劉芳

摘要：分部積分法是求不定積分的常用方法，但是學(xué)生在應(yīng)用的過(guò)程中遇到很多問(wèn)題。本文在深入分析不定積分公式的基礎(chǔ)上，模糊其中函數(shù)u、v的定義和選擇問(wèn)題，根據(jù)被積函數(shù)自身的特點(diǎn)尋求其更簡(jiǎn)潔、靈活的使用方法。最后結(jié)合例題幫助學(xué)生更好地掌握分部積分公式。

關(guān)鍵詞：不定積分；分部積分公式；微分

中圖分類(lèi)號(hào)：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1674-9324（2016）47-0200-02

高等數(shù)學(xué)是所有高等學(xué)校的一門(mén)必修課，而微積分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容。不定積分研究的是與微分運(yùn)算正好相反的問(wèn)題：求一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)，使它的導(dǎo)函數(shù)等于已知的函數(shù)。不定積分是微分運(yùn)算的逆運(yùn)算，是微分學(xué)和積分學(xué)的聯(lián)系紐帶。求不定積分的常規(guī)方法包括直接積分法、換元積分法和分部積分法，其中的分部積分法是教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)難點(diǎn)。

分部積分法是利用微分公式d（uv）=udv+vdu，推導(dǎo)得到了分部積分公式udv=uv-vdu[1].因此，當(dāng)udv不容易直接積出，而vdu較為容易求出時(shí)，可以采用分部積分公式作為轉(zhuǎn)換。一部分教材[1，2]指出分部積分法的關(guān)鍵是要正確地選擇u和v，選擇時(shí)應(yīng)兼顧如下兩點(diǎn)：（1）dv容易求出；（2）vdu要比udv容易積出。但是，這樣的描述比較籠統(tǒng)。還有一些教材[3]列舉了一些常用的選擇方法，如當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)相乘時(shí)，選擇冪函數(shù)為u；當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)相乘時(shí)，選擇對(duì)數(shù)函數(shù)為u；當(dāng)被積函數(shù)為冪函數(shù)和反三角函數(shù)相乘時(shí)，選擇反三角函數(shù)為u；文[4]將基本初等函數(shù)分為“低、中、高”三類(lèi)，用“低等服從高等”的思路來(lái)解決u、v的選擇問(wèn)題；文[5]、[6]則總結(jié)出一套“口訣”，這樣都需要學(xué)生死記硬背，不易于學(xué)生的理解和掌握。

本文將以例題的形式進(jìn)一步分析分部積分公式，不再局限于函數(shù)u、v的定義和選擇，而是將被積函數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，根據(jù)被積函數(shù)的特點(diǎn)來(lái)進(jìn)行u、v的設(shè)定，進(jìn)而讓學(xué)生能夠靈活使用分部積分法進(jìn)行不定積分的計(jì)算。

一、類(lèi)型一：可降冪型

此類(lèi)型的被積函數(shù)為冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)的乘積。此時(shí)，一般將冪函數(shù)設(shè)為u，指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù)則為dv.這是因?yàn)閼?yīng)用分部積分公式之后，冪函數(shù)通過(guò)微分后次數(shù)降低一次，使得轉(zhuǎn)換后的不定積分較容易求積出。

二、類(lèi)型二：直接型

此類(lèi)型的被積函數(shù)為分對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)（即不能直接積分的函數(shù)）與其他函數(shù)（即能直接積分的函數(shù)）的乘積。此時(shí)，將分對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)設(shè)為u，其他函數(shù)則為dv.

三、類(lèi)型三：循環(huán)型

此類(lèi)型的被積函數(shù)為指數(shù)函數(shù)與正弦（或余弦）函數(shù)的乘積。此時(shí)，需要使用分部積分公式兩次才能找到原函數(shù)。任意設(shè)定其中一部分函數(shù)為u，其他函數(shù)則為dv.分部積分兩次后會(huì)還原到原來(lái)的函數(shù)，只是系數(shù)有一些相應(yīng)的變化。因此，等式兩邊就含有系數(shù)不同的同一積分。

一元函數(shù)的不定積分是微積分中的重要知識(shí)點(diǎn)，對(duì)定積分的學(xué)習(xí)有非常重要的作用。教師通過(guò)對(duì)函數(shù)的類(lèi)型、性質(zhì)等的細(xì)致觀(guān)察、理解和分析，可以培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，進(jìn)而有助對(duì)于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。本文針對(duì)不定積分中的分部積分法，通過(guò)對(duì)被積函數(shù)類(lèi)型的分析將其分為三類(lèi)：降冪型、直接型和循環(huán)型，簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程，幫助學(xué)生合理、有效地使用分部積分公式。

參考文獻(xiàn)：

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[2]王培承，祁?lèi)?ài)琴，魏曼莎.醫(yī)科高等數(shù)學(xué)[M].濟(jì)南：山東人民出版社，2010：76-98.

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007：184-222.

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[5]胡結(jié)梅，鄭華盛.不定積分計(jì)算方法注記[J].高等數(shù)學(xué)研究，2014，17（6）：10-13.

[6]朱孝春.一元函數(shù)不定積分中換元積分法與分部積分法的教學(xué)研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2011，30（11）：51-53，56.