安徽省銅陵一中 鐘永慶

平面向量數(shù)量積的幾種基本求法

安徽省銅陵一中 鐘永慶

近幾年來，平面向量數(shù)量積的求解問題在高考選擇題、填空題中出現(xiàn)的頻率較高，甚至出現(xiàn)在解答題中，我們應(yīng)予以足夠的重視。本文結(jié)合幾道典型例題談?wù)勅绾吻笃矫嫦蛄康臄?shù)量積，希望對(duì)大家有所啟發(fā)。

一、定義法

例2已知a、b、c均為單位向量，且|a+b|=1，則（a-b）·c的取值范圍是（）。

二、坐標(biāo)法

解析如圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD所在直線為x軸、y軸建立直角坐標(biāo)系，由題意知，

總而言之，寫作是一項(xiàng)綜合技能，離不開遣詞造句、謀篇布局，每個(gè)環(huán)節(jié)都很重要。英語寫作能力的提高也不可能一蹴而就，是一個(gè)長(zhǎng)期積累、逐步提高的過程，需要平時(shí)大量的練習(xí)。只要我們循序漸進(jìn)、持之以恒，我們的英語寫作水平就一定會(huì)不斷提高。

解析依題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AC所在直線為x軸、y

點(diǎn)評(píng)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a·b=x1x2+y1y2。用坐標(biāo)法解決數(shù)量積問題，必須先建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示出相應(yīng)的點(diǎn)和向量，再利用坐標(biāo)運(yùn)算公式進(jìn)行計(jì)算。如果題中涉及一些較為規(guī)則、對(duì)稱的圖形時(shí)（如等邊三角形、矩形等），此法往往會(huì)給我們的計(jì)算帶來極大的方便。

三、基向量法

例6如圖5，在Rt△ABC中，已知斜邊BC=a，若長(zhǎng)為2a的線段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，則PCCQ與BCCC的夾角θ取何值時(shí)BCCP·CCCQ的值最大？求出這個(gè)最大值。

點(diǎn)評(píng)求向量a、b的數(shù)量積時(shí)，若a、b的模和夾角都不容易求出來，且題中所給的平面圖形不適合建立坐標(biāo)系時(shí)，可以考慮此法。依據(jù)平面向量基本定理，用其他已知或很容易求出模和夾角的向量來表示a、b（即選定一組基底，其他向量都用基底表示），再進(jìn)行相應(yīng)的線性運(yùn)算，從而解決問題。

點(diǎn)評(píng)事實(shí)上，坐標(biāo)法是基向量法的特例，已知a=（x1，y1）=x1i+y1j，b=（x2，y2）=x2i+y2j，其中i、j是單位正交基底（即兩個(gè)相互垂直的單位向量），

四、幾何意義法

A.2B.4C.6D.8

點(diǎn)評(píng)向量數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的模與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積。如果我們能找到一個(gè)向量在另一個(gè)向量方向上的投影，采用這種方法能大大減少計(jì)算量。

練習(xí)

1.已知a、b為單位向量，其夾角為60°，則（2a-b）·b=。

3.已知i、j、k表示共面的三個(gè)單位向量，i⊥j，那么（i+k）·（j+k）的取值范圍是（）。

A.［-3，3］B.［-2，2］

4.已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且P△△A+2P△△B+3P△△C=0，則P△△A·P△△B=（）。

參考答案