劉開賀 靳艷飛 馬正木

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系，北京 100081）

相關(guān)乘性和加性高斯白噪聲激勵下周期勢系統(tǒng)的隨機共振*

劉開賀 靳艷飛 馬正木

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系，北京 100081）

研究了外加周期信號作用下，相關(guān)高斯乘性和加性白噪聲激勵下周期勢系統(tǒng)的隨機共振.利用線性響應(yīng)理論，計算了系統(tǒng)輸出信號的功率譜密度、振幅、相位差.研究結(jié)果表明：當(dāng)加性噪聲強度和關(guān)聯(lián)系數(shù)不變的情況下，通過調(diào)整乘性噪聲強度可以出現(xiàn)隨機共振；關(guān)聯(lián)系數(shù)的正負(fù)以及大小對隨機共振的影響較小.當(dāng)乘性噪聲強度較小時，輸出信號的振幅和相位差曲線有一個單峰出現(xiàn)，即出現(xiàn)隨機共振現(xiàn)象，能量從噪聲向信號進(jìn)行轉(zhuǎn)化.隨著噪聲強度的增大，隨機共振現(xiàn)象消失，噪聲由增大系統(tǒng)的有序程度漸漸變?yōu)樵龃笙到y(tǒng)的無序程度.

隨機共振，周期勢系統(tǒng)，相關(guān)噪聲，功率譜密度

引言

1981年，Benzi等［1-2］提出了“隨機共振”的概念并用來解釋第四紀(jì)全球氣象冰川期問題.此后，隨機共振及其相關(guān)問題的研究成為物理、生物、化學(xué)、電子等各領(lǐng)域研究的熱點問題［3-8］.在實際問題中，大多情況下乘性和加性噪聲具有相關(guān)性［9-15］.曹力等［9］將噪聲之間的互關(guān)聯(lián)性引入雙穩(wěn)系統(tǒng)的研究，并給出了相應(yīng)的一致有色噪聲近似.李靜輝等［10］發(fā)現(xiàn)噪聲之間的關(guān)聯(lián)性能誘導(dǎo)非平衡系統(tǒng)的相變.Mei和Xie等［12-13］將噪聲之間的互關(guān)聯(lián)性引入非線性動力系統(tǒng)的逃逸問題，發(fā)現(xiàn)噪聲關(guān)聯(lián)性能誘導(dǎo)平均首次穿越時間的曲線出現(xiàn)共振和抑制現(xiàn)象.羅曉琴等［14］討論了由兩種不同色噪聲和周期信號激勵的雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機共振現(xiàn)象.靳艷飛等［15-16］研究了色噪聲參數(shù)激勵和周期調(diào)制噪聲外激勵聯(lián)合作用下線性系統(tǒng)的隨機共振.李貝等［17］研究了色關(guān)聯(lián)的乘性和加性高斯色噪聲驅(qū)動的分段非線性系統(tǒng)的平均首次穿越時間.

以往隨機共振的研究大多集中于經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)，隨著研究的深入，人們開始把研究對象拓展到多穩(wěn)系統(tǒng)，如：周期勢系統(tǒng).布朗粒子在周期勢系統(tǒng)中的動力學(xué)機制在物理學(xué)和化學(xué)中的很多應(yīng)用中都是一個很重要的問題，比如超導(dǎo)體中離子的運動、約瑟夫森節(jié)中超電流的波動等.胡崗和Fronzoni等［18-19］分別對附加了一個傾斜的周期勢場中的隨機共振以及噪聲驅(qū)動下的粒子傳輸進(jìn)行了研究. Kim和Sung［20］利用數(shù)值方法對沒有附加傾斜的勢場中的隨機共振進(jìn)行了研究.Saikia和Reenbohn等［21-22］用一種新的方法對欠阻尼情況下周期勢場中粒子的擴散運動進(jìn)行了數(shù)值模擬.

