萬志龍，李恒梅，黃紅云，王 震

（1.常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院，江蘇常州 213002； 2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)材料科學(xué)與工程系，安徽合肥 230026）

一種導(dǎo)出諧振子任意次冪算符矩陣元的簡(jiǎn)捷方法

萬志龍1，2，李恒梅1，黃紅云1，王 震1

（1.常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院，江蘇常州 213002； 2.中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)材料科學(xué)與工程系，安徽合肥 230026）

引入算符厄米多項(xiàng)式并用其正規(guī)乘積展開式和反演式，推導(dǎo)出了諧振子任意次冪坐標(biāo)算符〈m|Xk|n〉和動(dòng)量算符〈m|Pk|n〉的通式，并對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行了討論，這是一個(gè)簡(jiǎn)捷而全新的推導(dǎo)方法.

諧振子；厄密多項(xiàng)式算符；矩陣元；正規(guī)乘積

在量子力學(xué)中，一維諧振子模型是處理許多復(fù)雜物理問題的基礎(chǔ)［1，2］，其研究在教學(xué)和科研中占有極其重要的地位.例如，我們?cè)谘芯繌?fù)雜體系內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)時(shí)，通常把諧振子作為各種復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的初步近似，在考慮各種非諧勢(shì)的修正后，其微擾項(xiàng)則通過計(jì)算任意次冪坐標(biāo)算符Xk或動(dòng)量算符Pk的矩陣元來得到.因此，這些算符矩陣元的計(jì)算在研究中的作用至關(guān)重要.教材上傳統(tǒng)的做法是借助厄米多項(xiàng)式的遞推關(guān)系［3］，雖然能給出低次冪的算符矩陣元，但當(dāng)冪次較高時(shí)，會(huì)涉及復(fù)雜的積分，因此要導(dǎo)出矩陣的一般通式比較困難；文獻(xiàn)［4，5］則是利用升降算符理論計(jì)算了坐標(biāo)算符Xk或動(dòng)量算符Pk的矩陣元，計(jì)算過程同樣涉及復(fù)雜的求和和積分運(yùn)算，推導(dǎo)過程不夠簡(jiǎn)捷；文獻(xiàn)［6］通過算符正規(guī)乘積形式，以及相干態(tài)和粒子數(shù)態(tài)之間的關(guān)系，得出了算符（fX+gP）k的矩陣元通式，推導(dǎo)過程需要進(jìn)行表象轉(zhuǎn)換，稍顯復(fù)雜.本文利用算符厄米多項(xiàng)式的方法，得出了算符厄密多項(xiàng)式Hn（X）和Hn（P）以及坐標(biāo)算符Xn和動(dòng)量算符Pn的正規(guī)乘積形式，無需進(jìn)行表象轉(zhuǎn)換就可以方便簡(jiǎn)捷地推導(dǎo)出諧振子的算符矩陣元.

1 算符厄密多項(xiàng)式Hn（X）和Hn（P）以及算符Xn和Pn的正規(guī)乘積形式

單變量厄米多項(xiàng)式在量子力學(xué)和數(shù)學(xué)物理中有廣泛的應(yīng)用，它既是量子諧振子的本征函數(shù)，也是分?jǐn)?shù)傅里葉變換的本征函數(shù)，因此厄米多項(xiàng)式在量子力學(xué)和量子光學(xué)中具有明確的物理意義.下面我們將引入算符厄米多項(xiàng)式方法，來推導(dǎo)兩個(gè)有用的算符恒等式.

一維線性諧振子坐標(biāo)算符X和動(dòng)量算符P與玻色算符之間的關(guān)系為［1，2］：

其中a和a+分別為玻色湮沒和產(chǎn)生算符，它們滿足對(duì)易關(guān)系［a，a+］=1，為方便起見，取?=ω=m=1.

普通厄米多項(xiàng)式的母函數(shù)［7］是將e2λx-λ2和e2tp-t2分別按λ和t的冪級(jí)數(shù)展開，即可得到含有坐標(biāo)和動(dòng)量的母函數(shù)形式：

而所謂算符厄米多項(xiàng)式方法，則是將常見的特殊函數(shù)的自變量（宗量）用量子力學(xué)的算符來代替，這里我們將普通厄米多項(xiàng)式Hn（x）和Hn（p）換為算符厄米多項(xiàng)式Hn（X）和Hn（P），可得算符厄米多項(xiàng)式的母函數(shù)：

然后把Hn（X）和Hn（P）展開為正規(guī)乘積或反正規(guī)乘積［8］，來得到新的母函數(shù)公式和同一編序規(guī)則下的新的算符恒等式.為此，先根據(jù)Baker-Hausdorff算符公式［9］：

其中，算符A、B之間的關(guān)系滿足［A，［A，B］］=［B，［A，B］］=0.我們可以得到

這里利用了式（1）和對(duì)易關(guān)系［a，a+］=1.式（5）中“：：”表示正規(guī)乘積符號(hào)，符號(hào)內(nèi)算符的排序稱為正規(guī)乘積排序.使用正規(guī)乘積排序時(shí)，需要將所有的產(chǎn)生算符a+都排列在湮沒算符a的左邊，算符在“：：”內(nèi)部是對(duì)易的［8］.

再將式（5）展開成冪級(jí)數(shù)形式

分別比較式（3）和式（6）中的右端λ和t的同次冪，可得

上式就是算符厄密多項(xiàng)式Hn（X）、Hn（P）的正規(guī)乘積形式.

