鄭小雨

（福建省寧德市民族中學(xué)）

多角度分析，“最”能解決二次函數(shù)難題

鄭小雨

（福建省寧德市民族中學(xué)）

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點與難點，是各類考卷中的必考題型。身為教師，通過思路清晰、綜合有效的教學(xué)使學(xué)生掌握這部分知識內(nèi)容是教師的重要使命。根據(jù)多年的教學(xué)經(jīng)驗，淺談幾點有效解決二次函數(shù)求最值問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效果的教學(xué)策略，具有一定的參考意義。

初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；多角度；區(qū)間

二次函數(shù)求最值類的問題千變?nèi)f化，然而只要掌握一定的技巧，學(xué)會多角度分析，定能找到解題思路，以不變應(yīng)萬變，順利解決難題。本文以二次函數(shù)求最值問題的題型為基礎(chǔ)，進行了解題模式的探討。

一、確定區(qū)間，結(jié)合圖象性質(zhì)

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的有力武器，在解決二次函數(shù)求最值的問題中也不例外，通過結(jié)合圖象性質(zhì)，快速準(zhǔn)確地確定區(qū)間，開辟出解題思路。

1.定軸定區(qū)間，直接判斷

當(dāng)二次函數(shù)所給的函數(shù)區(qū)間固定，對稱軸固定時，我們可以通過做出函數(shù)圖形，清晰直觀地判斷和計算出函數(shù)的最值。這類題型比較簡單，所以我在教學(xué)中，主要教會大家準(zhǔn)確地做出函數(shù)圖形，從而解決問題。

比如，對于定軸定區(qū)間函數(shù)求最值問題：求函數(shù)y=-x2+4x-3在區(qū)間［1，4］的最大值及最小值。首先我們分析二次函數(shù)的表達式，二次項系數(shù)小于零，說明函數(shù)圖象開口向下，函數(shù)的對稱軸為x==2。然后我們根據(jù)區(qū)間范圍，函數(shù)的對稱軸，開口方向可以做出該二次函數(shù)的草圖。通過觀察這一函數(shù)的圖象，我們可以得出二次函數(shù)的最大值應(yīng)在對稱軸處取得，二次函數(shù)的最小值在端點x=4處取得，通過將x軸的坐標(biāo)軸代入函數(shù)表達式，即可求出相應(yīng)的最大值與最小值，從而得解。

圖1

2.定軸動區(qū)間，相對位置

定軸動區(qū)間類的二次函數(shù)其對稱軸確定，然而閉區(qū)間是不確定的。這類問題考查的是對稱軸與函數(shù)區(qū)間的相對位置關(guān)系，當(dāng)函數(shù)區(qū)間發(fā)生變化時，隨著與對稱軸的相對位置發(fā)生變化，函數(shù)的最值也可能會發(fā)生變化，所以學(xué)生要掌握分類討論的思想，討論不同情況下的函數(shù)最值。

例如，求函數(shù)y=x2+2x-1在區(qū)間［t，t+2］上的最大值與最小值。這道題的類型屬于定軸動區(qū)間類問題，首先我們確定函數(shù)的對稱軸為x=-1。隨著t的取值不同，我們發(fā)現(xiàn)可以將這一問題分為三種情況進行討論，一是當(dāng)對稱軸位于區(qū)間［t，t+2］的函數(shù)右側(cè)時，二是當(dāng)對稱軸位于區(qū)間［t，t+2］的函數(shù)內(nèi)時，三是當(dāng)對稱軸位于區(qū)間［t，t+2］的函數(shù)的左側(cè)時，進而可以將t的值也劃分為三個范圍進行討論。在第一種情況下，t+2＜-1，t＜-3，通過觀察二次函數(shù)y= x2+2x-1在［-∞，+∞］上的圖象可以發(fā)現(xiàn)，位于對稱軸左側(cè)的函數(shù)圖象是單調(diào)遞減的，因此t＜-3時，函數(shù)在x=t處取得最大值，為t2+2t-1，在x=t+2處取得最小值，為（t+2）2+2（t+2）-1。在第二種情況下，-3≤t≤-1，由于對稱軸在區(qū)間范圍內(nèi)，對稱軸處函數(shù)取得最小值，為-2。然后通過比較函數(shù)區(qū)間端點與對稱軸的距離大小可以取得函數(shù)的最大值，因此第二種情況進而再分兩小類問題討論，當(dāng)-3≤t＜-2時，函數(shù)最大值在x=t處取得，為t2+2t-1，當(dāng)-2≤t≤-3時，函數(shù)最大值在x=t+2處取得，為（t+2）2+2（t+2）-1。在第三種情況下，同樣觀察如圖2所示圖象，我們能夠發(fā)現(xiàn)區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)圖象在對稱軸右側(cè)時，函數(shù)是單調(diào)遞增的。因此，t＞-3時，二次函數(shù)在x=t處取得最小值t2+2t-1，為在x=t+2處取得最大值（t+2）2+2（t+2）-1。