針對具有相關(guān)乘性和加性的噪聲激勵的周期勢系統(tǒng)的隨機共振研究較少.本文研究了帶有外加周期信號的周期勢系統(tǒng)在相互關(guān)聯(lián)的高斯白噪聲激勵下的隨機共振情況.利用線性響應(yīng)理論，以系統(tǒng)輸出信號的功率譜密度、振幅、相位差作為隨機共振的衡量指標(biāo)，討論了噪聲強度、噪聲互相關(guān)系數(shù)對系統(tǒng)隨機共振的影響.

1 模型的建立

外加周期信號和相關(guān)加性和乘性高斯白噪聲激勵下，周期勢系統(tǒng)的郎之萬方程為：

其中，x（t）和h（t）是相關(guān)的高斯白噪聲，它們的統(tǒng)計性質(zhì)滿足如下條件：

其中，Q和D分別為乘性噪聲強度和加性噪聲強度，λ是乘性噪聲和加性噪聲之間的相關(guān)系數(shù).

首先，對（1）式進(jìn)行如下變換：

利用（3）式將（1）式變換為

其中ξ（t）和η1（t）是不相關(guān)的高斯白噪聲：

這樣，所研究的系統(tǒng)就轉(zhuǎn)化成了不相關(guān)的白噪聲激勵下的周期勢系統(tǒng).對（1）式的數(shù)值積分就可以轉(zhuǎn)變成對（4）式的數(shù)值積分.對（4）式進(jìn)行變量替換，即可得到如下隨機微分方程組：

下面采用 Heun［23］方法對（6）式應(yīng)用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值積分，所選參數(shù)分別為dt=0.1，F(xiàn)0= 0.2，ω0=π/4，且本文參數(shù)均為無量綱.

2 隨機共振的標(biāo)準(zhǔn)

因為存在外加的周期信號，如果系統(tǒng)在噪聲的作用下會產(chǎn)生隨機共振，那么系統(tǒng)的平均輸出響應(yīng)x（t）應(yīng)該具有和輸入信號相等的頻率，因此平均輸出響應(yīng)x（t）的功率譜密度PSD在頻率ω=1/T0= ω0/2π=0.125一定有一個峰值，而且在產(chǎn)生隨機共振所對應(yīng)的噪聲強度下ω=0.125附近的PSD一定也是最大的.所以可以把ω=ω0處的PSD值作為隨機共振的一個標(biāo)準(zhǔn).

另外，按照線性響應(yīng)理論，輸出響應(yīng)的幅值和相位差也可以作為隨機共振的判斷標(biāo)準(zhǔn).對于輸出響應(yīng)的幅值，我們既可以根據(jù)圖像進(jìn)行擬合，又可以根據(jù)線性響應(yīng)理論來求解.根據(jù)線性響應(yīng)理論，輸出響應(yīng)x（t）的統(tǒng)計均值可以寫為

類似的我們可以寫出

則（7）式中的幅值和相位差可以表示為

根據(jù)（8）式和（9）式，我們可以利用 A和φ隨著噪聲強度的變化曲線來判斷隨機共振的發(fā)生.

3 數(shù)值分析

首先，我們僅考慮在加性噪聲強度D=0.002和關(guān)聯(lián)系數(shù)λ=0.9都固定不變的情況下，乘性噪聲強度Q對系統(tǒng)隨機共振的影響.

圖1給出了乘性噪聲強度Q對平均輸出響應(yīng)x（t）的功率譜密度PSD的影響.由圖可見，Q=0. 03時，PSD在ω=0.125時的峰值是最高的，由此可以初步判斷在該組參數(shù)設(shè)定下，隨機共振是發(fā)生的，并且在Q=0.03時達(dá)到最大.

