陳宏威　向建華　劉　帥　吳斌輝（北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院北京100081）

·振動(dòng)·噪聲·

曲拐彎扭耦合振動(dòng)影響規(guī)律研究

陳宏威向建華劉帥吳斌輝
（北京理工大學(xué)機(jī)械與車輛學(xué)院北京100081）

基于圓盤非對(duì)稱轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化模型和達(dá)朗貝爾原理，建立了曲軸單拐彎-扭耦合非線性振動(dòng)數(shù)學(xué)模型，并利用解析推導(dǎo)法和四階龍格庫(kù)塔的迭代數(shù)值求解方法研究了彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)間的相互影響規(guī)律。研究結(jié)果表明，彎曲振動(dòng)（或扭轉(zhuǎn)振動(dòng)）會(huì)耦合產(chǎn)生多種頻率成分的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)（或彎曲振動(dòng)），耦合振動(dòng)幅值隨著激勵(lì)頻率和偏心距的增加而加大，且彎曲振動(dòng)對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的耦合影響相對(duì)較大。

曲拐彎扭耦合振動(dòng)非線性振動(dòng)影響規(guī)律

引言

內(nèi)燃機(jī)曲軸應(yīng)用范圍廣泛，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，功能繁多，是內(nèi)燃機(jī)系統(tǒng)關(guān)鍵部件［1］。曲軸承受周期性變化的切向力和法向力作用，常常產(chǎn)生彎曲振動(dòng)、扭轉(zhuǎn)振動(dòng)及二者的耦合振動(dòng)形式，很容易引發(fā)多種振動(dòng)問題，導(dǎo)致軸段的疲勞損壞、軸承磨損以及工作噪聲等［2］。以往人們關(guān)于內(nèi)燃機(jī)曲軸的研究主要集中于軸的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，但近年來隨著認(rèn)識(shí)的深入，一些學(xué)者開始著重關(guān)注扭轉(zhuǎn)—彎曲耦合振動(dòng)，形成了比較完備的理論分析、數(shù)值模擬與實(shí)驗(yàn)研究相結(jié)合的體系［3-5］。由于曲軸高速回轉(zhuǎn)時(shí)的質(zhì)量不平衡或系統(tǒng)不對(duì)稱等非線性因素，使得數(shù)值仿真中曲軸彎曲振動(dòng)的數(shù)學(xué)建模和求解比較復(fù)雜［6-8］，其相應(yīng)的曲軸彎扭耦合振動(dòng)分析的相關(guān)文獻(xiàn)目前尚不多見。李慧珍［9］在有限元計(jì)算曲軸振動(dòng)中將曲軸視為圓截面梁和變截面矩形梁的組合；梁興雨［10］等建立了由多個(gè)自由度組成的發(fā)動(dòng)機(jī)剛?cè)狁詈隙囿w動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)模型；何成兵［11］推導(dǎo)了三類微元軸段的彎扭耦合振動(dòng)微分方程組，提出數(shù)值計(jì)算解法。Nataraj C［12］利用攝動(dòng)的方法得到了非線性彎扭耦合振動(dòng)微分方程組的初步解；梁明軒［13］分別通過諧波平衡法與數(shù)值積分法得到系統(tǒng)幅頻特性，分析了質(zhì)量偏心和轉(zhuǎn)速對(duì)軸系非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響；劉占生［14］得到了共振區(qū)彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的頻率特征，分析了不平衡量對(duì)彎扭耦合共振區(qū)的影響。目前，對(duì)于內(nèi)燃機(jī)曲軸的振動(dòng)耦合分析，大多是基于計(jì)算精度較差的離散質(zhì)量或分布參數(shù)模型，且彎扭耦合振動(dòng)影響等理論研究不夠深入。

