型本身固有的系統(tǒng)誤差給預(yù)測工作造成一定的負(fù)面影響。本文通過等分函數(shù)法構(gòu)造新的背景值對傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)模型進(jìn)行優(yōu)化，優(yōu)化后的模型同時適應(yīng)于高增長指數(shù)序列和低增長指數(shù)序列，提高傳統(tǒng)模型的預(yù)測精度和適應(yīng)性能力，結(jié)合 Markov理論具有削弱建模數(shù)據(jù)的隨機(jī)擾動性的優(yōu)勢[11-13]，構(gòu)建優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)預(yù)測模型。最后，結(jié)合秀山湖二期工程的變形實(shí)測數(shù)據(jù)，運(yùn)用新陳代謝的計算模式對新模型進(jìn)行預(yù)測驗證。

1　優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)預(yù)測模型

1.1傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)模型

[8-10]，傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)模型的建模步驟如下：

(1)

(2)

(3)

步驟4加權(quán)非等距GM(1,1)模型的白化灰色微分方程為

(4)

式中：a為發(fā)展系數(shù);b為灰作用量。加權(quán)非等距GM(1,1)模型的差分灰色微分方程為

(5)

令參數(shù)矩陣

(6)

步驟5構(gòu)造背景值矩陣B和向量Yn。

(7)

(8)

步驟7加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測模型方程，即

(9)

步驟8恢復(fù)時間序列還原預(yù)測值,即

(10)

1.2等分函數(shù)法構(gòu)造背景值

圖1　傳統(tǒng)背景值序列的構(gòu)造示意圖

圖2　新背景值序列的構(gòu)造示意圖

(11)

因此，4個小區(qū)間面積和為

(12)

同理可得，當(dāng)區(qū)間被分為n份時，n個小區(qū)間的面積和為

(13)

(14)

1.3基于Markov理論修正優(yōu)化的加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測模型

將上述背景值重構(gòu)的加權(quán)非等距GM(1,1)模型與Markov理論有機(jī)結(jié)合，構(gòu)建優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)預(yù)測模型，參考文獻(xiàn)[11-13]，建模步驟如下。

1)劃分Markov狀態(tài)。計算優(yōu)化的加權(quán)非等距GM(1,1)模型的預(yù)測值與殘差序列，并據(jù)此劃分s個Markov狀態(tài)區(qū)間為

(15)

4)編制預(yù)測表。選取距離預(yù)測值目標(biāo)最近s個原始對象，按照從近到遠(yuǎn)的順序，所需的轉(zhuǎn)移步數(shù)分別為1,2,…,s。在轉(zhuǎn)移步數(shù)所對應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣中，取起始狀態(tài)所對應(yīng)的行向量，即為各狀態(tài)出現(xiàn)的概率，并將各自的概率求和，其最大的概率所對應(yīng)的狀態(tài)即為預(yù)測值所對應(yīng)的狀態(tài)。

2　實(shí)例計算與結(jié)果分析

該工程是對秀山湖二期工程中的7幢樓進(jìn)行沉降觀測(12#、13#、15#、18#、19#、20#、21#)。文中以第12#樓為例，由工作基點(diǎn)G3開始對12#樓的沉降點(diǎn)進(jìn)行觀測，按照二等水準(zhǔn)測量的要求進(jìn)行往返測，對變形監(jiān)測點(diǎn)進(jìn)行11期監(jiān)測，觀測精度均符合二等水準(zhǔn)測量的技術(shù)要求，選取12-2、12-4和12-6號點(diǎn)的累計沉降數(shù)據(jù)為原始數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1　實(shí)測沉降累計數(shù)據(jù)表

2.1優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)預(yù)測模型數(shù)據(jù)計算過程

以Matlab7.0軟件為平臺，為使建模數(shù)據(jù)和預(yù)測值有很好的相關(guān)性，同時能夠驗證預(yù)測模型的預(yù)測能力。文中取表1中前7數(shù)據(jù)建模，構(gòu)建優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)預(yù)測模型，利用新陳代謝的計算模式預(yù)測第8～11期數(shù)據(jù)。以監(jiān)測點(diǎn)12-2的第8期數(shù)據(jù)預(yù)測為例，預(yù)測模型的計算過程如下：