圖2

講完例題后我向?qū)W生強調(diào)了這類題型的易錯點。定軸定區(qū)間類的二次函數(shù)求最值問題相對來說是最簡單的求最值問題，然而學(xué)生因為粗心大意也會發(fā)生錯誤，比如畫錯開口方向，大家一定要記住二次項系數(shù)大于零開口向上，二次項系數(shù)小于零開口向下。然后端點處和對稱軸處的函數(shù)值只要將對應(yīng)的x值代入函數(shù)表達式，便可準(zhǔn)確地求出，進而做出函數(shù)圖象。

在這部分知識的教學(xué)中，我通過強調(diào)做函數(shù)圖象的細節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在做題時通過直接地觀察，準(zhǔn)確地得到最值，提高了課堂的效率。

在上述例題的教學(xué)中，我通過引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論，將問題分為各種情況然后求出最值，思路清晰，條理明確，能夠完整準(zhǔn)確地確定該類二次函數(shù)的最值，取得了很好的教學(xué)效果。

3.定區(qū)間動軸，考慮變量

對于定區(qū)間動軸類的二次函數(shù)問題，由于區(qū)間固定而對稱軸不確定，因此函數(shù)的最值也會隨著對稱軸與區(qū)間的相對位置變化而發(fā)生變化，因此解決這類問題同樣需要進行分類討論，與定軸動區(qū)間類最值問題相似。

例如，求二次函數(shù)y=x2-ax+1在區(qū)間［0，2］上的最小值。我引導(dǎo)學(xué)生依照定軸動區(qū)間問題的求解思路，將該問題分成三種情況進行討論。通過計算，可得到二次函數(shù)對稱軸為x=a，當(dāng)區(qū)間范2

圍內(nèi)的函數(shù)位于對稱軸左側(cè)時，即a＞4時，函數(shù)在區(qū)間［0，2］內(nèi)是單調(diào)遞減的，因此二次函數(shù)在x=2處取得最小值，為5-2a。當(dāng)對稱軸包含在區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)時，即0≤a≤4，由于該二次函數(shù)開口向上，所以在對稱軸處取得最小值，為a2-a2+1。分析到這一步的42時候我向?qū)W生強調(diào)了求最大值的做法，這道題僅讓求最小值，而恰好對稱軸處為最小值，若這道題還要求求出最大值的話，學(xué)生也應(yīng)按照定軸動區(qū)間類問題中這種情況下的解題思路再次進行分類討論。當(dāng)區(qū)間范圍內(nèi)的函數(shù)位于對稱軸右側(cè)時，即a＞0時，函數(shù)在區(qū)間［0，2］內(nèi)是單調(diào)遞增的，因此，二次函數(shù)在x=0處求得最小值1。

圖3

在上述問題的教學(xué)中，我通過引導(dǎo)學(xué)生利用定軸動區(qū)間類最值問題的求解技巧與思路，順利地探求出動軸定區(qū)間類問題的求解方法，通過這樣類比與分類的討論思想，讓學(xué)生成功地理解與學(xué)會了這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識，高效地完成了教學(xué)目標(biāo)。

二次函數(shù)的對稱軸位置、函數(shù)區(qū)間都會對二次函數(shù)的最值造成影響，學(xué)生在解題時，一定要看清題目對對稱軸和區(qū)間的要求，多角度分析問題，采取正確的解題策略。

二、含有系數(shù)，字母視為常數(shù)

有時求最值問題所給的二次函數(shù)的系數(shù)是用字母表示的，對于這類問題的求解方法是將字母視為常數(shù)，并根據(jù)字母所表示的系數(shù)的位置不同，可能需要進行分類討論。

