常加強(qiáng)

（咸陽(yáng)師范學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，咸陽(yáng)　712000）

關(guān)于對(duì)換改變排列反序數(shù)的奇偶性的一種推理方法

常加強(qiáng)

（咸陽(yáng)師范學(xué)院計(jì)算機(jī)學(xué)院，咸陽(yáng)712000）

對(duì)《高等代數(shù)》中行列式排列理論的補(bǔ)充，從另一個(gè)角度證明和推理對(duì)換改變排列反序數(shù)的奇偶性，得出原排列反序數(shù)與對(duì)換后新排列反序數(shù)之間的關(guān)系及公式，使對(duì)換改變排列反序數(shù)的奇偶性更加清晰。

排列；對(duì)換；反序數(shù)；奇偶性

0　引言

對(duì)于《對(duì)換改變排列反序數(shù)的奇偶性》這一問(wèn)題的研究，其理論體系幾乎完閉和嚴(yán)密，所以目前對(duì)于該問(wèn)題的研究相對(duì)較少。張禾瑞［1］等從另一方面對(duì)該問(wèn)題做了理論上的證明與推理，得出原排列反序數(shù)與對(duì)換后新排列反序數(shù)之間的關(guān)系及公式，該理論簡(jiǎn)單、易懂，初學(xué)者能夠更加直觀地看到對(duì)換確實(shí)改變了排列反序數(shù)的奇偶性。本文另辟蹊徑，再次證明了《對(duì)換改變排列反序數(shù)的奇偶性》這一問(wèn)題。

1　奇偶性的推理

已有的資料顯示［2-5］，對(duì)于排列問(wèn)題每一個(gè)對(duì)換都可以改變排列的奇偶性。即，一個(gè)排列m1，m2，…，mn經(jīng)過(guò)（mk1，mk2）對(duì)換，則改變此排列反序數(shù)的奇偶性，如果知道原排列的反序數(shù)，如何利用簡(jiǎn)便算法，求得經(jīng)過(guò)對(duì)換后得到新排列的反序數(shù)呢？或者說(shuō)能不能給出原排列的反序數(shù)與新排列的反序數(shù)之間一個(gè)關(guān)系式？使大家更加明白，每一個(gè)對(duì)換都改變排列的奇偶性。

證明：

設(shè)式（1）為原排列，式（2）為經(jīng)對(duì)換后的新排列，式（3）新排列的反序數(shù)

（1）當(dāng)i＞j時(shí)

在k個(gè)數(shù)碼中有mq個(gè)數(shù)碼大于，則有k-mq個(gè)數(shù)碼小于j，由于a個(gè)數(shù)碼，n個(gè)數(shù)碼及k個(gè)數(shù)碼的位置次序沒(méi)有變，則由它們構(gòu)成的部分排列的反序數(shù)沒(méi)有變。對(duì)排列

來(lái)說(shuō)，j的反序數(shù)mj=mq+1。經(jīng)過(guò)對(duì)換（i，j）得到新的排列為：

則，j的反序數(shù)為mj=0，但j和其他數(shù)碼構(gòu)成的反序數(shù)為k-mq，那么，從數(shù)碼j的角度來(lái)看，經(jīng)過(guò)對(duì)換（i，j），排列（4）變?yōu)榕帕校?），其反序數(shù)增加了

設(shè)k個(gè)數(shù)碼中小于i的數(shù)碼為m1個(gè)，對(duì)于排列（4）來(lái)講，i和其他數(shù)碼構(gòu)成反序數(shù)為m1，（j除外，因?yàn)閕與j構(gòu)成反序已經(jīng)計(jì)算過(guò)了），則在排列（5）中，i的反序數(shù)為m2=k-m1，從i的角度來(lái)講，反序數(shù)增加了

則排列（4）經(jīng)過(guò)對(duì)換（i，j）得到新的排列（5），其反序數(shù)增加了

對(duì)于排列（1）來(lái)講，由于i和j的對(duì)換不影響i和j分別和a+n個(gè)數(shù)碼構(gòu)成排列的反序數(shù)，顯然就有排列（1）經(jīng)過(guò)（i，j）對(duì)換得到新排列（2），其反序數(shù)增加為：

（2）當(dāng)i＜j時(shí)，同理可證。

［1］張禾瑞，郝鈵新.高等代數(shù)［M］.北京：高教出版社.

［2］王萼芳.高等代數(shù)［M］.北京：清華大學(xué)出版社.

［3］郭龍先，張毅敏，何建瓊.高等代數(shù)［M］.北京：科學(xué)出版社.

［4］高孝忠.高等代數(shù)［M］.北京：清華大學(xué)出版社.

［5］黃益生.高等代數(shù)［M］.北京：清華大學(xué)出版社.

［6］秦松喜.高等代數(shù)新編［M］.廈門：廈門大學(xué)出版社.

排列（1）經(jīng)過(guò)（i，j）對(duì)換得到新排列（2），其反序數(shù)增加為m+2（mp-mq）+1。

故此定理證畢。

舉例：將排列4513627經(jīng)過(guò)對(duì)換（1，2）得到新的排列4523617

排列（1）的反序數(shù)m1=2+4+2+0+0+0+0=8

排列（2）的反序數(shù)m2=5+2+2+0+0+0+0=9

現(xiàn)用上面證明的公式：

由于1＜2其中mp=mq=2

則有m1+2（mp-mq）+1=9，m2=9

即兩個(gè)計(jì)算的結(jié)果相同。

2　結(jié)語(yǔ)

本文從另一個(gè)角度證明和推理了對(duì)換改變排列反序數(shù)的奇偶性，得出原排列反序數(shù)與對(duì)換后新排列反序數(shù)之間的關(guān)系及公式，使對(duì)換改變排列反序數(shù)的奇偶性更加清晰。

A Novel Reasoning Method about the Parity of Ordinal Numbers

CHANG Jia-qiang
（School of Computer Science，XianYang Normal University，Xianyang 712000）

This is a supplement of determinant permutations.It proves the parity of arrangement and inverse order via swapping.Thus，the relationship is deduced between inverse order of original arrangement and swapped arrangement，so as the property of swapped arrangement is easy to understand.

Arrangement；Swapping；Inverse Order；Parity

1007-1423（2016）26-0036-02DOI：10.3969/j.issn.1007-1423.2016.26.009

常加強(qiáng)（1963-），男，陜西咸陽(yáng)人，本科，講師，研究方向?yàn)樾畔⑴c計(jì)算科學(xué)

2016-07-07

2016-09-07

計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)嵌入式方向“團(tuán)隊(duì)式”人才培養(yǎng)模式創(chuàng)新實(shí)驗(yàn)區(qū)（No.26）