張亞萍

（泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處，江蘇泰州225300）

基于無網(wǎng)格有限體積法的彈性地基梁的靜態(tài)響應(yīng)分析

張亞萍

（泰州職業(yè)技術(shù)學(xué)院教務(wù)處，江蘇泰州225300）

文章介紹了一種快速、準(zhǔn)確、直觀的彈性地基梁靜態(tài)響應(yīng)分析方法。首先將文克爾地基模型表達(dá)的彈性地基梁曲線微分方程改寫成含有四個(gè)變量的試函數(shù)；其次應(yīng)用無網(wǎng)格有限體積法，采用Matlab語言編寫程序，計(jì)算彈性地基梁在外載荷作用下的擾度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力；最后根據(jù)用戶輸入的條件參數(shù)，以圖形方式輸出結(jié)果。

文克爾地基模型；無網(wǎng)格有限體積法；交互方式

1　文克爾地基計(jì)算模型

彈性地基梁是指擱置在具有一定彈性地基上，各點(diǎn)與地基緊密相貼的梁。如鐵路枕木，鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁等。通過這種梁，將作用在它上面的載荷，分布到較大面積的地基上，即使承載能力較低的地基，也可以既能承受較大的載荷，又能使梁的變形減小，提高剛度降低內(nèi)力。彈性地基梁與地基連續(xù)接觸，梁所受的反力是連續(xù)分布的，彈性地基梁具有無窮多個(gè)支點(diǎn)和無窮多個(gè)未知反力。在彈性地基梁的計(jì)算理論中關(guān)鍵問題是如何確定地基的計(jì)算模型，現(xiàn)有的地基模型主要有以下6種：文克爾地基模型、利夫金模型、半空間無限體模型、有限壓縮層地基模型、鄧肯—張模型、彈塑性模型［1］。

由于文克爾地基計(jì)算模型相對(duì)簡單，故在工程實(shí)踐上被廣泛應(yīng)用。文克爾認(rèn)為地基每單位面積上所受的壓力與地基的變形成正比，地基和基礎(chǔ)梁遵循變形協(xié)調(diào)條件，即梁的擾度和地基的變形是一致的，也就是說即使在出現(xiàn)負(fù)的地基反力的時(shí)候也不會(huì)發(fā)生分離。文克爾彈性地基模型中，當(dāng)基床系數(shù)k不變時(shí)，彈性地基梁的彈性曲線微分方程為：

式中，E、I分別為梁的彈性模量、截面慣性矩；k為地基系數(shù)，y為梁的擾度，q（x）為作用在梁上的載荷，x為梁上計(jì)算截面到梁左端的距離。

由材料力學(xué)的知識(shí)可知，轉(zhuǎn)角θ，彎矩M，剪力q分別為：

梁的支撐方式有：兩端固定、兩端簡支、一端固定另一端自由等等。具體的邊界條件為：

當(dāng)梁為自由端時(shí)，y≠0，θ≠0，m=0，q=0（5）

當(dāng)梁為簡支端時(shí)，y=0，θ≠0，m=0，q≠0（6）

當(dāng)梁為固定端時(shí)，y=0，θ=0，m≠0，q≠0（7）

2　無網(wǎng)格有限體積法

目前，基于文克爾地基模型的計(jì)算方法主要采用初參數(shù)法，計(jì)算過程比較復(fù)雜。首先將文克爾地基模型表達(dá)的彈性地基梁曲線微分方程改寫成含有四個(gè)變量的試函數(shù)；其次應(yīng)用無網(wǎng)格有限體積法，采用Matlab語言編寫程序，計(jì)算彈性地基梁在外載荷作用下的擾度、轉(zhuǎn)角、彎矩和剪力；最后根據(jù)用戶輸入的條件參數(shù)，以圖形方式輸出結(jié)果。

無網(wǎng)格法是利用一組散布在問題域中以及域邊界上的節(jié)點(diǎn)（而非離散）表示該問題域及其邊界。這組散布的節(jié)點(diǎn)被稱為場(chǎng)節(jié)點(diǎn)，它們并不構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)，即不需要任何事先定義的節(jié)點(diǎn)連接信息用于構(gòu)造未知的場(chǎng)函數(shù)。在無網(wǎng)格法中，其問題域通常是由任意分布的場(chǎng)節(jié)點(diǎn)表示的，問題域中任意點(diǎn)的場(chǎng)變量是通過該點(diǎn)局部支持域中的一組場(chǎng)節(jié)點(diǎn)近似表達(dá)的。因此有必要形成基于插值/近似技術(shù)的移動(dòng)域來構(gòu)造無網(wǎng)格形函數(shù)，用于表示適應(yīng)任意分布節(jié)點(diǎn)的場(chǎng)函數(shù)近似。目前已提出了數(shù)種構(gòu)造無網(wǎng)格形函數(shù)的方法［2-3］，如最小移動(dòng)二乘法，緊支徑向基函數(shù)法，Shepherd函數(shù)法等等。文中的無網(wǎng)格有限體積法選擇最小移動(dòng)二乘法構(gòu)造形函數(shù)。

2.1最小移動(dòng)二乘法（MLS）

移動(dòng)最小二乘法（MLS），利用區(qū)域上的n個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)連續(xù)光滑曲面來逼近真實(shí)場(chǎng)函數(shù)。

