年巧玲,張龍,李寶雄

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院,新疆烏魯木齊830046)

0 引言

在自然界中,斑塊環(huán)境下種群的擴(kuò)散現(xiàn)象是非常流行的[1].由于環(huán)境的改變和人類的活動(dòng),為了選擇更適宜的生存環(huán)境,種群將擴(kuò)散或遷移到其它斑塊.通過建立數(shù)學(xué)模型,種群的擴(kuò)散問題能夠被很好的解決,因此,擴(kuò)散模型被許多專家和學(xué)者廣泛研究.起初,人們認(rèn)為擴(kuò)散現(xiàn)象時(shí)時(shí)刻刻發(fā)生,繼而專家們[2,3]建立了連續(xù)擴(kuò)散模型,使得世人對(duì)擴(kuò)散現(xiàn)象有了初步的了解.后來,人們發(fā)現(xiàn)連續(xù)擴(kuò)散模型不能很好地描述一些種群特定生物現(xiàn)象,基于對(duì)上述討論的改進(jìn)以及脈沖微分方程的發(fā)展,專家們[4,5]研究了脈沖擴(kuò)散模型.

眾所周知,上述模型都是確定的,他們的缺陷是沒有考慮外部因素對(duì)種群性質(zhì)的影響,基于環(huán)境噪音,出生率,環(huán)境容納量,競(jìng)爭(zhēng)系數(shù)以及其它參數(shù),專家們[6,7]研究了隨機(jī)擴(kuò)散模型.當(dāng)前,對(duì)確定模型的內(nèi)稟增長(zhǎng)率和密度制約系數(shù)進(jìn)行白噪聲擾動(dòng)的文章已經(jīng)很多,但對(duì)種群擴(kuò)散率進(jìn)行擾動(dòng)的文章卻幾乎不見,再考慮到真正生態(tài)環(huán)境中種群擴(kuò)散現(xiàn)象的間隙性(即不是連續(xù)的,也不是瞬間完成的),對(duì)人們來說,建立具有白噪聲擾動(dòng)的間歇性擴(kuò)散模型是合理的.

基于上述討論,在本文,對(duì)擴(kuò)散率進(jìn)行隨機(jī)擾動(dòng),即Dij(t)能夠被代替

這里xi(t)代表種群在第i個(gè)斑塊密度,ai(t)和(t)分別代表在t∈(τ2k,τ2k+1]和t∈(τ2k+1,τ2k+2]時(shí)種群x在第i個(gè)斑塊的內(nèi)稟增長(zhǎng)率,bi(t)和(t)分別代表在t∈(τ2k,τ2k+1]和t∈(τ2k+1,τ2k+2]時(shí)種群x在第i個(gè)斑塊的密度制約系數(shù),Dij(t)代表種群x從第j個(gè)斑塊到第i個(gè)斑塊的擴(kuò)散系數(shù),dik+1和分別代表在時(shí)刻τ2k+1和τ2k+2時(shí)種群x的剩余率,τk為一個(gè)滿足

1 預(yù)備知識(shí)

貫穿全文,如果v(t)是t∈R+上連續(xù)函數(shù),定義

x2維列向量.

(a,b)T向量(a,b)的轉(zhuǎn)置.

二維正半平面,

a∧ba與b的最小值.

∞正無窮.

?空集.

R+正實(shí)數(shù)空間.

R 實(shí)數(shù)空間.

設(shè)(?,F,{Ft}t≥0,P)為一個(gè)完備的概率空間,并且相應(yīng)的濾子滿足通常條件(它是右連續(xù)且F0包含所有的P零集),B(t)為此概率空間上的標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng).定義x(t)=(x1(t),x2(t))T,并且

定義1[8]如果對(duì)任何的ε∈(0,1),存在一個(gè)常數(shù)H=H?,使得系統(tǒng)(2)具有初值的任何正解x(t)=(x1(t),x2(t))T滿足

那么,稱系統(tǒng)(2)隨機(jī)最終有界.