圖1 系統(tǒng)輸出信號的PSD作為頻率ω的函數(shù)隨不同噪聲強度變化的曲線Fig.1 System output signal PSD to frequencyωrelationships with different noise intensity

為了進(jìn)一步確定隨機共振是否發(fā)生，我們還對（8）式中的A和φ進(jìn)行了計算，并繪制了它們和Q的關(guān)系曲線，如圖2和圖3所示.從圖中我們可以看出隨機共振確實發(fā)生.在圖2中，我們可以看到Q≤0.03時，當(dāng)增大Q時，平均輸出信號x（t）的幅值A(chǔ)整體也是增大的；當(dāng)Q=0.03時平均輸出信號x（t）的幅值A(chǔ)達(dá)到了一個最大值，此時能量從噪聲向信號轉(zhuǎn)移的最多，達(dá)到了類似于傳統(tǒng)意義上的“共振”.隨著Q的繼續(xù)增大，平均輸出信號x（t）的幅值A(chǔ)又開始下降，這說明能量從噪聲向信號的轉(zhuǎn)移開始變少.當(dāng)Q繼續(xù)增大（Q≥0.15）時，我們發(fā)現(xiàn)平均輸出信號x（t）的幅值 A開始小于輸入信號的幅值，這說明此時的噪聲不再增強系統(tǒng)的有序程度，而是開始增大系統(tǒng)的無序程度.從圖2中我們還可以看出，只有當(dāng)乘性噪聲強度很小的時候，系統(tǒng)才會發(fā)生隨機共振.除了平均輸出信號的幅值以外，我們還研究了輸出信號x（t）與輸入信號之間的相位差與乘性噪聲強度Q的關(guān)系.在圖3中，我們看到平均輸出信號x（t）與輸入信號之間的相位差隨著Q的增大出現(xiàn)一個極大值，說明系統(tǒng)存在隨機共振現(xiàn)象.

圖2 輸出信號的幅值在D=0.002，λ=0.9時隨著乘性噪聲強度變化的曲線Fig.2 Output amplitude tomultiplicative noise curve when D=0.002，λ=0.9

圖3輸出信號的相位差在D=0.002，λ=0.9時隨著乘性噪聲強度變化的曲線Fig.3 Outputphase difference tomultiplicative noise curve when D=0.002，λ=0.9

下面我們研究加性噪聲和乘性噪聲之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)λ對系統(tǒng)隨機共振的影響.固定乘性噪聲強度和加性噪聲強度，令關(guān)聯(lián)系數(shù)分別取互為相反數(shù)的兩個數(shù)，來研究互為相反數(shù)的關(guān)聯(lián)系數(shù)對系統(tǒng)的影響.令Q=0.1和D=0.002，研究了λ=±0.8時系統(tǒng)的平均輸出信號的時間歷程圖.在圖4中，我們可以看出隨著時間的增長，平均輸出信號是有著多次的反轉(zhuǎn)的（即上升或是下降），而當(dāng)λ互為相反數(shù)時，系統(tǒng)的平均輸出信號走勢基本是相反的，但是它們每次上升或者下降的幅度基本是一致的，而且在相同的時間段內(nèi)，它們的信號幅值基本也是一樣的.圖5是截取圖4的一部分進(jìn)行了放大，從圖中就可以比較清晰的看出來λ并不影響輸出信號幅值的大小.

圖4 λ=±0.8時系統(tǒng)的平均輸出信號的時間歷程圖Fig.4 Time history of the average output signal for system x（t）whenλ=±0.8

圖5 圖4的局部放大圖Fig.5 Partial enlarged view of Fig.4

其次，我們研究了互為相反數(shù)的關(guān)聯(lián)系數(shù)對隨機共振的影響.首先我們固定D=0.002保持不變，令λ分別為-0.4和0.4，畫出了它們對應(yīng)的平均輸出信號幅值相對于乘性噪聲強度Q的曲線，如圖6.在圖6中，曲線是λ=-0.4所對應(yīng)的曲線，而*點是λ=0.4時所對應(yīng)的點，我們可以看出，大部分的*點都落在了曲線附近，而且整體的變化趨勢是一致的，由此可見只要關(guān)聯(lián)系數(shù)的絕對值一樣，那么平均輸出信號的幅值大小基本是不變的.