考慮域Ω中一場(chǎng)變量的未知標(biāo)量函數(shù)u（x），定義在x處的u（x）的MLS近似表達(dá)式為：

其中，pT（x）=［1，x，x2，Lxn］，a（x）為一系數(shù)向量，該系數(shù)a可以通過下列加權(quán)離散L2范數(shù)取最小而得到：

其中dI=|| x-xI，代表xI到x的距離，rI為節(jié)點(diǎn)xI的支持域半徑。

J關(guān)于a（x）求駐點(diǎn)值可得到

該運(yùn)算將產(chǎn)生如下線性關(guān)系

從而可以到：

其中：A（x）=PTW（x）P

由Aα′=p′-A′α，可得到MLS形函數(shù)Φ的一階導(dǎo)數(shù)：

2.2無網(wǎng)格有限體積法的公式

彈性擾曲方程（1）可寫為：

將位移，轉(zhuǎn)角，動(dòng)量和剪力作為獨(dú)立變量考慮，則4階常微分方程（15）可寫為四個(gè)一階常微分方程：

用矩陣向量的形式表示為：

設(shè)權(quán)函數(shù)為W，則（20）式的加權(quán)殘量弱形式為：

用移動(dòng)最小二乘函數(shù)（MLS）分別構(gòu)建u，θ，m，q四個(gè)變量的試函數(shù)：

用矩陣向量的形式表示為：

這樣在每個(gè)xI節(jié)點(diǎn)存在四個(gè)變量uI，θI，mI，qI，在每個(gè)節(jié)點(diǎn)配點(diǎn)，則由公式（20）（26）得到以下的配點(diǎn)公式：

假設(shè)節(jié)點(diǎn)xI的局部區(qū)域?yàn)棣窱=｛x|xI-lI＜x＜xI+lI，x∈Ω｝，子區(qū)域ΩI上的Heaviside函數(shù)可定義為：

Heaviside函數(shù)作為權(quán)函數(shù)，則公式（27）可寫為：

則邊界條件可寫為：

3　數(shù)值算例

設(shè)彈性地基梁的彎曲剛度為EI（bending rigidity），地基系數(shù)為k（Foundation modulus），外部載荷為p（x）（Force），支撐方式（SupportMode= ssccsccs）分為四種：兩端簡支（ss）、兩端固支（cc）、左端簡支右端固支（sc）、左端固支右端簡支（cs），彈性地基梁的長度為L（Length of Beam）。

算例1：設(shè)彈性地基梁的彎曲剛度EI= 40000KNm2，地基系數(shù)為k=106KN/m2，承受均布載荷p=10KN/m，兩端簡支，彈性地基梁長度為L= 1m。參數(shù)輸入如圖1所示，程序計(jì)算的彈性地基梁的擾度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力如圖2所示。

圖1　參數(shù)輸入

圖2　計(jì)算結(jié)果輸出 （a）擾度、（b）轉(zhuǎn)角、（c）彎矩、（d）剪力

算例2：設(shè)彈性地基梁的彎曲剛度EI= 20000KNm2，地基系數(shù)為k=5×105KN/m2，承受拋物線載荷p=x2KN/m，兩端固支，彈性地基梁長度為L=1m。參數(shù)輸入如圖3所示，程序計(jì)算的彈性地基梁的擾度、轉(zhuǎn)角、彎矩、剪力如圖4所示。

4　總結(jié)

將四階彈性擾曲微分方程用四個(gè)未知參數(shù)表示，不僅提高了計(jì)算的精度，而且也降低了對(duì)最小移動(dòng)二乘法形函數(shù)的連續(xù)性要求。程序采用參數(shù)化設(shè)計(jì)，交互式輸入，圖形化顯示，為分析基于文克爾地基模型彈性地基梁的靜態(tài)響應(yīng)提供了一種快速、準(zhǔn)確、直觀的計(jì)算方法。

圖3　參數(shù)輸入

圖4　計(jì)算結(jié)果輸出（a）擾度、（b）轉(zhuǎn)角、（c）彎矩、（d）剪力

［1］高屹.淺談彈性地基梁設(shè)計(jì)模型與計(jì)算方法［J］.甘肅科技，2003（3）：54-55.

［2］S.N.Atluri，S.shen.The meshless local Petrov-Galerkin（MLPG）method［M］.Ecino：Tech Science Press，2002.

［3］S.N.Atluri.The meshless method（MLPG）for domain &BIE discretizations［M］.Ecino：Tech Science Press，2014.

（責(zé)任編輯劉紅）

The Static Response Analysis of Beam on Elastic Foundation Based on Meshless Finite Volume Method

ZHANG Ya-ping
（Taizhou Polytechnic College，Taizhou Jiangsu 225300，China）

The article provides a simple，efficient and intuitive way to investigate the static response of a beam on winkler foundation.Firstly，the article rewrites the differential equation for the deflection curve of a beam on elastic foundation，based on winkler model，as a system of four one order differential equations.Secondly，the finite volume method is applied to calculate the degree of deflection，rotation，bending moment and shearing force of elastic foundation beam under external load by using Matlab language.Finally，the interactive mode is used to input the parameters，and the results of the analysis are graphically output.

winkler foundation model；meshless finite volume method；interactive mode

TU470+.3，TU471+.2

A

1671-0142（2016）04-0053-04

張亞萍（1978-），女，江蘇泰興人，副教授.