宣子岳，楊桂元*，張素潔，張慶茹

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 1.統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，2.金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

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太陽影子定位研究

宣子岳1，楊桂元*1，張素潔1，張慶茹2

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué) 1.統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，2.金融學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

針對(duì)太陽影子定位問題，使用最小二乘法、多項(xiàng)式聯(lián)立、殘差分析等方法，分別構(gòu)建非線性回歸、求解緯度等模型，應(yīng)用MATLAB軟件完成了太陽影子定位經(jīng)緯度的公式推導(dǎo)與求解，并結(jié)合實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)踐。此方法簡便直觀，實(shí)用性較強(qiáng)，可應(yīng)用于破案?jìng)刹榈痊F(xiàn)實(shí)案例中。

太陽影子定位；最小二乘法；殘差分析；MATLAB

太陽影子定位技術(shù)在地理學(xué)、建筑學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域有著重要作用，如何準(zhǔn)確地獲取太陽影子的位置顯得十分重要。用來描述太陽影子的模型通常是以地平坐標(biāo)系或赤道坐標(biāo)系為基礎(chǔ)建立的，在這兩種模型求解過程中需要對(duì)日地運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)有著深刻的認(rèn)識(shí)，單獨(dú)采用某一種模型求解太陽影子位置十分繁瑣。本文從日地運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中抽象出一種數(shù)學(xué)模型，結(jié)合以地平坐標(biāo)系和赤道坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的太陽影子定位模型，通過簡單的演算，最終推導(dǎo)出影子所在經(jīng)緯度的公式。

1　模型假設(shè)

為了便于解決問題，提出以下假設(shè)：(1)地球是一個(gè)表面光滑的正球體；(2)到達(dá)地球的太陽光線是一束平行的直線；(3)在算出的實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)不實(shí)行夏令時(shí)；(4)不考慮太陽光線穿過大氣層時(shí)的折射。

2　已知日期的太陽影子定位模型

2.1研究思路

已知測(cè)量日期為2015年4月18日，某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，求解直桿所在的地理位置。首先需要明確太陽赤緯、太陽時(shí)角等相關(guān)概念和公式。

(1)太陽赤緯[1]是太陽和地球中心的連線與地球赤道平面之間的夾角，又稱赤緯角，其周期是年，最大為+23°26′，最小為-23°26′。太陽赤緯求解公式：

sinγ=0.397 95cos[0.985 63(n-173)]

(1)

其中n表示自每年1月1日至當(dāng)天日期的天數(shù)。

(2)太陽時(shí)角：單位時(shí)間地球自轉(zhuǎn)的角度w，有兩種定義。一種是已知當(dāng)?shù)貢r(shí)間t(24小時(shí)制)，規(guī)定正午時(shí)角為0，上午為負(fù)，下午為正，

w=(t-12)×15°

(2)

另一種是當(dāng)?shù)貢r(shí)間未知，利用格林尼治標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間(零時(shí)區(qū)時(shí)間)T和所在地的經(jīng)度a求解。東經(jīng)為正值，西經(jīng)為負(fù)值，

w=15°×T+a

(3)

(3)太陽高度角[2]指某地作垂直于地心的地表切線與該地太陽光線的夾角(如圖1所示)，其求解公式：

sinβ=sinγsinb+cosγcosbcosw

(4)

其中b表示緯度。

圖1　高度角和方位角

(4)太陽方位角[3]就是太陽所在的方位，指太陽光線在地平面上的投影與當(dāng)?shù)亟?jīng)線的夾角，也可看作是豎立在地面上的直桿在陽光下的陰影與正南方的夾角(如圖1所示)。太陽方位角一般是以目標(biāo)物的正南方向?yàn)槠鹗挤较?，以太陽光的入射方向?yàn)榻K止方向，按順時(shí)針方向所測(cè)量的角度，其求解公式為

(5)

其中x，y分別表示直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)x軸和y軸對(duì)應(yīng)的值，其取值范圍是0～360°。

(5)影子長度：

(6)

其中h表示直桿高度。

使用最小二乘法構(gòu)建非線性回歸模型，曲線最低點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的時(shí)間即為當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)間，通過(3)式求解出當(dāng)?shù)亟?jīng)度。聯(lián)立(1)～(6)式，運(yùn)用MATLAB進(jìn)行求解，得到當(dāng)?shù)氐木暥萚4]。

太陽赤緯、太陽時(shí)角、太陽方位角、太陽高度角、直桿高度等5個(gè)參數(shù)的關(guān)系如圖2所示。

圖2　太陽影子定位模型

2.2數(shù)據(jù)的處理

(1)影長的處理

因?yàn)樗o數(shù)據(jù)的時(shí)間是北京時(shí)間，所以依照模型算法的需要，將時(shí)間轉(zhuǎn)換成標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，就是將北京時(shí)間減去8h，并且為了方便計(jì)算，將所有時(shí)間轉(zhuǎn)化為以小時(shí)為單位。根據(jù)所給影子頂點(diǎn)坐標(biāo)的數(shù)據(jù)由勾股定理得到各個(gè)時(shí)刻的影子長度，如表1所示。

表1　已知日期的數(shù)據(jù)處理

已知一組(二維)數(shù)組，即平面上n個(gè)點(diǎn)(xi,yi)，(i=1,2,…,n)，尋求一個(gè)曲線函數(shù)f(xi,ξ)，使函數(shù)在最小二乘法準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，曲線擬合的最好。最小二乘法可使n個(gè)點(diǎn)與曲線的距離i的平方和最小，即滿足

(2)R2檢驗(yàn)

