漣源市小學數(shù)學研究會瀟湘數(shù)學教育工作室

“數(shù)與形”教學研究報告

漣源市小學數(shù)學研究會瀟湘數(shù)學教育工作室

一、對數(shù)形結(jié)合思想方法的理解

數(shù)學是研究現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學。數(shù)學的許多問題都是圍繞數(shù)和形的提煉、演變、發(fā)展而展開的。在數(shù)學上，我們把根據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的思想方法叫做數(shù)形結(jié)合。小學數(shù)學教材一直都很重視對數(shù)形結(jié)合思想方法的滲透與運用。幾乎從第一節(jié)課認識數(shù)字開始，學生就受到數(shù)形結(jié)合思想方法的熏陶。

人教版新教材在六年級上冊安排了數(shù)與形為主題的教學，讓學生有機會走近、理解并運用數(shù)形結(jié)合的思想方法。這一內(nèi)容呈現(xiàn)在“數(shù)學廣角”版塊中，集中發(fā)揮了它在培養(yǎng)學生的思維能力上的優(yōu)勢——由數(shù)思形，培養(yǎng)思維的靈活性；由形思數(shù)，培養(yǎng)思維的縝密性；數(shù)形結(jié)合，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性；數(shù)形對照，培養(yǎng)思維的批判性。這種抽象思維與形象思維有機結(jié)合時，能促使學生多方位、多角度、多層次地思考問題，進而培養(yǎng)他們靈活、深刻地分析問題與解決問題的能力。

二、教學中存在的問題及分析

（一）教學實踐中的問題

因為這是教材新增的內(nèi)容，可供參考的文獻資料不多，無形中給教學增加了難度。實際教學中，數(shù)學老師對數(shù)形結(jié)合的思想方法了解多少？在具體的操作中，又是如何落實這種思想與方法的呢？對此，我們在全市抽取了40名小學數(shù)學教師和40名六年級學生作為樣本進行了問卷調(diào)查。調(diào)查結(jié)果顯示，大多數(shù)教師對數(shù)形結(jié)合基本含義的理解多集中于一些具體現(xiàn)象，對功能性含義關(guān)注不夠；認為數(shù)學思想方法在教學目標中是隱性的，想滲透但不知怎樣滲透；教學時關(guān)注了以形助數(shù)，對以數(shù)解形重視不夠。學生只有少部分聽說過數(shù)形結(jié)合的思想方法，主動用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題的經(jīng)驗明顯不足。由此可見，數(shù)形結(jié)合的思想方法還沒有真正落實到小學數(shù)學課堂教學中，老師們普遍重視不夠，數(shù)學思想方法的教學是不到位的。

1.如何合理地定位教學目標。在舊教材中，例2及后面的幾道練習題都屬于思考題甚至競賽題，而新教材把這些內(nèi)容作為主體內(nèi)容進行教學，那么這部分內(nèi)容在教學時究竟要達到怎樣的要求呢？

2.如何精選教學材料。課后練習題里編入的習題哪些能讓學生真正感悟數(shù)形結(jié)合的思想方法？需要補充哪些學習材料讓學生體會數(shù)形結(jié)合的優(yōu)越性？

3.如何選擇有效的教學策略。這部分內(nèi)容的教學難度較大且相對獨立，教學時如何搭建腳手架，既能讓學生夠得著又能夠避免教師硬給？

4.如何讓學生較好地感悟極限思想。教材中例2的內(nèi)容體現(xiàn)了極限思想。極限思想作為一種數(shù)學思想，小學生理解起來會覺得比較抽象。教材也試圖借助形直觀形象地解釋的結(jié)果就是1。這樣的處理，學生對結(jié)果1的理解是否有困難？教學時如何創(chuàng)設(shè)合適的情境，讓學生感悟極限思想？

1.學生常常把畫線段圖、作圖等借助幾何圖形簡化代數(shù)思考的過程看成是老師加在他們身上的負擔，體會不到數(shù)形結(jié)合方法的精妙。

2.數(shù)形結(jié)合大致可以分為以形助數(shù)、以數(shù)解形兩大類。由于小學生年齡、知識的局限，數(shù)形結(jié)合在小學階段更多地表現(xiàn)為以形助數(shù)，以降低思維難度。也因為小學階段學生接觸的大多是具體的數(shù)據(jù)，用字母表示數(shù)的內(nèi)容較少，往往難以滿足以數(shù)解形教學的需要。

（二）對問題的分析

1.抓住問題情境和數(shù)學思想方法之間的結(jié)合點

如果教師用心琢磨，就會發(fā)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在數(shù)學教學中無處不在。教師教學時，要善于發(fā)現(xiàn)，充分挖掘問題情境中隱含的數(shù)學思想方法，找準數(shù)學思想方法與問題情境之間的結(jié)合點，利用數(shù)形結(jié)合思想幫助學生在形象思維和抽象思維之間搭建橋梁，讓學生在學習數(shù)學、理解數(shù)學的過程中感悟數(shù)學思想方法，發(fā)展思維能力。