本文針對(duì)某內(nèi)燃機(jī)曲軸單拐，并基于圓盤非對(duì)稱轉(zhuǎn)子簡(jiǎn)化模型和達(dá)朗貝爾原理，建立了曲拐彎-扭耦合非線性振動(dòng)數(shù)學(xué)模型，并利用解析推導(dǎo)和龍格庫(kù)塔的迭代數(shù)值求解方法深入研究了彎曲振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)間的相互影響規(guī)律，從而為內(nèi)燃機(jī)曲軸彎扭耦合研究提供理論指導(dǎo)。

1　非線性彎扭耦合模型建立和求解

對(duì)于截取的曲拐，在考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的前提下，采用離散化模型分析彎曲振動(dòng)運(yùn)動(dòng)狀況。將曲軸單拐簡(jiǎn)化為一個(gè)剛性圓盤并安裝在具有彎曲和扭轉(zhuǎn)彈性而無(wú)質(zhì)量的軸上。假定軸是各向同性，兩端軸承為剛性支撐，忽略了圓盤的陀螺效應(yīng)，進(jìn)而將整個(gè)曲拐簡(jiǎn)化為一個(gè)單質(zhì)量圓盤轉(zhuǎn)子模型，如圖1所示。

圖1　曲拐和簡(jiǎn)化后的單質(zhì)量圓盤轉(zhuǎn)子模型

建立考慮扭轉(zhuǎn)振動(dòng)耦合影響和偏心距的單質(zhì)量圓盤轉(zhuǎn)子示意圖如圖2所示。圓盤旋轉(zhuǎn)中心為O，質(zhì)心為O1，偏心距為e，φ為質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角度，ω為轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率，即φ=ωt+θ，θ為扭轉(zhuǎn)角。

圖2　圓盤轉(zhuǎn)子示意圖

由于偏心距e的存在，圓盤具有回轉(zhuǎn)速度φ˙和回轉(zhuǎn)加速度，使得質(zhì)心上有切向加速度eφ¨和法向加速度eφ˙2φ¨，如圖3所示。由此產(chǎn)生的慣性力為：

圖3　慣性力分析示意圖

同理，質(zhì)心具有彎曲加速度y¨和z¨，產(chǎn)生的慣性力為-my¨和-mz¨，由此施加在回轉(zhuǎn)中心的額外扭矩為：

在假設(shè)圓盤為剛體且左右支撐軸彎扭各向同性的前提下，根據(jù)達(dá)朗伯原理得到彎扭耦合振動(dòng)平衡方程組：式中：T為作用在曲柄銷處的切向力產(chǎn)生的扭矩；Fy、Fz為作用在曲柄銷處的徑向力在y、z方向的投影；c和k為彎曲阻尼和剛度，此處不再考慮y和z方向的各向異性；ct和kt為扭轉(zhuǎn)阻尼和剛度。

從式（3）定性分析可以看出，耦合振動(dòng)的產(chǎn)生是由于偏心距e的存在，e越大耦合作用就越大。而當(dāng)e=0時(shí)，圓盤的彎扭耦合振動(dòng)平衡方程組變成：

即當(dāng)偏心距不存在時(shí)，彎曲扭轉(zhuǎn)振動(dòng)間不存在明顯的耦合關(guān)系。

式（3）所示的彎扭耦合振動(dòng)平衡方程組中變量z、y、θ均為時(shí)間的函數(shù)，呈現(xiàn)高度非線性。本文利用Matlab/Simulink搭建式（3）所對(duì)應(yīng)的彎扭耦合振動(dòng)平衡方程組仿真模型（如圖4所示），并基于四階-龍格庫(kù)塔法（Runge-Kutta）迭代求解，獲得相應(yīng)的數(shù)值解。

圖4中，左右兩邊是模型輸入和輸出模塊，淺灰色的是兩個(gè)彎曲振動(dòng)和1個(gè)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)計(jì)算模塊，深灰色的是彎扭和扭彎耦合計(jì)算模塊。仿真求解時(shí)，將初始值（作用力或力矩）賦給對(duì)應(yīng)的振動(dòng)計(jì)算模塊，得到的值經(jīng)由各耦合模塊計(jì)算獲得新的耦合力或是力矩，再一并輸入作為總激勵(lì)來計(jì)算下一輪的值。以此反復(fù)迭代求解，直至滿足收斂條件，從而實(shí)現(xiàn)彎扭耦合振動(dòng)平衡方程組的數(shù)值求解。

