劉 慶 慶

(安徽大學 數(shù)學科學學院，安徽 合肥 230601)

?

FGM相依結(jié)構(gòu)下隨機變量關(guān)于最值的次指數(shù)性

劉 慶 慶

(安徽大學 數(shù)學科學學院，安徽 合肥 230601)

文章主要研究FGM(Farlie-Gumbel-Morgenstern)相依結(jié)構(gòu)下兩個次指數(shù)隨機變量的最小值、最大值關(guān)于次指數(shù)族的封閉性。證明了FGM相依結(jié)構(gòu)下兩個次指數(shù)隨機變量的最小值總是次指數(shù)的，得到了兩個次指數(shù)隨機變量的最大值也是次指數(shù)的充分必要條件，推廣了文獻[9]的結(jié)果。

FGM相依結(jié)構(gòu)；次指數(shù)分布；最小值；最大值

近年來，有關(guān)重尾分布的性質(zhì)及其在風險管理中的應用研究受到廣泛的關(guān)注。統(tǒng)計學、排隊論等諸多領域次指數(shù)分布[1]作為一類重要的重尾分布，不僅有非常重要的理論意義，還有迫切的實際應用價值。對于次指數(shù)分布來說，常見的有Weibull分布以及Lognormal分布，其中Weibull分布是可靠性分析及壽命檢驗的理論基礎，Lognormal分布常為股票投資者分析判斷市場行情并做出預測提供重要依據(jù)。關(guān)于次指數(shù)分布在運算下關(guān)于次指數(shù)族的封閉性研究由來已久，Embrechts等[2]證明了兩個獨立的次指數(shù)分布的卷積封閉性；Cline等[3]給出了兩個獨立的次指數(shù)分布乘積關(guān)于次指數(shù)分布族的封閉性若干充分條件，此結(jié)論隨后得到進一步推廣[4-6]；Yakymiv利用次指數(shù)分布的若干理論結(jié)果[7-8]，證明了兩個獨立的次指數(shù)分布在最小值運算下仍然是次指數(shù)的，并給出了兩個獨立的次指數(shù)分布在最大值運算下關(guān)于次指數(shù)族封閉的充要條件。

然而，以上關(guān)于次指數(shù)分布的結(jié)論大都集中在獨立性假設下，雖然這一假設在數(shù)學處理上會帶來極大的方便，但它卻與客觀實際嚴重不符，同時也會影響到結(jié)果的適用性。因此， 近年來在各類相依結(jié)構(gòu)下研究次指數(shù)分布的性質(zhì)成為熱點。本文在前人工作的基礎上，假定兩個次指數(shù)分布服從FGM(Farlie-Gumbel-Morgenstern)相依結(jié)構(gòu)[9]，分別研究這兩個次指數(shù)分布在最小值、最大值運算下關(guān)于次指數(shù)族的封閉性，所得結(jié)果推廣了文獻[9]的結(jié)論。

下面先介紹一些相關(guān)定義、引理等知識。

定義1[1]稱非負隨機變量X(或其分布函數(shù)F)為次指數(shù)分布，記作X∈S(或F∈S)，如果

(1)

其中，F(xiàn)2*表示分布函數(shù)F的二重卷積。

注1如果設X1,X2為兩個獨立同分布的非負隨機變量服從共同的分布F，則(1)式等價于P(X1+X2>x)～P(max{X1,X2}>x)，此即X1與X2最大和等價。

定義3[9]如果(X,Y)的聯(lián)合分布為P(X≤x,Y≤y)=C[F(x),G(y)]，其中

C(u,v)=uv+ruv(1-u)(1-v),r∈(-1,1),

其中F(x),G(y)分別為X與Y的邊際分布，那么稱(X,Y)服從FGM相依結(jié)構(gòu)。

注2在定義3中若取r=0，則FGM相依結(jié)構(gòu)退化為X與Y相互獨立情形。

引理2[8]若X和Y相互獨立，X,Y∈S，h(x)是滿足引理1的任意函數(shù)，那么X+Y∈S，當且僅當

下面是本文的主要結(jié)論及證明。

定理1設X，Y為兩個滿足FGM相依結(jié)構(gòu)的非負隨機變量， 如果X,Y∈S，則X∧Y∈S。

證明因為H1為X∧Y的分布，由文獻[6]可知H1的尾概率可以表示為

(1+θ)P(X*∧Y*>x)-

此外，

[2+o(1)]P(X*∧Y*>x)

類似地，有

[2+o(1)]P(X*∧Y*>x)

(3)

[4+o(1)]P(X*∧Y*>x)

(4)