2)按照相對值(累計沉降量實(shí)測值與預(yù)測值的比)劃分Markov狀態(tài)，劃分狀態(tài)見表2所示。

表2　Markov狀態(tài)劃分標(biāo)準(zhǔn)

3)計算(一到四步)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

4)計算第8期數(shù)據(jù)所處的狀態(tài)，見表3。

表3　第8期狀態(tài)預(yù)測

2.2優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)預(yù)測模型結(jié)果分析

按照上述計算步驟，運(yùn)用新陳代謝的計算模式，依次計算3個監(jiān)測點(diǎn)的第8～11期的預(yù)測值。即：首先用前7期觀測數(shù)據(jù)建立模型，得到第8期的預(yù)測值；然后去掉建模數(shù)據(jù)中第1期數(shù)據(jù)，加入第8期的預(yù)測值重新建模，計算第9期的預(yù)測值；依次類推，分別計算出第8～11期的預(yù)測值；最后，取最后一次新陳代謝過程中所產(chǎn)生的擬合值和預(yù)測值，作為優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)預(yù)測模型的擬合值和預(yù)測值。

2.2.1擬合值計算結(jié)果

傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)和優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)模型的3個監(jiān)測點(diǎn)的擬合值結(jié)果，見表4～表6所示。

表4　監(jiān)測點(diǎn)12-2預(yù)測模型擬合值結(jié)果　mm

表5　監(jiān)測點(diǎn)12-4預(yù)測模型擬合值結(jié)果　mm

表6　監(jiān)測點(diǎn)12-6預(yù)測模型擬合值結(jié)果　mm

從表4～表6中可以看出，優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)預(yù)測模型的擬合值殘差中誤差均小于傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)預(yù)測模型。并且三組不同的數(shù)據(jù)同時證明新模型的擬合精度優(yōu)于傳統(tǒng)的模型，驗證新模型的可行性。

2)預(yù)測值計算結(jié)果。傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)和優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)模型的3個監(jiān)測點(diǎn)的預(yù)測值結(jié)果，見表7所示。

表7　3個監(jiān)測點(diǎn)預(yù)測值結(jié)果　mm

從表7中可以得出： 3個不同監(jiān)測點(diǎn)的4期預(yù)測結(jié)果殘差中誤差顯示，優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)模型的預(yù)測值殘差中誤差均小于傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)模型。因此，證明優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)模型的預(yù)測精度優(yōu)于傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)模型。從后兩期的預(yù)測值可以看出，傳統(tǒng)模型的預(yù)測值殘差相對較大，新模型的預(yù)測值更具參考價值。因此，新模型的預(yù)測精度更高，預(yù)測能力更強(qiáng)，模型的穩(wěn)定性更強(qiáng)，具有實(shí)際的參考價值。

3　結(jié)束語

本文通過等分函數(shù)法構(gòu)造新的背景值對傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)模型進(jìn)行優(yōu)化，并結(jié)合馬爾科夫(Markov)模型具有削弱建模數(shù)據(jù)的隨機(jī)擾動性的優(yōu)勢，構(gòu)建優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)預(yù)測模型。同時，結(jié)合秀山湖二期工程的變形實(shí)測數(shù)據(jù)，運(yùn)用新陳代謝的計算模式進(jìn)行預(yù)測驗證，并與傳統(tǒng)的加權(quán)非等距GM(1,1)模型的預(yù)測結(jié)果進(jìn)行比較。結(jié)果表明：優(yōu)化的加權(quán)非等距Markov-GM(1,1)模型能夠同時適應(yīng)于高增長指數(shù)序列和低增長指數(shù)序列，提高預(yù)測模型的抗擾動能力，新模型的預(yù)測精度更高、適應(yīng)能力和預(yù)測能力更強(qiáng)，具有實(shí)際的參考價值。

參考文獻(xiàn)：

[1]岳仁賓,騰德貴,胡波,等.灰色模型在深基坑變形監(jiān)測中的應(yīng)用研究[J].測繪通報,2014(增2):85-87.