由于彎扭耦合影響是相互的，本文在分析彎扭耦合振動(dòng)作用時(shí)，采用單獨(dú)控制一種振動(dòng)而激發(fā)另一種振動(dòng)的辦法，即通過單獨(dú)施加力或是力矩，觀察一種振動(dòng)產(chǎn)生時(shí)另一種振動(dòng)頻域下的幅值變化，從而獲得彎扭振動(dòng)之間的耦合作用規(guī)律。

圖4　彎扭耦合振動(dòng)求解模型

2　彎曲振動(dòng)對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的影響研究

由式（3）可以看出，由于偏心距e的存在，彎曲振動(dòng)在圓盤上產(chǎn)生了額外扭矩M，即M=me（y¨sinφz¨cosφ），而重力作用產(chǎn)生的額外扭矩大小為megsin（tω+θ）。對(duì)M進(jìn)行傅立葉變換，將y、z方向的彎曲振動(dòng)分解為若干簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，得到：

式中：ωi為第i個(gè)彎曲振動(dòng)分量的振動(dòng)角頻率；Yi、Zi分別為y、z兩個(gè)方向上振動(dòng)的振幅；αi、βi為各自的相位。

將第i分量代入M=me（y¨sinφ-z¨cosφ），得到頻率為ωi的額外扭矩：

從式（6）可以看出，角頻率為ωi的彎曲振動(dòng)可以引起角頻率為ωi±ω的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)；彎曲振動(dòng)產(chǎn)生的額外扭矩的幅值與不平衡量me成正比，與彎曲振幅（Yi，Zi）成正比，與該諧分量下角頻率的平方成正比，彎曲振動(dòng)相位角（αi，βi）對(duì)扭矩的幅值影響也較大。此外，由于重力作用也會(huì)產(chǎn)生額外扭矩，其大小為meg sin（ωt+θ），故重力會(huì)引起角頻率為ω的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。

取單位曲拐模型仿真計(jì)算的基本參數(shù)為：轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，即轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為50 Hz，k=1.736×1010N/m，J=0.045 kg·m2，kt=1.285×106（N·m）/rad，e= 0.02 m，m=9.07 kg，彎曲激勵(lì)頻率為35 Hz，幅值大小為Fy=1.0×107N，F(xiàn)z=5×105N，c=80（N·s）/m，Ct=100（N·m）/rad，通過圖4的數(shù)值迭代計(jì)算，結(jié)果如圖5所示。

從圖5可以看出，在激勵(lì)力35 Hz作用下，彎曲振動(dòng)在35 Hz產(chǎn)生了明顯的波峰。同時(shí)，在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的15 Hz、50 Hz、85 Hz附近產(chǎn)生較為明顯的峰值；耦合作用產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值和彎曲振動(dòng)幅值比（無(wú)量綱）為1∶40。扭轉(zhuǎn)振動(dòng)在15 Hz和85 Hz下產(chǎn)生的峰值符合│ω±ωi│的規(guī)律，即為激勵(lì)力頻率與轉(zhuǎn)動(dòng)頻率之差或之和的絕對(duì)值。50 Hz處的峰值產(chǎn)生是因?yàn)橹亓λ鶎?dǎo)致的不平衡引起的，重力可以產(chǎn)生meg sin（ωt+θ）的額外扭矩進(jìn)而引起頻率為ω的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)。值得注意的是，雖然由彎曲振動(dòng)產(chǎn)生的扭矩M通過傅里葉變換可以得出N個(gè)不同角頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，進(jìn)而引起相應(yīng)的一系列的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)；但只有峰值較為明顯（通常是低階）的彎曲振動(dòng)，耦合產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)才較為明顯。其余情況下產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)可以忽略。

