劉鈞玉， 張　萍， 張思淼， 王宇暘， 寧寶寬

(1. 沈陽工業(yè)大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院， 沈陽 110870； 2. 大連理工大學(xué) 水利工程學(xué)院， 遼寧 大連 116024； 3. 東北大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院， 沈陽 110819)

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庫水-重力壩-無限地基系統(tǒng)地震響應(yīng)分析*

劉鈞玉1，2， 張萍1， 張思淼3， 王宇暘1， 寧寶寬1

(1. 沈陽工業(yè)大學(xué) 建筑與土木工程學(xué)院， 沈陽 110870； 2. 大連理工大學(xué) 水利工程學(xué)院， 遼寧 大連 116024； 3. 東北大學(xué) 資源與土木工程學(xué)院， 沈陽 110819)

為了分析庫水以及無限地基輻射阻尼對(duì)庫水-重力壩-無限地基系統(tǒng)的地震響應(yīng)影響，通過比例邊界有限元法、有限元法以及無限單元法計(jì)算了庫水-重力壩-無限地基系統(tǒng)的響應(yīng).基于SBFEM計(jì)算上游壩面庫水壓力，利用無限單元法分析無限地基輻射阻尼的影響，以Koyna重力壩為研究對(duì)象，給出了重力壩在不同地基彈性模量條件下地震位移時(shí)程以及應(yīng)力的響應(yīng)，隨著地基彈性模量的增加，壩體響應(yīng)增加.與無質(zhì)量地基模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，考慮無限地基輻射阻尼的計(jì)算結(jié)果較小.

有限元分析； 比例邊界有限元法； 重力壩； 庫水壓力； 無限單元； 動(dòng)力相互作用； 無質(zhì)量地基； 輻射阻尼

無限水域大壩與無限地基系統(tǒng)的動(dòng)力相互作用對(duì)大壩的地震響應(yīng)及大壩的抗震安全評(píng)價(jià)具有重要影響，因此受到很多研究人員重視.關(guān)于壩面動(dòng)水壓力的計(jì)算，目前計(jì)算動(dòng)水壓力的方法主要包括有限元法、邊界元法及比例邊界有限元法(scaled boundary finite element method，SBFEM)[1-3].有限元方法需要將無限水域截?cái)酁橛邢匏?，一般庫水范圍?～5倍壩高，這樣較大范圍的水域計(jì)算對(duì)有限元網(wǎng)格而言計(jì)算量比較大，并且有時(shí)無法嚴(yán)格滿足遠(yuǎn)處的輻射邊界條件即Sommerfeld輻射條件.邊界元法也需要考慮一個(gè)較大的有限水域來近似無限水域，而且由于基本解的要求使得程序?qū)崿F(xiàn)相對(duì)復(fù)雜.比例邊界有限元法[4-6]集合了有限元方法和邊界元方法的優(yōu)點(diǎn)，首先，其嚴(yán)格滿足無窮遠(yuǎn)處的Sommerfeld輻射條件，且不需要基本解；其次，它僅需要離散結(jié)構(gòu)與地基交界面上的部分邊界，從而降低了計(jì)算工作量.

本文應(yīng)用SBFEM[7]計(jì)算庫水-重力壩-無限地基系統(tǒng)中庫水的動(dòng)水壓力，考慮了庫水的可壓縮性和庫底岸坡邊界的吸收作用，并通過無限單元法計(jì)算無限地基輻射阻尼的影響，針對(duì)庫水-重力壩-無限地基系統(tǒng)進(jìn)行分析，同時(shí)將計(jì)算結(jié)果與傳統(tǒng)的無質(zhì)量地基模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，考慮無限地基輻射阻尼影響的響應(yīng)比無質(zhì)量地基的響應(yīng)要小.此外，隨著地基彈性模量的增加，壩體的響應(yīng)逐漸增大.

1　比例邊界有限元計(jì)算動(dòng)水壓力基本方程

1.1動(dòng)水壓力控制方程

對(duì)于重力壩，假設(shè)庫水是無粘性且小擾動(dòng)理想液體，可壓縮性庫水在求解域內(nèi)的控制方程為Helmholtz方程，即

(1)

(2)

庫底和岸坡邊界條件滿足

(3)

(4)

其中，α為庫底和岸坡的反射系數(shù)，當(dāng)α=0時(shí)，表示不考慮邊界吸收作用，即全反射情況，此時(shí)庫底相當(dāng)于剛性，完全沒有淤沙的存在；當(dāng)α=1時(shí)，代表庫底和岸坡對(duì)動(dòng)水壓力波的完全吸收作用.庫區(qū)表面邊界條件(忽略庫區(qū)表面微幅重力波)為

p=0

(5)

無窮遠(yuǎn)處邊界條件為

(6)

式(6)采用標(biāo)準(zhǔn)的Sommerfeld邊界條件，由于本文采用比例邊界有限元方法，因此，無窮遠(yuǎn)處的邊界條件是自動(dòng)滿足的.

