梁建青，沈云中，張興福

(1.同濟大學 測繪與地理信息學院，上海 200092；2.廣東工業(yè)大學 測繪工程系，廣東 廣州 510006)

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基于EIGEN6C2模型的Kaula規(guī)則精化

梁建青1，沈云中1，張興福2

(1.同濟大學 測繪與地理信息學院，上海 200092；2.廣東工業(yè)大學 測繪工程系，廣東 廣州 510006)

高精度重力場模型精化Kaula規(guī)則其要點是將Kaula規(guī)則乘上一個與位系數(shù)階數(shù)項相關的二階有理函數(shù)，并基于EIGEN6C2重力場模型解算有理函數(shù)模型的系數(shù)。精化后的Kaula規(guī)則與EIGEN6C2模型和EGM2008模型的逼近誤差都只是原來Kaula規(guī)則的0.26%。因此, 精化后的Kaula規(guī)則更能正確表示各階引力位的實際能量，對于重力場模型的解算提供更加合理的約束。

重力場模型；Kaula規(guī)則；EIGEN6C2模型；EGM2008模型；精化

1966年Kaula給出重力場信號的Kaula階方差模型，即著名的Kaula規(guī)則，以非常簡單的模型刻畫地球重力位系數(shù)的能量。Kaula規(guī)則常用于構造正則化解[1]，當觀測數(shù)據(jù)存在空白以及衛(wèi)星重力反演的向下延拓等原因造成解算模型病態(tài)時，Kaula規(guī)則的約束對于合理求解重力場位系數(shù)有非常重要的作用[2]。目前，Kaula規(guī)則約束的正則化方法已經(jīng)用于GOCE衛(wèi)星數(shù)據(jù)的重力場反演[3-7]。例如，歐空局已經(jīng)基于最小二乘法反演的第五代GOCE重力場模型中均采用Kaula規(guī)則約束。由于GOCE衛(wèi)星的極區(qū)空白導致采用最小二乘法求解重力場位模型的法方程是病態(tài)的，重力場位系數(shù)低次項受極區(qū)空白的影響比較大，因此無法更好地求解重力場位系數(shù)。而Kaula規(guī)則的合理約束對利用GOCE衛(wèi)星觀測數(shù)據(jù)反演更高階次的重力場模型具有重要意義。至今，已有許多學者研究Kaula規(guī)則構造的正則化解在GOCE衛(wèi)星反演重力場中的作用[4,6-7]，或者利用Kaula規(guī)則分析幾個現(xiàn)有的重力場模型[8]，但是對精化Kaula規(guī)則的研究卻是比較少。

雖然Kaula規(guī)則用非常簡單的模型給出了重力場位系數(shù)各階能量分布的統(tǒng)計規(guī)律[1]，但是其與采用重力衛(wèi)星觀測數(shù)據(jù)和其它數(shù)據(jù)反演的許多目前高精度地球重力場模型的實際階方差存在差異，尤其是高階部分，因此本文基于高精度重力場模型研究Kaula規(guī)則的精化，使得精化后的Kaula規(guī)則能更加正確地反映引力位的實際能量分布,從而為重力場位系數(shù)的解算提供更加合理的約束。本文首先分析EIGEN6C2模型的階方差與Kaula規(guī)則曲線之間的差異，然后將Kaula規(guī)則乘上一個與位系數(shù)階數(shù)項相關的二階有理函數(shù)，并基于EIGEN6C2重力場模型解算有理函數(shù)模型的系數(shù)。最后再利用GOCE衛(wèi)星2011年1～2月的軌道和梯度數(shù)據(jù)反演重力場來驗證精化Kaula規(guī)則的必要性。

1　EIGEN6C2模型階方差分析

在地固坐標系中，地球引力位算式為

(1)

(2)

1966年Kaula給出重力場信號的理論公式[9]，即著名的Kaula規(guī)則，其階方差算式為

(3)

根據(jù)式(2)、式(3)可得到直至1 949階次的EIGEN6C2模型和Kaula規(guī)則的階方差圖(見圖1)以及兩者的差異(見圖2)。

圖1　EIGEN6C2模型階方差(實線)和Kaula規(guī)則階方差(虛線)

圖2　EIGEN6C2模型與Kaula的階方差之差

圖1和圖2表明， Kaula規(guī)則2階系數(shù)的階方差比EIGEN6C2模型小約兩個數(shù)量級， 4～50階稍微大于EIGEN6C2模型，50～300階小于EIGEN6C2模型，300～1 949階大于EIGEN6C2模型。隨著模型階次的增大, Kaula規(guī)則階方差減小的速度小于EIGEN6C2模型，因此當n>300時，Kaula規(guī)則的階方差與EIGEN6C2模型之間的差值不斷增大。

2　基于EIGEN6C2模型的Kaula規(guī)則精化方法

圖1和圖2表明，EIGEN6C2模型的階方差與Kaula規(guī)則之差和位系數(shù)的階有關，如果精化后的Kaula規(guī)則的階方差為

(4)

(5)