接下來，為了得到算符Xn和Pn的正規(guī)乘積形式，我們先將e2λX和e2tP展開成正規(guī)乘積形式并結(jié)合式（3），可得

同時(shí)將上式中e2λX和e2tP展開成冪級(jí)數(shù)形式

分別比較式（9）中兩端λ和t的同次冪，可得

上式即為Xn和Pn的正規(guī)乘積形式，它與式（7）互為反演.通過對(duì)比，我們可以發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)算符Xn和動(dòng)量算符Pn有著相同的正規(guī)乘積形式，而且它們的反演式形式也相同，我們有理由相信Xk和Pk的矩陣元在形式上具有相互依賴和轉(zhuǎn)換關(guān)系，因此接下來將只推導(dǎo)動(dòng)量算符Pk的矩陣元，坐標(biāo)算符Xk的矩陣元可用相似方法得到.

2 諧振子Pk的矩陣元

為了計(jì)算諧振子Pk的矩陣元，引入兩個(gè)算符厄米多項(xiàng)式：

式（11）和式（12）都是算符P的表達(dá)式，故可將兩式相乘得

利用式（1）和Baker-Hausdorff算符公式，將上式右端寫成正規(guī)乘積形式：

再將式（14）兩邊微分可得

為了導(dǎo)出式（15），我們利用了二項(xiàng)式展開定理

把式（16）變形后可以得到

所以諧振子Pk的矩陣元可以寫成如下形式

將上述結(jié)果代入式（18）就可以得到動(dòng)量算符任意次冪的矩陣元：

這個(gè)結(jié)果與文獻(xiàn)［5］是一致的，若將式（20）的求和指標(biāo)進(jìn)行變量代換，可得到與文獻(xiàn)［6］一致的結(jié)果.用同樣的方法，可以得到坐標(biāo)算符任意次冪的矩陣元

對(duì)比式（20）和式（21），可得出兩種算符矩陣元之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

式（22）表明：在實(shí)際問題中，只需計(jì)算動(dòng)量或者坐標(biāo)矩陣元中的一個(gè)，另一個(gè)就可以利用上式得到.通過對(duì)結(jié)果分析，可知當(dāng)冪次k取奇數(shù)時(shí)，不存在m= n的項(xiàng)，故矩陣元對(duì)角線上的元素都為零；當(dāng)k取偶數(shù)時(shí)，矩陣元對(duì)角線上的元素都不為零；若要所求矩陣元不為零，各指標(biāo)必須滿足m+n-k=偶數(shù)，且

3 結(jié)論

本文利用算符厄米多項(xiàng)式Hn（X）和Hn（P）的正規(guī)乘積展開式以及坐標(biāo)算符Xn和動(dòng)量算符Pn的正規(guī)乘積形式，簡(jiǎn)捷明了地推導(dǎo)出了諧振子Xk和Pk的矩陣元，得到了兩種矩陣元之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了討論.由于算符在正規(guī)乘積內(nèi)可對(duì)易，因此大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過程，且無需進(jìn)行表象變換，避免了冗長(zhǎng)的求和、指標(biāo)變換，以及復(fù)雜的積分.

致謝：本文作者衷心感謝范洪義教授對(duì)本文的悉心指導(dǎo)和無私的幫助.

［1］P.A.M.Dirac.量子力學(xué)原理［M］.4版.北京：科學(xué)出版社，2010：136.

［2］曾謹(jǐn)言.量子力學(xué)（卷I）［M］.4版.北京：科學(xué)出版社，2007：81.

［3］文根旺.諧振子任意次冪坐標(biāo)算符矩陣元計(jì)算［J］.大學(xué)物理，1991，10（3）：20-21.

［4］賈祥富.用升降算符計(jì)算任意次冪坐標(biāo)算符矩陣元［J］.大學(xué)物理，1993，12（8）：18-19.

［5］賈祥富.用升降算符計(jì)算任意次冪動(dòng)量算符矩陣元［J］.大學(xué)物理，1994，13（6）：10-11.

［6］李恒梅.一種導(dǎo)出諧振子矩陣元〈n|（fX+gP）k|m〉通式的簡(jiǎn)便方法［J］.大學(xué)物理，2011，30（6）：17-19.

［7］王竹溪，郭敦仁.特殊函數(shù)論［M］.北京：科學(xué)出版社，1979：361.

［8］范洪義.量子力學(xué)表象與變換論［M］.上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1997：43.44.

［9］喀興林.高等量子力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2003：22，179-189.

A concise approach to derivation of operator matrix element of harmonic oscillator

WAN Zhi-long1，2，LI Heng-mei1，HUANG Hong-yun1，WANG Zhen1
（1.School of Mathematical and Chemical Industry，Changzhou Institute of Technology，Changzhou，Jiangsu 213002，China；2.Department of Materials science and Engineering，University of Science and Technology of China，Hefei，Anhui 230026，China）

By introducing the Hermite polynomial operator，we derive its normally ordered expansion and inversion equation.The general formula of〈m|Xk|n〉and〈m|Pk|n〉for harmonic oscillator are deduced and the result is also discussed.It is clear that this adopted method is brand-new and concise.

harmonic oscillator；Hermite polynomial operator；matrix element；normally ordered product

O 413.1

A

1000-0712（2016）05-0008-03

2015-05-13；

2015-11-03

常州工學(xué)院教研項(xiàng)目（A3-4400-15-069）資助

萬志龍（1981—），男，江蘇江陰人，常州工學(xué)院數(shù)理與化工學(xué)院講師，博士在讀.主要從事量子光學(xué)的研究和基礎(chǔ)物理的教學(xué).