1.2有限元方程及求解

1.2.1動(dòng)水壓力比例邊界有限元方程

采用比例邊界有限元方法對(duì)庫水進(jìn)行離散，由于庫水可以理想化為沿著壩面上游方向延伸到無窮遠(yuǎn)處，因此，把比例邊界有限元的相似中心O選在下游無窮遠(yuǎn)處，即可以不離散庫水表面和庫底.本文假定壩前水深恒定不變，從而可以使問題大為簡化，離散的區(qū)域只有大壩迎水面，如圖1所示.

圖1　重力壩與庫水離散示意圖Fig.1　Schematic discrete for gravity dam and reservoir water

對(duì)式(1)～(3)使用加權(quán)余量方法可以得到關(guān)于動(dòng)水壓力的積分方程弱形式，即

(7)

式中：w為權(quán)函數(shù)；ΓS表示壩面；Γb為壩體與庫底的交界線.在重力壩的情況下，二者分別退化為線和點(diǎn).對(duì)式(7)進(jìn)行分部積分，可以得到關(guān)于動(dòng)水壓力的頻域控制方程及其壩面邊界條件，即

(8)

B1=b1N

B2=b2N

式中：J為雅克比矩陣；η為SBFEM的軸向坐標(biāo)；b1、b2為雅克比逆矩陣的第一列與第二列；N為型函數(shù)向量.

1.2.2有限元方程求解

為了求解已經(jīng)建立的動(dòng)水壓力控制方程，引入新的變量，即

(9)

式中，

(10)

則式(9)可表示為

(11)

式中：

(12)

(13)

矩陣Z為Hamilton矩陣，其具有成對(duì)出現(xiàn)特征值的特性，使用特征值方法對(duì)式(11)進(jìn)行求解，先求解Z的特征值問題，即

ZΦ=ΦA(chǔ)

(14)

則X的解為

X=ΦeλξConst

(15)

式中：λ為特征值矩陣；Φ為特征向量；A為特征向量的逆矩陣；Const為一組積分常數(shù).從而可以得到控制方程的解，即

(16)

式中，F(xiàn)為余項(xiàng)矩陣，表達(dá)式見式(12).

在本文所研究的波傳播問題中，對(duì)于由求解動(dòng)水壓力控制方程所引出的特征值則表示壩水系統(tǒng)的特征頻率，且實(shí)部為正的特征值對(duì)應(yīng)的特征向量代表波的傳播模態(tài)，實(shí)部為負(fù)的特征值表示波的消散模態(tài).當(dāng)ξ→∞時(shí)，消散模態(tài)應(yīng)為零，即水庫上游無窮遠(yuǎn)處的動(dòng)水壓力應(yīng)為零，此時(shí)，解的形式完成了對(duì)無窮遠(yuǎn)邊界條件的自動(dòng)滿足.當(dāng)ξ=0時(shí)，可以得到壩面上的動(dòng)水壓力X(ξ，ω)的兩個(gè)分量，即

(17)

從而得到壩面動(dòng)水壓力，即

(18)

式中，T為余項(xiàng)矩陣，其表達(dá)式為

(19)

只有水平向地震激勵(lì)時(shí)F=0，則有

(20)

由式(17)動(dòng)水壓力沿水庫方向的衰減可得

(21)

由此可見，動(dòng)水壓力沿水庫方向按指數(shù)規(guī)律衰減，壩面各點(diǎn)衰減規(guī)律相同，沿水庫方向ξ等于常數(shù)的直立面上的動(dòng)水壓力分布規(guī)律相同.

2　無限地基模擬

關(guān)于無限地基的模擬，主要有全局法和局部法兩種模擬方法，在工程應(yīng)用中，一般采用無質(zhì)量地基進(jìn)行近似模擬無限地基.本文采用局部法中的無限單元法[8-10](infiniteelements)模擬無限地基的輻射邊界條件.無限單元法的特點(diǎn)如下：

1) 通過位移插值函數(shù)使得在有限域與無限域交界面處的位移逐漸線性衰減到無窮遠(yuǎn)處為0的特點(diǎn)，從而考慮了無窮遠(yuǎn)處的邊界條件；

2) 計(jì)算過程中能較好地吸收各種反射波，從而較好地模擬了半無限域地基的輻射阻尼效應(yīng)，也就是考慮了結(jié)構(gòu)-無限地基的動(dòng)力相互作用；

3) 具有良好的穩(wěn)定性，可用于長持時(shí)波動(dòng)問題研究，因此，被嵌入到ABAQUS軟件中模擬無限域的波動(dòng)傳播問題.

