常肖蕊，凌　晨

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

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張量廣義高次特征值互補問題解的一個刻劃

常肖蕊，凌晨

(杭州電子科技大學(xué)理學(xué)院，浙江 杭州 310018)

提出了一類張量廣義高次特征值互補問題與非線性規(guī)劃之間的等價關(guān)系.進一步給出了相應(yīng)非線性規(guī)劃問題的穩(wěn)定點是張量廣義高次特征值互補問題解的充要條件，最后，在特征值次數(shù)滿足一定條件下，證明了張量廣義高次特征值互補問題可被轉(zhuǎn)化為張量高次特征值互補問題.

高階張量；高次特征值互補問題；非線性規(guī)劃；穩(wěn)定點

0　引　言

矩陣特征值互補問題是一類特殊的非線性互補問題，它具有廣泛的應(yīng)用背景[1-2].張量特征值互補問題是矩陣特征值互補問題的推廣，其求解是一個困難問題.通常將張量特征值互補問題轉(zhuǎn)化為等價的非線性規(guī)劃問題來求解[3].本文提出了一類更為一般的張量廣義高次特征值互補問題，并刻劃該問題解的特征，從而說明在一定條件下求解此問題可轉(zhuǎn)化成求解一類非線性優(yōu)化問題的穩(wěn)定點.進一步，在若干特殊情形下，張量廣義高次特征值互補問題可轉(zhuǎn)化為張量高次特征值互補問題.

1　概念與問題

本文考慮以下形式的張量廣義高次特征值互補問題(簡記TGHDEiCP)，存在實數(shù)λ∈R和向量x∈Rn{0}，使得

(1)

若(λ,x)滿足式(1)，則稱λ為(A,B,C)的(k,l)次特征值，x為(A,B,C)的屬于λ的特征向量.此時，也稱(λ,x)為(A,B,C)的(k,l)次特征對.這里，m是偶數(shù)，而k和l為滿足m≥k>l≥1的自然數(shù).顯然，若m=2，則k=2和l=1，此時上述問題即為矩陣的二次特征值互補問題.若A=0，記上述問題為張量高次特征值互補問題(THDEiCP)，它與張量特征值互補問題(TEiCP)密切相關(guān)，此時稱(λ,x)為(B,C)的l次特征對.

眾所周知，張量特征值問題與多項式優(yōu)化關(guān)系密切.下面，研究TGHDEiCP的非線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化形式并以此刻劃TGHDEiCP解的特征.

2　主要結(jié)果

針對A，B,C∈Tm,n考慮非線性規(guī)劃

minf(x,y,z,w,λ)

s.t.w-A zm-1-Bym-1-C xm-1=0,

xTe=1,

x≥0,w≥0.

(2)

(3)

稱滿足式(3)的(x,y,z,w,λ)為式(2)的穩(wěn)定點，并稱(α,η,δ,β,γ)為相應(yīng)的Lagrange乘子.

(4)

(5)

(6)

下面討論TGHDEiCP與式(2)的解之間的關(guān)系.

定理1設(shè)A, B, C∈Tm,n.則(A, B, C)有(k,l)次特征對，當(dāng)且僅當(dāng)式(2)有目標(biāo)函數(shù)值為0的全局最優(yōu)解.

上述定理表明，求解TGHDEiCP可等價轉(zhuǎn)化成求解非線性規(guī)劃的全局最優(yōu)解.然而，求解非線性規(guī)劃的全局最優(yōu)解仍是一件困難任務(wù)，下面的定理進一步建立了全局最優(yōu)解與穩(wěn)定點之間的關(guān)系.

(7)

張量特征值互補問題和通常的張量高次特征值互補問題都是特殊的互補問題，利用投影算法和交替方向算法可分別有效求得它們的解[3,7].下面討論TGHDEiCP與THDEiCP的關(guān)系.

即

(8)

由式(8)知

(9)

進一步由式(9)知

(10)

從而由式(10)中第2式知

(11)

3　結(jié)束語

本文首先研究了一類張量廣義高次特征值互補問題的非線性規(guī)劃轉(zhuǎn)化形式，將所考慮的張量廣義高次特征值互補問題的求解轉(zhuǎn)化為相應(yīng)多項式優(yōu)化問題的全局最優(yōu)解的求解.進一步，刻劃了優(yōu)化問題的穩(wěn)定點是張量廣義高次特征值互補問題解的充要條件.同時，在特征值次數(shù)滿足k=2l的情形下，本文證明了張量廣義高次特征值互補問題可以被轉(zhuǎn)化為相對較易求解的張量高次特征值互補問題.這些結(jié)果均為以后設(shè)計求解張量廣義高次特征值互補問題算法提供了新途徑.

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A Characterization of Solutions of Tensor Generalized Higher-degree Eigenvalue Complementarity Problem

CHANG Xiaorui, LING Chen

(SchoolofScience,HangzhouDianziUniversity,HangzhouZhejiang310018,China)

This paper proposes an equivalence relation between the considered tensor generalized higher-degree eigenvalue complementarity problem and nonlinear programming problems. Furthermore, a necessary and sufficient condition for the stationary point of the corresponding nonlinear programming problem being the solution of the tensor generalized higher-degree eigenvalue complementarity problem is given. Finally, under the degree of eigenvalues satisfies certain conditions, it is proved that the tensor generalized higher-degree eigenvalue complementarity problem can be transformed into the tensor higher-degree eigenvalue complementary problem.

higher-order tensor; higher-degree eigenvalue complementarity problem; nonlinear programming; stationary point

10.13954/j.cnki.hdu.2016.05.017

2016-03-11

國家自然科學(xué)基金資助項目(11571087)

常肖蕊(1991-)，女，河南濮陽人，碩士研究生，非線性優(yōu)化.通信作者：凌晨教授，E-mail:macling@hdu.edu.cn.

O221.2

A

1001-9146(2016)05-0087-05