將擬合出的函數(shù)，根據(jù)公式：

計(jì)算可決系數(shù)，比較擬合效果。R2越接近于1，表明擬合效果越好[6]。

根據(jù)擬合出的函數(shù)結(jié)果，求出函數(shù)f(xi,ξ)的最小值，將最小值所對(duì)應(yīng)的時(shí)刻記為Tmin，此時(shí)的時(shí)間即為當(dāng)?shù)卣鐣r(shí)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間。由此可得當(dāng)?shù)亟?jīng)度為a=15×(12-Tmin)，再加上其余已知條件，結(jié)合模型中的(1)～(6)式，帶入?yún)?shù)即可得到當(dāng)?shù)氐木暥取?/p>

2.3結(jié)果分析

(1)一天當(dāng)中靜態(tài)物體影子軌跡近似一個(gè)二次曲線，所以利用最小二乘法擬合出影子軌跡的二次曲線，得到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間與影長的二次關(guān)系式：

y=0.148 9x2-1.369 4x+3.642 2

(2)R2檢驗(yàn)結(jié)果如圖3所示。

圖3　R2檢驗(yàn)結(jié)果

由于可決系數(shù)R2值為1，說明擬合效果很好。計(jì)算出這條開口向上的拋物線的最低點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為4.598 388，可得當(dāng)?shù)亟?jīng)度：

a=15×(12-4598 388)=111.024 18

并求得緯度為北緯15.552度。

3　日期未知的太陽影子定位模型

3.1研究思路

此時(shí)直桿影子的測(cè)量日期未知，要求根據(jù)某固定直桿在水平地面上的太陽影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型確定直桿所處的地點(diǎn)和日期。首先根據(jù)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)可以擬合出直桿當(dāng)天的影子變化函數(shù)，由影長最低點(diǎn)求出當(dāng)?shù)亟?jīng)度；接著由于日期未知，所以假設(shè)一年中的365天每天都可能是當(dāng)時(shí)的拍攝日期，把365天逐個(gè)帶入到求解緯度的方程式中求得365個(gè)可能結(jié)果，然后進(jìn)行殘差分析[7]，殘差最小的即為所求結(jié)果；最后利用MATLAB軟件執(zhí)行循環(huán)語句，求得日期。

3.2數(shù)據(jù)處理

首先，將已知數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得到表2。

表2　日期未知的數(shù)據(jù)處理

將處理后的數(shù)據(jù)用最小二乘法的準(zhǔn)則進(jìn)行非線性擬合[8]，得到一個(gè)影長與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式f(T,l)，根據(jù)函數(shù)關(guān)系求出函數(shù)取最小值的點(diǎn)，得到最低點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，求出當(dāng)?shù)亟?jīng)度為a=15×(12-Tmin)。聯(lián)立(1)～(6)式，帶入?yún)?shù)即可得到當(dāng)?shù)氐木暥取?/p>

由以上過程可依次算出每個(gè)日期與所對(duì)應(yīng)緯度的一個(gè)n維數(shù)[n,bi](i=1,2,…,n)(0

3.3結(jié)果分析

(1)一天當(dāng)中靜態(tài)物體影子軌跡近似一個(gè)二次曲線，所以利用最小二乘法擬合出影子軌跡的二次曲線，得到標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間與影長的二次關(guān)系式：

y=0.098 1x2-1.414 7x+5.720 5

(2)R2檢驗(yàn)結(jié)果

圖4　檢驗(yàn)結(jié)果

由于可決系數(shù)R2值均為1，說明擬合效果很好。計(jì)算出這條開口向上的拋物線的最低點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為7.210 499 49，可得當(dāng)?shù)亟?jīng)度：

a=15×(12-7.210 499 49)=71.842 507 65

4　結(jié)束語

本文提出的太陽影子定位模型抽象精簡，通過簡單的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，建立出太陽影子定位的相關(guān)模型，并在建筑、破案?jìng)刹榈戎T多領(lǐng)域有所運(yùn)用。此外，該建模方法也適合地月運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)和其他恒星相對(duì)于地球的影子定位模型，通用性較強(qiáng)。模型中也存在一些誤差，如求經(jīng)緯度的模型中假設(shè)實(shí)驗(yàn)地點(diǎn)不實(shí)行夏令時(shí)，但在實(shí)際中，到了夏季為了節(jié)約用電，很多國家或地區(qū)會(huì)實(shí)行夏令時(shí)，即到了夏季4月中旬左右，人為將時(shí)間提前一小時(shí)，若考慮夏令時(shí)，則需將經(jīng)度西調(diào)15度。

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Research on the Sun Shadow Positioning

XUAN Zi-yue1, YANG Gui-yuan1, ZHANG Su-jie1, ZHANG Qing-ru2

(1. School of Finance；2. School of Statistics and Applied Mathematics,Anhui University of Finance and Economics, Bengbu,Anhui 233030，China)

To solve the problem of suns shadow positioning, using the least square method and polynomial simultaneous, we build nonlinear regression model and the solving latitude model. With the help of MATLAB, we derive the sun's shadow latitude and longitude of the formula, obtain the solution, and combine with the actual data in practice. This method is simple and intuitive, practical, and can be applied to solve crimes in real case investigation, etc.

the sun shadow positioning；the least square method；residual analysis；matlab

2015-11-03

國家自然科學(xué)項(xiàng)目(11301001)和安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)科研項(xiàng)目(acjyzd201429)。

宣子岳，女，安徽滁州人，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院學(xué)生，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)。E-mail:2932893704@qq.com

楊桂元，男，安徽蕭縣人，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院教授，數(shù)量經(jīng)濟(jì)研究所所長，研究方向?yàn)閿?shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融工程。E-mail:yangguiyuan57@163.com

時(shí)間：2016-8-17 11:31

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160817.1131.007.html

O185.1；P128.13

A

1007-4260(2016)03-0021-04

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.03.007