李　鑫

(安徽科技學院　信息與網絡工程學院，安徽　鳳陽　233100)

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梁振動方程一類穩(wěn)定的緊致差分格式

李鑫

(安徽科技學院信息與網絡工程學院，安徽鳳陽233100)

針對四階梁振動方程運用有限差分方法，構造一類無條件穩(wěn)定的緊致差分格式。利用Fourier級數法驗證差分格式的收斂性，并運用Lax等價性定理證明了格式的穩(wěn)定性，最后通過兩組數值實驗證明格式的有效性和實用性，并最終將格式的收斂階精度由之前的o(τ+h2)提高至o(τ+h4)便于科學和工程計算中的更好應用。

梁振動方程；緊致差分格式；收斂性；穩(wěn)定性

梁振動方程作為高階偏微分方程中的一類[1]，在大型工程項目和橋梁建設方面具有廣泛的應用。對于此類方程數值解的研究，[2-6]中運用廣義差分法進行計算，但格式的精度不高；[7-11]中運用多辛算法進行求解，精度可達二階；周良強等在[12]中構建了高精度差分格式但含有多個參數。本文利用緊算子，對此類方程構建無參數隱式的緊致差分格式，將格式精度提高至，且證明該格式的無條件穩(wěn)定性，從而使梁振動方程在工程計算方面得到更好的應用。

對于梁振動方程

utt+k2uxxxx=0

本文考慮方程的初邊值問題，給出初值條件

和邊值條件

其中長度l為的梁自由振動，兩點簡支，以u(x,t)表示位移。

令

v=ut,w=kuxx.

則上述初邊值問題可化為如下問題：

vt=-kwxx,00wt=-kvxx,00

(1)

v(x,0)=u1(x),w(x,0)=k(u0(x))xx,0

(2)

v(0,t)=v(l,t)=w(0,t)=w(l,t)=0,t>0.

1　相關符號的定義和差分格式的建立

對平面區(qū)域[0,l]×[0,T]作網格剖分，取空間步長為h=l/J,時間步長為τ.xj=jh,tn=nτ,j=0,1,…,J,n=1,2,…,N,N=[T/τ],J,N均為正整數。為后面表示方便，引入如下記號：

針對上述初邊值問題(1)-(3)，構造如下差分格式：

(4)

(5)

(6)

2　差分格式的截斷誤差

定理1 差分格式的局部截斷誤差階為O(τ+h4)

對于定理1的證明，我們考慮(4)中的第一個式子，第二個式子同理可證。上述式子可寫為如下等價形式：

由Taylor展開知：

所以有：

時間方向的截斷誤差階為O(τ).

同理，由Taylor展開知：

所以有：

空間方向的截斷誤差階為O(h4)

綜上：由Taylor展開，差分格式的局部截斷誤差階為O(τ+h4)

3　差分格式的穩(wěn)定性和收斂性

對于上述差分格式，我們采用Fourier級數法和Lax等價性定理來證明其穩(wěn)定性和收斂性。差分格式(4)-(6)可等價寫為：

因為G*G=GG*所以上述增廣矩陣為正規(guī)陣。

由Von Neumann條件知：上述差分格式(4)-(6)穩(wěn)定。從而有：

定理2 差分格式(4)-(6)無條件穩(wěn)定。

再由Lax等價性定理[13]易知：

定理3差分格式(4)-(6)無條件收斂到問題的精確解，且收斂階為O(τ+h4)

4　數值實驗

本節(jié)我們選取兩個數值算例來驗證上述理論的正確性。

算例一

考慮如下的初邊值問題：

根據差分格式(4)-(6)，代入得：

運用上述矩陣形式進行求解，首先驗證格式的時間方向和空間方向的收斂階。在時間方向上，我們選取h=0.05,τ=5.0e-005,2.5e-005,1.25e-005,T=0.2,計算無窮模誤差‖en‖∞結果如表1；空間方向我們選取h=0.2,0.1,0.05，τ=h4,T=0.2,計算‖en‖∞結果如下表2。從表1、2的結果很明顯地看出，差分格式(4)-(6)的收斂階為O(τ+h4),與理論證明結果一致。

表1　差分格式(4)-(6)時間方向的收斂階

表2　差分格式(4)-(6)空間方向的收斂階

然后，我們分別作出了T=0.2時方程精確解和數值解圖像。從圖1對比可以明顯看出，差分格式(4)-(6)的效果非常好，從而證明了格式的有效性。最后我們取h=0.1,τ=h4,以0.005為節(jié)點，給出了t=0-0.2時間段內每一層的誤差圖(圖2左)，從誤差數量級看，精度很高，說明該差分格式具有很好的實用價值。