(22)

圖2為入射波動(dòng)時(shí)程圖.彈性介質(zhì)力學(xué)參數(shù)[11]為：彈性模量E=13.23GPa，泊松比ν=0.25，質(zhì)量密度ρ=2 700kg/m3，橫波cs=1 400m/s，縱波cp=2 425m/s，計(jì)算區(qū)域的范圍為762m×381m，有限單元尺寸為19.05m×19.05m，時(shí)間步長取為0.005s.計(jì)算得到B(0，0)，G(-19.05，0)，H(19.05，0)，E(0，-381)，I(-19.05，-381)，J(19.05，-381)等6個(gè)點(diǎn)的豎向位移時(shí)程，如圖3所示.從底部E、I、J三個(gè)點(diǎn)的位移時(shí)程可以看出其豎向位移值基本相同.從頂部B、G、H三個(gè)點(diǎn)的豎向位移時(shí)程以及位置可以看出，B、G、H三點(diǎn)的位移值相同，說明是由入射波和反射波共同引起的位移時(shí)程，且頂部豎向位移的最大值為接近入射波幅值的2倍，如圖4b是圖4a的2倍.

圖2　入射波動(dòng)時(shí)程圖Fig.2　Time history of input wave

圖3　有限元-無限元網(wǎng)格圖Fig.3　Finite element-infinite element mesh

3　庫水-壩體-地基系統(tǒng)模擬

3.1均勻無限地基模型

本文以Koyna壩為例，采用無限單元法與無質(zhì)量地基模型模擬無限地基.重力壩的壩高103m，底部寬70m，上游壩面垂直于地基，地震時(shí)庫水深90m，網(wǎng)格中包含了760個(gè)4節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變單元，每層20個(gè)單元，最大單元尺寸為2.708m，最小單元尺寸為2.083m，彈性模量E=3.102 7GPa，泊松比ν=0.15，質(zhì)量密度ρ=2 643kg/m3.地基的上下游范圍分別取壩高的1、1.05、1.2、1.5、1.7倍5種情況，網(wǎng)格中包含了836個(gè)4節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變單元和64個(gè)4節(jié)點(diǎn)平面應(yīng)變無限單元，最大有限元單元尺寸為7.30m，最小有限元單元尺寸為2.354m，最大無限元單元尺寸為14.59m，最小無限元單元尺寸為10.00m，彈性模量E=7.3GPa，泊松比ν=0.3，質(zhì)量密度ρ=2 842kg/m3，地基與基礎(chǔ)之間使用了過渡網(wǎng)格的形式，最后將無質(zhì)量的有限元地基(見圖5a)分別與1、1.05、1.2、1.5、1.7倍無限元地基(見圖5b)進(jìn)行了比較.

圖4　P波垂直入射時(shí)各點(diǎn)豎向位移時(shí)程Fig.4　Time history of vertical displacement for variouspoints under normal incidence of P wave

圖5　重力壩與兩種地基網(wǎng)格離散圖Fig.5　Discrete of gravity dam andmesh of two foundations

計(jì)算中輸入順河向Koyna地震波，其加速度峰值為0.3 g，大壩-地基混凝土阻尼比選為5%，總計(jì)算時(shí)間為29.98s.庫水水位按照90m水深計(jì)算，計(jì)算結(jié)果如表1、2所示.

表1　作用在兩種地基上的壩體最大應(yīng)力

注：St表示最大拉應(yīng)力，Sc表示最大壓應(yīng)力.

由表1、2對(duì)比可知，無質(zhì)量地基模型的位移及拉壓應(yīng)力的響應(yīng)均比無限地基(即1.7倍無限地基)模型的響應(yīng)要大.

表2　作用在兩種地基上的壩體最大位移

注：Umax表示正向最大位移，Umin表示負(fù)向最大位移.

3.2不同彈性模量情況下無限地基

為了比較不同地基彈模對(duì)輻射阻尼的影響，引入系數(shù)U，U=Ed/Ef，其中，Ed是重力壩的彈性模量，Ef是地基的彈性模量，取U分別為0.25、0.5、1.0、1.5、2.0、4.0、8.0這7種情況，將其中6種情況分別與U=1這一情況進(jìn)行比較，計(jì)算結(jié)果如表3、4和圖6所示.