[2]袁德寶, 崔希民, 高寧.同時利用x(1)(1)和x(1)(n)為GM(1,1)建模初始條件的預(yù)測方法研究[J].大地測量與地球動力學(xué), 2013, 33(3):79-82.

[3]郭蘭蘭,鄒志紅,安巖.基于殘差修正的GM(1,1)模型在水質(zhì)預(yù)測中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2014,44(19):176-181.

[4]譚冠軍.GM(1,1)模型的背景值構(gòu)造方法和應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2000,20(4):99-103.

[5]袁豹,岳東杰,李成任.基于總體最小二乘的改進(jìn)GM(1,1)模型及其在建筑物沉降預(yù)測中應(yīng)用[J].測繪工程,2013,22(3):52-55.

[6]吳浩,董元鋒,李奎,等.灰色系統(tǒng)和幾何耦合的邊坡變形預(yù)測模型研究與應(yīng)用[J].測繪通報,2014(增2):46-49.

[7]高寧,崔希民,高彩云.高層建筑物沉降變形的灰線性預(yù)測[J].測繪科學(xué),2012,37(3):96-98.

[8]王鳴翠,于勝文,張帥帥,等.基坑變形非等時距灰色預(yù)測模型程序設(shè)計及應(yīng)用[J].測繪地理信息,2015,40(1):41-44.

[9]成樞,李強(qiáng).基于非等間隔GM(1,1)模型的沉降預(yù)測[J].測繪與空間地理信息,2015,38(4):33-35.

[10] 李軍亮,肖新平,廖銳全.非等間隔GM(1,1)冪模型及應(yīng)用[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2010,30(3):490-495.

[11] 沈哲輝,黃騰,唐佑輝.灰色-馬爾科夫模型在大壩內(nèi)部變形預(yù)測中的應(yīng)用[J].測繪工程,2015,24(2):69-74.

[12] 王磊,武術(shù)靜,李長青.灰色馬爾科夫模型對煤自燃發(fā)火預(yù)測的研究[J].河南理工大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版),2015,34(1):35-39.

[13] 楊錦偉,孫寶磊.基于灰色馬爾科夫模型在平頂山市空氣污染物濃度預(yù)測[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識,2014,44(2):64-70.

[責(zé)任編輯：張德福]

An optimized weighted non-equidistance GM(1,1) prediction model based on Markov theory

LI Zhiwei1, LI Kezhao1,2

(1.School of Surveying and Landing Information Engineering, Henan Polytechnic University, Jiaozuo 454000, China;2.Collaborative Innovation Center of BDS Research Application, Zhengzhou 450052, China)

The structure method of background value in the weighted non-equidistance GM(1,1) prediction model has an important influence on the precision and adaptability of the model. This paper optimizes the traditional weighted non-equidistance GM(1,1) model which creates a new background by divisions of function method. The optimized model is suited to build the weighted non-equidistance GM(1,1) model for both high growth index series and low growth index series. It improves the precision and adaptability of the traditional model. But the optimized model is still affected by random fluctuation of modeling data easily. Markov model has the advantage of reduce the fluctuation of forecasting the modeling data. Based on above, this paper combines the optimized weighted non-equidistance GM(1,1) model and Markov theory, producing the optimized weighted non-equidistance Markov-GM(1,1) prediction model. Finally, with data of the deformation monitoring of the second phase of Xiushan Lake project, the metabolism computing model is used to predict. The results show that the optimized weighted non-equidistance Markov-GM(1,1) prediction model of the accuracy is better than the traditional weighted non-equidistance GM(1,1) prediction model, and new prediction model performs with better applicability, which has practical reference value.

weighted non-equidistance GM(1,1); background value; divisions of function method; metabolism; deformation monitoring

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.12.008

2015-06-26

國家自然科學(xué)基金資助項目(41202245;41272373)

李志偉(1991-)，男，碩士研究生.

TU196

A

1006-7949(2016)12-0038-06