牛艷秋

（吉林建筑大學城建學院，吉林　長春　130111）

淺析定積分的計算和應用

牛艷秋

（吉林建筑大學城建學院，吉林長春130111）

定積分是高等數(shù)學的一個重要的基本概念，本文主要討論定積分的計算和應用，對一些應用的方法和技巧進行分析和總結，進一步討論了定積分在幾何、物理、經(jīng)濟學等各領域的廣泛應用.

微分；積分；計算；應用

微積分的兩大部分是微分和積分，兩個基本定理和牛頓—萊布尼茨公式說明了微分和積分的聯(lián)系：

第一基本定理：設函數(shù)f（x）在［a,b］上連續(xù)，x∈［a,b］，則變上限積分,對x求導，并且有

第二基本定理：設函數(shù)f（x）在［a,b］上連續(xù)，x∈［a,b］，則是f（x）的一個原函數(shù).

它告訴我們，一個連續(xù)函數(shù)f（x）的原函數(shù)不止一個，有無窮多，其中任意兩個原函數(shù)只相差一個常數(shù)，因為?（x）=是f（x）的一個原函數(shù)；所以如果F（x）是f（x）的另一個原函數(shù)，那么必有在此基礎上，推得了牛頓—萊布尼茨公式

眾所周知，想用定積分定義來求定積分的值是十分困難的，甚至不可能，而應用牛頓—萊布尼茨公式來計算定積分就會非常簡便，它把定積分的計算方法轉化為求被積函數(shù)f（x）的任意一個原函數(shù)，或者說求f（x）的不定積分，因為不定積分是f（x）的任意一個原函數(shù)的代表，所以不定積分在微積分學中也占有重要地位和作用.

1　定積分的計算方法

定積分的計算通常會采用以下三種計算方法來計算：

注意：在換元過程中，必須更換積分上、下限.（換元必換限）

2　定積分的應用

定積分的概念實質(zhì)上是從實際問題中抽象而來的，因此它在幾何、物理、及經(jīng)濟學上有廣泛的應用.

定積分的所有應用問題都具有一個固定的模式：求與某個區(qū)間［a,b］上的變量f（x）有關的總量Q.這個量Q可以是面積，體積，弧長，功等.我們用如下的步驟去確定這個量.

1°分割.用分點

a=x0＜x1＜…＜xn=b將［a,b］分為n個子區(qū)間.

2°近似.找一個連續(xù)函數(shù)f（x），使得在第i個子區(qū)間［xi-1, xi］上，Q可以用量f（ξi）（xi-xi-1），ξi∈［xi-1,xi］，（i=1,2,…n）來近似，這一步是問題的核心.

3°求和.將所有這些近似量加起來，得總量Q的近似值

4°取極限.當分割無限細密時，得出

對上面的求積過程可作如下的較為簡捷的處理.f（ξi）用f（x）代替，Δxi用dx代替，和號Σ用積分號∫代替，即用

我們已經(jīng)指出，第二步的“近似”是關鍵.我們在具有代表性的任一小區(qū)間［x,x+dx］上，以“勻代不勻”找出微分

然后從a到b積分，就可求出量Q.這種在微小的局部上進行數(shù)量分析的方法叫做微元法.

2.1定積分在幾何上的應用

在此類題中我們采用的就是微元法，前面我們對微元法進行了分析，下面我們以解題的方式，來進一步詮釋微元法的妙用：

例題求y=sinx；y=cosx；x=0以及x=2π所圍平面圖形的面積（見圖）.

2.2定積分在物理學中的應用

例題把一個帶電荷量+q的點電荷放在r軸上坐標原點O處，它產(chǎn)生一個電場，這個電場對周圍的電荷有作用力.由物理學知道，如果有一個單位正電荷放在這個電場中距離原點O為r的地方，那么電場對它的作用力的大小為（k為常數(shù)）見圖，當這個單位正電荷在電場中從r=-a處沿r軸移動到r=b（a＜b）處時，計算電場力F對它所作的功.

解在上述移動過程中，電場對這單位正電荷的作用力是變的，取r為積分變量，它的變化區(qū)間為［a,b］，設［r,r+dr］為［a,b］上的任一小區(qū)間，當單位正電荷從r移動到r+dr時，電場力對它所作的功近似于，即功元素為于是所求的功為

2.3定積分在經(jīng)濟學中的應用

例題已知生產(chǎn)某產(chǎn)品x單位時的邊際收入為R'（x）=100-2x（元/單位）,求生產(chǎn)40單位時的總收入及平均收入,并求再增加生產(chǎn)10個單位時所增加的總收入.

在生產(chǎn)40單位后再生產(chǎn)10單位所增加的總收入可由增量公式求得

〔1〕陳文燈.高等數(shù)學輔導［M］.北京：北京理工大學出版社，2011.5.

〔2〕孫淑珍.高等數(shù)學解題與分析［M］.北京：清華大學出版社；北京交通大學出版社，2010.9.

〔3〕徐兵.微積分（經(jīng)管類）［M］.北京：高教出版社，2010.8.

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