表3　不同地基彈性模量情況下壩體最大應(yīng)力

表4　不同地基彈性模量情況下壩體最大位移

由圖6和表3、4可以看出，無限地基模型地基彈模的不同，對(duì)于重力壩的動(dòng)力響應(yīng)有著顯著差別，壩體彈模不變，U變大，地基彈模越小，表明地基越柔軟，但是在U=2時(shí)，應(yīng)力與位移均達(dá)到最大，在0.25～2之間，拉壓應(yīng)力均成遞增趨勢(shì)，位移變化也逐漸增大；在2～8之間，位移與應(yīng)力響應(yīng)呈逐漸遞減趨勢(shì).這是因?yàn)榈鼗娜岫冗^大，已經(jīng)達(dá)到極限，這時(shí)整體大壩的動(dòng)力響應(yīng)增大，因此，地基彈模是決定地基輻射阻尼影響大壩響應(yīng)的重要因素，彈模越小，地基剛度越小，地基輻射阻尼效應(yīng)越顯著.

圖6　不同彈性模量情況下水平位移變形曲線圖Fig.6　Curves for horizontal displacement deformationunder different elastic modulus conditions

4　結(jié)　論

本文通過比例邊界有限元方法、有限元法以及無限單元法計(jì)算了庫水-重力壩-無限地基系統(tǒng)的響應(yīng)，基于比例邊界有限元SBFEM方法計(jì)算上游壩面庫水壓力，基于無限單元法考慮無限地基輻射阻尼的影響.以Koyna重力壩為研究對(duì)象，給出了重力壩的地震位移時(shí)程以及應(yīng)力的響應(yīng)，并與工程中常用的無質(zhì)量地基模型的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，考慮輻射阻尼的無限地基計(jì)算得出的結(jié)果比無質(zhì)量地基模型計(jì)算得出的結(jié)果小.通過對(duì)重力壩在無質(zhì)量地基模型與無限地基模型的對(duì)比、不同彈性模量情況下的對(duì)比得出以下結(jié)論：

1)SBFEM方法可以方便有效地計(jì)算無限水域與壩體的相互作用問題；

2) 基于無限元考慮輻射阻尼的無限地基相對(duì)于無質(zhì)量截?cái)嗟挠邢拊鼗?，?yīng)力與位移都有一定的降低；

3) 在不同的地基彈性模量情況下，隨著地基彈性模量的增加，壩體響應(yīng)增加.

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(責(zé)任編輯：鐘媛英文審校：尹淑英)

Seismic response analysis for reservoir water-gravity dam-infinite foundation system

LIU Jun-yu1, 2, ZHANG Ping1, ZHANG Si-miao3, WANG Yu-yang1, NING Bao-kuan1

(1. School of Architecture and Civil Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China; 2. School of Hydraulic Engineering, Dalian University of Technology, Dalian 116024, China; 3. School of Resource & Civil Engineering, Northeastern University, Shenyang 110819, China)

In order to analyze the effect of reservoir water and infinite foundation radiation damping on the seismic response of reservoir water-gravity dam-infinite foundation system, the response of reservoir-gravity dam-infinite foundation system was calculated with the scaled boundary finite element method (SBFEM), finite element method (FEM) and infinite element method. The reservoir water pressure at the upstream surface of gravity dam was calculated based on SBFEM, and the effect of the infinite foundation radiation damping was analyzed with the infinite element method. Through taking Koyna gravity dam as the research subject, the response of seismic displacement time history and stress of gravity dam under the condition of different elastic modulus of foundation was obtained. With increasing the elastic modulus of foundation, the dam response increases. Compared with the calculated results from the massless foundation model, it is found that the calculated results with considering the effect of infinite foundation radiation damping are smaller.

finite element analysis; scaled boundary finite element method; gravity dam; reservoir water pressure; infinite element; dynamic interaction; massless foundation; radiation damping

2015-11-02.

國家自然科學(xué)青年基金資助項(xiàng)目(51109134/E090801，51208310，51408585)； 中國博士后基金資助項(xiàng)目(2013T60283).

劉鈞玉(1978-)，男，遼寧沈陽人，副教授，博士，主要從事斷裂力學(xué)數(shù)值方法和結(jié)構(gòu)地基相互作用等方面的研究.

10.7688/j.issn.1000-1646.2016.05.16

TU 398

A

1000-1646(2016)05-0566-07

*本文已于2016-05-12 13∶56在中國知網(wǎng)優(yōu)先數(shù)字出版. 網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：∥www.cnki.net/kcms/detail/21.1189.T.20160512.1356.016.html