圖1　方程精確解圖像(左)和數值解圖像(右)

圖2　每層誤差圖(左:算例一；右:算例二)

算例二

考慮如下的初邊值問題：

同上例，代入差分格式(4)-(6)可得：

我們同樣首先驗證格式的收斂階。表3和表4分別給出了差分格式時間和空間方向的收斂階，結果驗證差分格式(4)-(6)的收斂階為O(τ+h4)與理論結果吻合。圖3中給出了t=0.05,0.10,0.15,0.20四個不同時刻下對應的精確解和數值解的圖像，圖像表明數值解的模擬效果很好。從每一層的誤差圖來看(圖2右)，格式的效果也非常好，實用性非常高。

表3　差分格式(4)-(6)時間方向的收斂階

表4　差分格式(4)-(6)空間方向的收斂階

圖3　不同時刻精確解與數值解圖像

5　總結

本文對于四階梁振動方程構造穩(wěn)定的緊致差分格式進行研究。從理論上證明了差分格式的穩(wěn)定性和收斂性，通過兩組數值實驗，很好地驗證了理論的推導，并通過數值實驗的結果，說明了差分格式將計算精度由之前的O(τ+h2)提升至O(τ+h4)，使之在該類方程的數值計算上又更好的應用價值。后期可考慮將這一思路推廣至非線性彈性桿振動方程的研究，以便更好地解決此類方程的數值計算問題。

[1]CP. Gupta. Existence and uniqueness theorems for the bending of an elastic beam equation [J]. Application Analysis,1988,26(4):289-304.

[2]KS. Thankane, T. Stys. Finite difference method for beam equation with free ends using mathematic [J]. Southern Africa Journal of Pure and Applied Mathematics,2009(4)：61-78.

[3]倪平，高儀新．解梁的振動方程的廣義方法(Ⅰ)[J]．東北師大學報:自然科學版，1995(4)：14-19．

[4]張大克，王玉杰．梁振動方程的一種新解法[J]．工科數學，1999，15(2)：52-56．

[5]曾文平．解四階桿振動方程新的兩類隱式差分格式[J]．華僑大學學報:自然科學版，2003，24(2)：136-142．

[6]許士菊，王長華．梁振動方程的一個穩(wěn)定的有限差分近似[J]．吉林化工學院學報，2007，24(1)：79-81．

[7]曾文平，鄭小紅．梁振動方程的多辛算法[J]．漳州師范學院學報:自然科學版，2003，16(4)：1-5, 8．

[8]鄭小紅，曾文平．桿振動方程二級二階顯式新格式及其穩(wěn)定性[J]．河南師范大學學報:自然科學版，2003，31(4)：17-20．

[9]單雙榮．解梁振動方程的多辛Fourier擬譜算法[J]．華僑大學學報:自然科學版，2006，27(3)：234-237．

[10]黃浪揚，鄭小紅．梁振動方程的多辛Preissman格式[J]．華僑大學學報:自然科學版，2004，25(4)：360-365．

[11]洪麗莉．梁振動方程的多辛Runge-Kutta Nystrom算法[J]．遼寧科技大學學報，2013，36(2)：136-140．

[12]周良強，陳予恕，陳芳啟．梁振動方程的多參數高精度格式[J]．安慶師范學院學報:自然科學版，2010，16(2)：62-65．

[13]戴嘉尊，邱建賢．微分方程數值解法[M]．南京：東南大學出版社，2002．

(責任編輯：馬世堂)

A Stable Compact Finite Difference Scheme for the Beam Equation

LI Xin

(College of Information and Network Engineering, Anhui Science and Technology University, Fengyang 233100, China)

In this paper, an unconditional stable compact finite difference scheme is proposed for the beam equation with fourth-order by using the finite difference method.The stability and convergence of the difference scheme are demonstrated by Fourier method and Lax equivalence theorem. Two numerical experiments have been carried out to confirm the effectiveness and the practicability of the scheme and the convergence order is improved at last. The result will promote the better application in science and engineering calculation.

Beam equation; Compact finite difference scheme; Convergence; Stability

2016-02-16

安徽科技學院自然科學一般項目(ZRC2016487)。

李鑫(1989-)，男，安徽省鳳陽縣人，碩士，助教，主要從事微分方程數值解研究。

O242.2

A

1673-8772(2016)04-0050-07