二次函數(shù)的表達式可寫作y=ax2+bx+c，當(dāng)所給函數(shù)的常數(shù)項用字母表示時，自然將其視為常數(shù)處理。例如，求二次函數(shù)y=x2+ 2x+a在區(qū)間［0，1］上的最大值。二次函數(shù)在［0，1］上單調(diào)遞增，x=1時函數(shù)的最大值為3+a。當(dāng)所給函數(shù)的一次項系數(shù)用字母表示時，這類問題就是上述所講的動軸定區(qū)間類問題，將字母視為常數(shù)，再結(jié)合自變量的范圍，按照分類討論的思想進行求解。當(dāng)所給函數(shù)的二次項系數(shù)用字母表示時，例如，求二次函數(shù)y=ax2+4x-3（a≠0）在區(qū)間［1，3］內(nèi)的最大值。對這一例題進行分析，a的大小首先影響的是開口大小，因此首先分為a＞0和a＜0這兩大類進行討論。當(dāng)a＜0時，對稱軸x=-4/2a＞0，轉(zhuǎn)化為動軸定區(qū)間問題。當(dāng)0＜-2/a＜1即-2＜a＜0時，二次函數(shù)在［1，3］內(nèi)單調(diào)遞減，x=1時取得函數(shù)最大值為a+1；當(dāng)1≤-2/a≤3即-2/3≤a≤-2時，函數(shù)在對稱軸處取得最大值，為-4/a-3；當(dāng)-2/a＞3即a＜-2/3時，函數(shù)在［1，3］內(nèi)單調(diào)遞增，x=3處求得最大值為9a+9。當(dāng)a＞0時，對稱軸x=-＜0，函數(shù)在［1，3］內(nèi)單調(diào)遞增，最大值在x=3處取得，為9a+9，從而得出了變量a在不同取值范圍內(nèi)二次函數(shù)的最大值情況。

在上述教學(xué)中，我通過教授學(xué)生將含有字母的系數(shù)視為常數(shù)的思想，引導(dǎo)學(xué)生攻克了含有參數(shù)的二次函數(shù)求最值問題，加深了學(xué)生對二次函數(shù)的理解與運用。

三、實際應(yīng)用，正確列函數(shù)式

二次函數(shù)在實際生產(chǎn)生活中也有很廣泛的應(yīng)用，通過利用二次函數(shù)求最值的方法，我們能夠解決最優(yōu)化問題。對于二次函數(shù)在日常生活中的應(yīng)用問題進行分析，正確列出函數(shù)表達式是非常關(guān)鍵的步驟。

例如，某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺。為了響應(yīng)國家“家電下鄉(xiāng)”政策，商場決定降價。冰箱售價每降低50元，平均每天能多售出4臺。那么每臺冰箱降價多少元時，商場每天銷售這種冰箱的利潤最高？最高利潤為多少？求解這道題，我們首先應(yīng)當(dāng)確定冰箱的利潤y與每臺冰箱降價x的函數(shù)表達式，y=（2400-x-2000）（×4+8）=-x2+24x+ 3200。我們可以做出該函數(shù)的圖象，對稱軸為x=150。

然后結(jié)合自變量x的取值范圍，我們可以求得二次函數(shù)在對稱軸處取得最大值，也就是說，當(dāng)冰箱降價150元時，商場的利潤最大為5000元。然后我對二次函數(shù)應(yīng)用題進行了總結(jié)，這類問題學(xué)生首先應(yīng)該讀清題意，確定正確的函數(shù)表達式，然后應(yīng)用定軸定區(qū)間二次函數(shù)求最值的求解方法，即可求得應(yīng)用題中的最優(yōu)結(jié)果。

圖4

在上述教學(xué)中，我對如何將實際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)二次函數(shù)極值問題的處理方法進行了講解，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會有效地結(jié)合函數(shù)圖象進行解題，應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)，成功地求解出應(yīng)用題的正確答案，進一步加深了學(xué)生對二次函數(shù)知識的掌握。

多角度分析是促進思維、加快解題速度的一種好方法。綜上所述，學(xué)生只要切實掌握確定函數(shù)區(qū)間的技巧，把握住含有系數(shù)的二次函數(shù)與二次函數(shù)的實際應(yīng)用解法，就能成功地克服部分二次函數(shù)難題?？傊?，從多角度分析和解決問題，有助于迅速找到解題思路，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

［1］徐薇.淺談初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)最值問題的求解［J］.數(shù)理化解題研究：初中版，2015（13）：26.

［2］許艷.二次函數(shù)中最值問題的求解［J］.中學(xué)生數(shù)學(xué)，2015（6）：13-14.

［3］楊寒英.二次函數(shù)最值問題及其解決方法［J］.中學(xué)教學(xué)參考，2014（32）：50.

·編輯李建軍