此外，在轉(zhuǎn)速一定的情況下，隨著彎曲振動(dòng)激勵(lì)力頻率從55 Hz到90 Hz的變化，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值也呈一定的變化。其中圖6顯示了│ω-ωi│扭轉(zhuǎn)振動(dòng)隨著激勵(lì)力ω變化關(guān)系。

從圖6中可以看出，隨著彎曲振動(dòng)激勵(lì)力頻率從55 Hz到90 Hz的變化，頻率│ω-ωi│扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值逐漸增加。因?yàn)楦鶕?jù)公式（6）可知，彎曲振動(dòng)耦合產(chǎn)生的額外扭矩大小的決定因素中有激勵(lì)力頻率，且與其平方成正比，同時(shí)受重力產(chǎn)生的旋轉(zhuǎn)扭矩的影響，但總體上扭轉(zhuǎn)振動(dòng)會(huì)隨著激勵(lì)力頻率的增加而相應(yīng)的增加。特別指出，當(dāng)扭轉(zhuǎn)固有頻率和彎曲固有頻率都不大時(shí)，會(huì)出現(xiàn)由于彎曲振動(dòng)耦合作用所導(dǎo)致的扭轉(zhuǎn)共振的情況發(fā)生。

圖5　彎曲振動(dòng)和耦合產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻域圖

圖6　│ω-ωi│扭轉(zhuǎn)振動(dòng)隨著激勵(lì)力ω變化關(guān)系

3　扭轉(zhuǎn)振動(dòng)對(duì)彎曲振動(dòng)的影響研究

由式（3）可以看出，由于存在偏心距和扭轉(zhuǎn)角的原因，在圓盤部產(chǎn)生了切向力和法向力，這些激勵(lì)力作用在彎曲振動(dòng)方向，使其產(chǎn)生相應(yīng)的彎曲振動(dòng)。這里，以Z方向彎曲振動(dòng)為研究對(duì)象；為進(jìn)一步分析微分方程，可以把扭轉(zhuǎn)角θ分解為若干諧振動(dòng)的和，即

扭對(duì)彎耦合項(xiàng)Z方向力me（φ˙2sinφ-φ¨cosφ）進(jìn)行分析，即：

式中：第1項(xiàng)是由于旋轉(zhuǎn)不平衡引起的，為傳統(tǒng)的不平衡彎曲振動(dòng)響應(yīng)激勵(lì)力，它將引起同頻率的彎曲振動(dòng)。后邊各項(xiàng)均是由于扭轉(zhuǎn)振動(dòng)引起的離心激勵(lì)力，頻率為：

1）ω±ωi，幅值與、不平衡me、轉(zhuǎn)速ω成正比，與ωi或是成正比。

3）ω±ωi±ωj，幅值與乘積、不平衡me、ωiωj乘積成正比。

4）2ωi±ω，幅值與、不平衡me成正比。

通過對(duì)比可知，這些激勵(lì)力由于幅值引入了扭振角，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)引起的慣性力相比不平衡直接引起的同頻率彎曲振動(dòng)幅值要小很多；而其中ω±ωi頻率下對(duì)應(yīng)的振幅相對(duì)大一些。

同樣，取單位曲拐模型仿真計(jì)算的基本參數(shù)為：轉(zhuǎn)速為3 000 r/min，即轉(zhuǎn)動(dòng)頻率為50 Hz，k=1.736× 1010N/m，J=0.045 kg·m2，kt=1.285×106（N·m）/rad，e=0.02 m，m=9.07 kg，扭矩頻率為35 Hz，幅值大小為T=2e4N·m，c=80（N·s）·m-1，ct=100（N·m·s）·rad-1。通過圖4的數(shù)值迭代計(jì)算，結(jié)果如圖7～圖9所示。