圖3　參數(shù)與位系數(shù)階的關系(n>2)

(6)

(7)

3　結果及分析

(8)

圖4　擬合參數(shù)比較結果圖(n>2)

Kaula規(guī)則與EIGEN6C2模型的符合程度可根據(jù)其逼近中誤差來衡量，其算式為

(9)

圖5　精化前、后的Kaula規(guī)則與EIGEN6C2模型階方差

圖6　精化前、后的Kaula規(guī)則與EGM2008模型的階方差

為進一步驗證本文對Kaula規(guī)則精化的合理性，以GOCE衛(wèi)星2011年1～2月的軌道和梯度觀測數(shù)據(jù)基于直接解法反演200階次的地球重力場為例，分別采用精化前、后的Kaula規(guī)則構造正則化矩陣約束GOCE衛(wèi)星反演的法方程，并基于恢復的大地水準面累積誤差最小確定最優(yōu)正則化參數(shù)。其中，參考模型為EIGEN5C，截斷至200階次，最后相對于EIGEN6C2模型評定解算結果的精度。精化前、后的Kaula規(guī)則約束后的重力場模型在200階大地水準面累積差分別為9.36 cm，9.35 cm，表明本文反演結果是正確的。精化前、后的Kaula規(guī)則約束后的大地水準面誤差如圖7所示。

圖7　精化前、后的Kaula規(guī)則約束后的大地水準面誤差

由上述結果和圖可見，因Kaula規(guī)則在200階之前與EIGEN6C2、EGM2008模型符合較好，因此這部分改進空間非常小，所以精化后的Kaula規(guī)則約束的大地水準面誤差并沒有多大的變化(見圖7)。但是本文精化后的Kaula規(guī)則與EIGEN6C2和EGM2008模型在高階部分的吻合程度顯著提高，其更能準確地反映引力位的實際能量分布(見圖5，圖6)。

4　結束語

本文根據(jù)高精度的重力場模型對Kaula規(guī)則進行精化，并根據(jù)EIGEN6C2模型解算精化模型的系數(shù)，精化模型的擬合優(yōu)度達到0.9775，說明擬合度較佳。精化后的Kaula規(guī)則與EIGEN6C2模型和EGM2008模型的逼近誤差只是精化前的0.26%，說明精化后的Kaula規(guī)則與EIGEN6C2和EGM2008模型符合較好。因此，本文精化后的Kaula規(guī)則更能正確反映出各階引力位的實際能量，這在很大程度上精化原來的Kaula階方差模型，為以后利用Kaula規(guī)則構造正則化矩陣解算更高階次的GOCE重力場模型提供合理的依據(jù)。

[1]沈云中.應用CHAMP衛(wèi)星星歷精化地球重力場模型的研究[D].武漢：中國科學院測量與地球物理研究所,2000.

[2]王正濤.衛(wèi)星跟蹤測量確定地球重力場的理論和方法[D].武漢：武漢大學，2005.

[3]徐新禹，李建成,王正濤,等.Tikhonov正則化方法在GOCE重力場求解中的模擬研究[J].測繪學報,2010,39(5):466-470.

[4]鄭偉，許厚澤,鐘敏.基于時空域混合法利用Kaula正則化精確和快速解算GOCE重力場[J].地球物理學報,2011,54(1):14-21.

[5]METZLER B,PAIL R.GOCE Data Processing: the Spherical Cap Regularization Approach [J].Stu.Geophy.Geod,2005,49(4):441-462.

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[8]周星，甄冬松.利用Kaula準則分析幾種地球重力場模型[J].城市建設理論研究，2012(34).

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[10] 沈云中，陶本藻.實用測量數(shù)據(jù)處理方法[M].2版.北京: 測繪出版社，2012.

[11] 唐家德.基于MATLAB的非線性擬合[J].計算機與現(xiàn)代化,2008(6):15-19.

[責任編輯：張德福]

A modified Kaula rule based on EIGEN6C2 gravity field model

LIANG Jianqing1, SHEN Yunzhong1, Zhang Xingfu2

(1.School of Surveying and Geo-informatics, Tongji University, Shanghai 200092，China；2. Department of Surveying and Mapping，Guangdong University of Technology,Guangzhou 510006，China)

The paper will modify the Kaula rule based on the EIGEN6C2 gravity field model. The key point is to multiply a degree related second order rational function to the Kaula rule. The coefficient parameters of the rational function are estimated based on the EIGEN6C2 gravity field model. The approximation error of the modified Kaula rule with respect to EIGEN6C2 and EGM2008 gravity field models are only 0.26% of that of the original Kaula rule. Therefore the modified Kaula rule can more reasonably reflect the power spectrum of the earth’s gravity field, which can be used as a constraint in computing the gravity field model.

gravity field model; Kaula rule; EIGEN6C2 model; EGM2008 model; modifying

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2016.12.005

2015-06-22

國家自然科學基金資助項目(41474017； 41274035)

梁建青(1990-)，男，碩士研究生.

P223

A

1006-7949(2016)12-0021-04