吳美容　李小襯　姜葉乘

摘 要 不定積分是《高等數(shù)學(xué)》中的一個(gè)重要的教學(xué)內(nèi)容，換元積分法是一種重要而常用的積分方法。本文對(duì)換元積分法作了深入的研究，并對(duì)換元積分法的多種換元技巧進(jìn)行了探討。

關(guān)鍵詞 換元法 不定積分 湊微分

中圖分類號(hào)：G724.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

微積分的不定積分求解可以歸結(jié)為求被積函數(shù)的原函數(shù)，但是在教學(xué)過(guò)程中，由于不定積分求解方法非常靈活，并且原函數(shù)也不唯一，但是這些不同的原函數(shù)之間僅僅相差一個(gè)常數(shù)。換元積分法分為兩大類：第一換元積分法和第二換元積分法。第一換元法也稱為 “湊微分法”，它是不定積分計(jì)算的核心，也是求解積分最基本、最常用方法之一。對(duì)于湊微分的教學(xué)，要引導(dǎo)學(xué)員觀察被積函數(shù)的特點(diǎn)，看看哪些可以拿出去湊微分，我們一般把簡(jiǎn)單的函數(shù)拿去湊微分，復(fù)雜的函數(shù)留下來(lái)，正如生活中的一句俗語(yǔ)：把方便留給別人，困難留給自己。巧婦難為無(wú)米之炊，學(xué)員必須熟記微分公式和積分公式，否則無(wú)法使用湊微分的方法。如何幫助學(xué)員更好地掌握湊微分法，本文將做初步探討。在學(xué)員掌握第一換元法之后，可以加強(qiáng)第二換元的學(xué)習(xí)，本文對(duì)一些常用的三角代換法、倒代換法等進(jìn)行了總結(jié)。

1第一類換元積分法

第一換元積分法也稱為湊微分法，事實(shí)上第一換元積分法是復(fù)合函數(shù)微分運(yùn)算的一種逆運(yùn)算，即微分形式不變性的一種逆運(yùn)算。

設(shè)函數(shù)f（u）在區(qū)間上連續(xù)，u= （x）有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)且 的值域包含在I中，則有換元公式。該公式∫f[ （x）] '（x）dx=[∫f（u）du]u= （x）給出的方法也叫不定積分的第一類換元法。

第一類換元積分法關(guān)鍵是要找到被積函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)朋友，理解“湊”的過(guò)程，會(huì)“湊”微分。換元積分法包含了很多靈活的解題技巧。只有通過(guò)大量的實(shí)踐練習(xí)，在練習(xí)中總結(jié)，在實(shí)踐中掌握換元積分法的訣竅。筆者從教學(xué)實(shí)踐中了探討了換元積分法的常用技巧，引起學(xué)員的濃厚興趣，使他們普遍提高了用換元積分法解題的能力，產(chǎn)生了良好的教學(xué)效果。對(duì)這種方法熟悉之后，第一類換元法的中間變量可以不設(shè)出來(lái)。使用此公式的關(guān)鍵在于將∫g（x）dx化為∫f[ （x）] '（x）dx直接將中間變量看作一個(gè)整體。

上述所介紹的都是利用換元積分法的幾種典型情形。讀者應(yīng)認(rèn)真研究這些積分方法，掌握求不定積分的一般規(guī)律，多做題，多看典型例題，并靈活運(yùn)用、做好總結(jié)。

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