圖7　扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻域圖

圖8　耦合引起的同頻率彎曲振動(dòng)幅值

圖9　耦合引起的ω±ωi頻率彎曲振動(dòng)幅值

從圖7可以看出，在35 Hz扭矩的作用下，產(chǎn)生了比較明顯的波峰；圖9中彎曲振動(dòng)在15 Hz、50 Hz和85Hz附近產(chǎn)生了明顯的波峰；耦合作用產(chǎn)生的彎曲振動(dòng)幅值和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)幅值比（無(wú)量綱）為1∶12 000。圖8中在彎曲振動(dòng)50 Hz處產(chǎn)生明顯峰值的原因是傳統(tǒng)的同頻彎曲振動(dòng)作用的結(jié)果，其幅值與不平衡成正比，與轉(zhuǎn)速ω平方成正比。圖9中彎曲振動(dòng)在15 Hz和85 Hz處產(chǎn)生峰值的原因與│ω±ωi│相符合，即是轉(zhuǎn)動(dòng)角頻率與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)頻率之差或之和，其幅值與不平衡me成正比，與轉(zhuǎn)速ω成正比，與ωi或是ω2i成正比，與θi成正比。由于這里的扭轉(zhuǎn)剛度很大，故θi一般比較小，使得幅值要遠(yuǎn)小于同頻率引起的彎曲振動(dòng)；而其它頻率成分對(duì)應(yīng)的幅值更小，耦合作用不明顯，可以忽略。

圖10和圖11描述了在軸系轉(zhuǎn)速頻率為50 Hz，外扭矩頻率從55 Hz逐漸增加到90 Hz時(shí)，扭轉(zhuǎn)振動(dòng)引起的│ω±ωi│頻率的彎曲振動(dòng)隨著外扭矩頻率的變化趨勢(shì)。隨著扭轉(zhuǎn)激勵(lì)力頻率的增加，彎曲振動(dòng)逐漸增加，這與彎曲振動(dòng)對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的結(jié)論相似。

圖10　Y向彎曲振動(dòng)隨扭振頻率的變化

圖11　Z向彎曲振動(dòng)隨扭振頻率的變化

4　結(jié)論

本文建立了曲軸單拐彎-扭耦合振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，并針對(duì)彎-扭耦合振動(dòng)和扭-彎耦合振動(dòng)的影響規(guī)律進(jìn)行了解析推導(dǎo)和數(shù)值迭代求解，計(jì)算結(jié)果具有很好的一致性。具體結(jié)論如下：

1）彎曲振動(dòng)（或扭轉(zhuǎn)振動(dòng)）會(huì)耦合產(chǎn)生多種頻率成分的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)（或彎曲振動(dòng)），都包括頻率為ω±ωi的振動(dòng)成分。

2）耦合產(chǎn)生的振動(dòng)幅值隨著激勵(lì)頻率和偏心距的增加而加大。

3）無(wú)量綱下的彎扭耦合幅值比遠(yuǎn)大于扭彎耦合幅值比，故本曲軸單拐的彎曲振動(dòng)對(duì)扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的耦合影響相對(duì)較大。

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The Nonlinear Study on Coupled Bending and Torsion Vibration of Crank Throw

Chen Hongwei，Xiang Jianhua，Liu Shuai，Wu Binhui
School of Mechanical Engineering，Beijing Institute of Technology（Beijing，100081，China）

Based on the simplified model of asymmetric disc rotor and D'alembert's principle，the nonlinear mathematical model of coupled bending and torsion vibration is established，and then the mutual influence between the bending vibration and torsion vibration is studied through the theoretical derivation and the solving methods of iterative numerical of fourth-order Runge-Kutta.The results show that the bending vibration（or torsion vibration）will produce various frequency of torsion vibration（or bending vibration）if coupled.The coupling vibration amplitude will raise with the increasing of the excitation frequency and eccentricity，the bending vibration has a relatively large coupling influence on torsion vibration.

Crank throw，Coupled bending and torsion vibration，Nonlinear vibration，Influence rule

TK422

A

2095-8234（2016）04-0065-06

2016-02-03）

陳宏威（1991-），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)閮?nèi)燃機(jī)結(jié)構(gòu)振動(dòng)。

向建華（1976-），男，博士，副教授。