在圖7中，我們繪制了λ取互為相反數(shù)的兩個數(shù)時，平均輸出信號和輸入信號之間的相位差以及平均輸出信號的導(dǎo)數(shù)（即平均輸出速度）與輸入信號之間的相位差φ隨乘性噪聲強度Q變化的曲線.從圖中我們可以觀察到，λ=±0.9所對應(yīng)的平均輸出信號和平均輸出速度的相位差曲線幾乎完全重合在了一起，峰值處所對應(yīng)的Q也是相同的.這就說明了關(guān)聯(lián)系數(shù)的符號對相位差的影響是很小的.另外，λ=0.9所對應(yīng)的平均輸出信號相位差和平均速度相位差的變化規(guī)律是一樣的，只是平均拉開了一個距離，這個距離正好等于π/2，而這也正好是符合線性響應(yīng)理論的，在線性響應(yīng)理論中，平均輸出信號和平均速度之間就是相差π/2.

圖6 λ=±0.4時的平均輸出信號幅值隨Q的變化曲線Fig.6 Amplitude of the average output signal tomultiplicative noise curve whenλ=±0.4

圖7 λ=±0.9時的平均輸出信號和速度的相位差隨Q的變化曲線Fig.7 Phase difference of average output signal and velocity to multiplicative noise relationships whenλ=±0.9

最后，我們就研究了不同大小的關(guān)聯(lián)系數(shù)對系統(tǒng)隨機共振的影響.從圖8和圖9中我們可以看出來，雖然λ從0逐漸增大到1，但是對平均輸出信號的幅值和相位差隨乘性噪聲強度的變化規(guī)律的影響很小，尤其是平均輸出信號的幅值和相位差取得峰值時所對應(yīng)的最佳噪聲強度都沒有發(fā)生變化，因此我們可以說關(guān)聯(lián)系數(shù)對隨機共振的影響很小.

4 結(jié)論

本文主要研究了周期信號和白關(guān)聯(lián)的加性和乘性高斯白噪聲激勵下，周期勢系統(tǒng)的隨機共振.利用線性響應(yīng)理論，定義了系統(tǒng)響應(yīng)的幅值和相位差，并作為隨機共振的判斷標(biāo)準(zhǔn).通過討論乘性和加性噪聲對系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜密度、幅值和相位差系統(tǒng)的影響，我們發(fā)現(xiàn)：在系統(tǒng)加性噪聲和關(guān)聯(lián)系數(shù)不變的情況下，通過調(diào)節(jié)乘性噪聲強度可以達(dá)到隨機共振.噪聲之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)的大小和正負(fù)對隨機共振的影響是比較小的.

圖8 系統(tǒng)平均輸出信號幅值作為Q的函數(shù)隨λ變化的曲線Fig.8 Amplitude of the average output signal tomultiplicative noise curves for differentλ

圖9 系統(tǒng)平均輸出信號相位差作為Q的函數(shù)隨λ變化的曲線Fig.9 Phase difference of the average output signal to multiplicative noise curves for differentλ

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STOCHASTIC RESONANCE IN A PERIODIC POTENTIAL SYSTEM DRIVEN BY CORRELATED ADDITIVE AND MULTIPLICATIVEWHITE NOISES*

Liu Kaihe Jin Yanfei Ma Zhengmu

（Department of Mechanics，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

In this paper，the stochastic resonance in a periodic potential system driven by correlated multiplicative and additive white noises is studied.Using the linear response method，the expressions of power spectral density，amplitude of response and phase difference of response are given.The effects of noises on stochastic resonance are also presented.It is found that stochastic resonance occurs by adjusting the intensity ofmultiplicative noise for small noise.Moreover，the value aswell as the plus-minus sign of the correlation between the additive and multiplicative noises have slight influence on the amplitude and phase difference of system response.The curves of amplitude and phase difference of response both exhibit a peak when the intensity ofmultiplicative noise is small，stochastic resonance occurs and energy transfers from noise to signal.With the increase ofmultiplicative noise intensity，stochastic resonance disappears and the noisemakes system from order to disorder.

stochastic resonance，periodic potential system，correlated noises，power spectral density Received 13 March 2015，revised 22 April 2015.

E-mail：jinyf@bit.edu.cn

10.6052/1672-6553-2015-031

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11272051）

2015-03-13收到第1稿，2015-04-22收到修改稿.

*國家自然科學(xué)基金資助項目（11272051）

E-mail：jinyf@bit.edu.cn