綜合(2)-(4)式可得，

由文獻[9]可知X*∧Y*∈S，根據(jù)次指數(shù)分布族在尾等價下的封閉性，可得X∧Y∈S。

定理2設X，Y為滿足FGM相依結(jié)構(gòu)的非負隨機變量，如果X，Y∈S，則X∨Y∈S當且僅當

證明因為H2為X∨Y的分布，由文獻[6]可知H2的尾分布可以表示為

(1+θ)P(X*∨Y*>x)-

(1+θ)I1-θI2-θI3+θI4。

(5)

其中，對于I2有

[2+o(1)]P(X*>x)+P(Y*>x)-

[2+o(1)]P(X*>x)P(Y*>x)=2P(X*>x)+2P(Y*>x)-2P(X*>x,Y*>x)-P(Y*>x)+o(1)P(X*>x)=2P(X*∨Y*>x)-P(Y*>x)+o(1)P(X*>x)

(6)相應地，

I3=2P(X*∨Y*>x)-P(X*>x)+

o(1)P(Y*>x)

(7)

對于I4，相應地有I4=[2+o(1)]P(X*>x)+

[2+o(1)]P(Y*>x)-

[2+o(1)][2+o(1)]P(X*>x)P(Y*>x)=

4P(X*>x)+4P(Y*>x)-4P(X*>x,Y*>x)-2[P(X*>x)+P(Y*>x)]+o[P(X*>x),Y*>x]=

4P(X*∨Y*>x)-2[P(X*>x)+P(Y*>x)]+

o[P(X*>x)+P(Y*>x)]

(8)

將(6)-(8)式代入(5)式可得

P(X∨Y>x)=(1+θ)P(X*∨Y*>x)-

θ[P(X*>x)+(Y*>x)]+

o(1)[P(X*>x)+(Y*>x)]～

P(X*∨Y*>x)+o(1)P(X*∨Y*>x)。

要證明X∨Y∈S等價于證明X*∨Y*∈S，由于X*,Y*相互獨立且分別同分布于X,Y，根據(jù)文獻[8]知X*∨Y*∈S?X*+Y*∈S，再由引理2可知

[1] Emberchts P, Klüppelberg C, Mikosch T. Modelling Extremal Events for Insurance and Finance [M]. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 1997.

[2] Embrechts P, Goldie C M. On closure and factorization properties of subexponential distributions[J]. Journal of the Australian Mathematical Society, 1980, 29: 243-256.

[3] Cline D B H, Samorodnitsky G. Subexponentiality of the product of independent random variables[J]. Stochastic Processes & Their Applications, 1994, 49(1): 75-98.

[4] Chen Y, Su C. On the behavior of the product of independent random variables[J]. Science in China Series A, 2006, 49(3): 342-359.

[5] Tang Q. The subexponentiality of products revisited[J]. Extremes, 2006, 9(3-4): 231-241.

[6] Chen Y. The finite-time ruin probability with dependent insurance and financial risks[J]. Journal of Applied Probability, 2011, 48(4): 1035-1048.

[7] Yakymiv A L. Sufficient conditions for the subexponential property of the convolution of two distributions[J]. Mathematical Notes, 1995, 58(5): 1227-1230.

[8] Yakymiv A L. Some properties of subexponential distributions[J]. Mathematical Notes, 1997, 62(1):116-121.

[9] Geluk J. Some closure properties for subexponential distributions[J]. Statistics Probability Letters, 2009, 79(8): 1108-1111.

[10] Foss S, Korshunov D, Zachary S. An Introduction to Heavy-Tailed and Subexponential Distributions[M]. New York: Springer, 2011, 38.

Subexponentiality under the Operation of the Minimum and Maximum for FGM Dependent Random Variables

LIU Qing-qing

(School of Mathematical Sciences, Anhui University, Hefei, Anhui 230601, China)

This paper mainly studies the closure properties about the subexponential class for the minimum and maximum of two subexponential random variables according to FGM dependence structure. It is proven that, under FGM dependence structure, the minimum of two subexponential random variables is still subexponential. Furthermore, in the same case, the sufficient and necessary condition of the maximum of two subexponential random variables is subexponential.The obtained results generalize the case of reference[9].

FGM dependence structure; subexponential distribution; minimum; maximum

2015-10-29

安徽省高等學校自然科學研究基金(KJ2014A020)。

劉慶慶，男，安徽阜陽人，安徽大學數(shù)學科學學院碩士研究生，研究方向為金融數(shù)學。Email:1187761765@qq.com

時間：2016-8-17 11:31

http://www.cnki.net/kcms/detail/34.1150.N.20160817.1131.009.html

O211.4

A

1007-4260(2016)03-0028-03

10.13757/j.cnki.cn34-1150/n.2016.03.009