為了討論方便,系統(tǒng)(2)能夠被寫為如下形式：

在這篇文章中,對(duì)系統(tǒng)(4),可以做如下假設(shè):

(H1)上為連續(xù)有界函數(shù).

(H2)

(H3)系統(tǒng)(4)的剩余率dik+1,(i=1,2,…)滿足

(ii)αk+1=

2 主要結(jié)果

證明因?yàn)橄到y(tǒng)(4)的系數(shù)滿足局部Lipschitz條件,所以對(duì)任意給定的初始條件存在唯一的最大局部解x(t) 定義在t∈[)上,其中ρe為爆炸時(shí)刻.當(dāng)t∈(τ0,τ1],系統(tǒng)(4)的解xi(t)>0,(i=1,2).當(dāng)t∈(τ1,τ2],其初值xi()=di1xi(τ1)>0,如果xi(t)>0(i=1,2),滿足系統(tǒng)(4)的解為正值.若出現(xiàn)xi(t)=0,那么對(duì)j=i

方程(6)的解xj(t)>0,故很容易可以得到

故系統(tǒng)(4)的解在t∈(τk,τk+1]上為正值.由歸納法得系統(tǒng)(4)的解在t∈[)上為正值.為了證明此解的全局性,只需證明ρe=∞a.s即可.為此,令k0>0充分大,使得所有意整數(shù)k≥k0,定義停時(shí)

總是約定infφ=∞,顯然ρk關(guān)于k是單調(diào)增加的,現(xiàn)在只需證明ρ∞=∞.若此結(jié)論不真,則存在T>0和ε∈(0,1)使得

于是存在整數(shù)k1≥k0滿足

定義函數(shù)V:R2+→R+如下

《普通高中生物學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》（以下簡(jiǎn)稱新課標(biāo)）的基本理念是：以“生命觀念、科學(xué)思維、科學(xué)探究和社會(huì)責(zé)任”學(xué)科核心素養(yǎng)為宗旨，內(nèi)容聚焦大概念，教學(xué)過程重實(shí)踐，關(guān)注學(xué)生主動(dòng)參與，關(guān)注學(xué)生實(shí)踐，動(dòng)手結(jié)合動(dòng)腦。教師圍繞著生物學(xué)大概念來組織并開展教學(xué)活動(dòng)，通過設(shè)置合理的教學(xué)情境，基于學(xué)生動(dòng)手活動(dòng)或?qū)Y料的分析及探究，將有助于學(xué)生對(duì)知識(shí)的深入理解和遷移應(yīng)用，有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)生物學(xué)概念的建立、和應(yīng)用理解。

對(duì)任何k≥k1,存在一個(gè)ik使得由公式,

這里L(fēng)V是一個(gè)的算子,被定義為

由假設(shè)(H1),(H2),能夠得到

將(14)帶入(12)得

對(duì)任何T>0,對(duì)上式兩邊從積分取期望

由假設(shè)(H3)

令?k={ρk≤T},則由(10)推出P(?k)≥?,注意到對(duì)任意ω∈?k,xi(ρk,ω)≥k.因此

令k→∞,導(dǎo)出矛盾

定理2基于假設(shè)(H1),(H2),(H3),存在常數(shù)K,使得對(duì)任何初值系統(tǒng)(4)的解x(t)=(x1(t),x2(t))T滿足

證明由定理1,系統(tǒng)(4)的任何解x(t)=(x1(t),x2(t))T在t∈R+上仍為正值.定義一個(gè)函數(shù)V:+

對(duì)任何t∈R+,存在一個(gè)正整數(shù)k∈z+使得t∈(τk,τk+1],由公式

這里L(fēng)V是一個(gè)的算子,被定義為

由假設(shè)(H1),(H2)

其中

因此,將(27)帶入(25)得

對(duì)上式兩邊從積分取期望

由假設(shè)(H3)

將(32)帶入(31)得

由不等式

上式兩邊取上極限

因此