2.如何提升學生運用數(shù)學思想方法解題的素養(yǎng)

對學生而言，如果能充分感受數(shù)形結(jié)合思想方法在數(shù)學學習中的價值，并將數(shù)形結(jié)合的思想遷移到解決其他一些實際問題，對他們形成良好的思維素質(zhì)與技巧，提升數(shù)學能力是大有裨益的。所以，問題的關(guān)鍵還在于教師如何把教學內(nèi)容中隱含的數(shù)形結(jié)合思想方法顯性地傳遞給學生，把學生潛在的關(guān)于數(shù)形結(jié)合思想方法的經(jīng)驗激活。教師的教學需要在這方面下功夫。

三、教學實踐

片段一：

教師板書一列數(shù)：1，4，9，16，（）。

師：猜猜看，接下來的這個數(shù)會是什么呢？說說你的想法。

生1：這列數(shù)中相鄰兩數(shù)之間依次相差：3、5、7，是連續(xù)的奇數(shù)，接下來應(yīng)該加9，所以這個數(shù)應(yīng)該是16+9=25。

師：同學們聽明白了他的意思嗎？誰還有不同的發(fā)現(xiàn)嗎？

生2：我發(fā)現(xiàn)這些數(shù)都是平方數(shù)。第一個數(shù)是1的平方，第二個數(shù)是2的平方，第三個數(shù)是3的平方，第四個數(shù)是4的平方，所以我猜第五個數(shù)是5的平方，應(yīng)該填25。

師：看到這些平方數(shù)，你能馬上聯(lián)想到我們熟悉的哪個圖形呢？

生3：正方形，正方形的面積就是邊長的平方。

師：棒極了！難怪平方數(shù)又叫正方形數(shù)呢?？磥?，數(shù)與形之間有著一些奇妙的聯(lián)系，這節(jié)課我們就一起來研究“數(shù)與形”（板書課題）。

師：有意思的是，在上面的同一組數(shù)據(jù)中，同學們找出了兩種不同的規(guī)律，這又是為什么呢？帶著這個疑問，我們一起走近這個奇妙的正方形吧。（出示圖1）你能一眼看出這是多少個小方格嗎？是怎么知道的？

生4：25個小方格，用5×5=25。

師：不錯，25就是5的平方數(shù)。現(xiàn)在的問題是，這些小方格的個數(shù)除了用5×5計算外，還有沒有別的算法？也許你會覺得這個問題很奇怪，除了用5×5計算，還能有什么好辦法呢？數(shù)學就是這樣有意思，有時候我們換個角度思考就會有不一樣的發(fā)現(xiàn)。剛才我們不是在同一組數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)了不同的規(guī)律嗎？現(xiàn)在，你換個角度看看這幅圖，怎么看就能看出每次加3、加5、加7……這樣的規(guī)律呢？

圖1

學生思考。

生5：我是拐著彎進行計數(shù)求和的，第一層1個，第二層3個，第三層5個，第四層7個，第五層9個，那么25=1+3+5+7 +9。（課件相機演示，如圖2）

師：咦，加一層不就是加一行一列嗎？一行2個，一列2個，兩個2不是4嗎？為什么這里只加了3個？

生6：看圖就會發(fā)現(xiàn)，拐角上的這個方格在行里數(shù)到它，在列里又數(shù)到它，重復(fù)了一次，減去1，就只有3個了！

師：噢，我明白了！數(shù)形結(jié)合就是這么奇妙?。▌赢嬔菔荆阂来芜f加一層）

圖2

生7：3+3-1加了5個，4+4-1加了7個，5+5-1加了9個。

師：每加一層，正方形的邊長就多1，1+3+5+7+9構(gòu)成了5×5的正方形！剛才我們從不同的角度研究了同一個圖形，找到了兩種不同的算法，一種是5× 5，另一種是1+3+5+7+9，若綜合這兩方面考慮，這兩個算式之間可以用什么符號聯(lián)結(jié)？

生：等于號。（板書：5×5=1+3+5+7+9）

師：大家大膽地想象一下，如果我們在這個正方形的外面再加一層，這個等式會怎么變？

生8：6×6=1+3+5+7+9+11。

師：真好！我們再大膽地想象一下，有一個正方形的小方格數(shù)可以寫成這樣一個算式：1+3+5+…+99，那是多少個小方格的正方形呢？

學生交流討論。

生9：我們找到了規(guī)律，這個算式有多少個加數(shù)，小方格的個數(shù)就是這個加數(shù)個數(shù)的平方數(shù)。100以內(nèi)的奇數(shù)有50個，這個正方形的小方格數(shù)就是50× 50！

師：數(shù)學真奇妙，換個角度看一看，竟然有了這么多的發(fā)現(xiàn)！同學們，如果再換個角度觀察這個正方形，你還會有新的發(fā)現(xiàn)嗎？

學生獨立思考后進行同桌交流。

生10：我們發(fā)現(xiàn)斜著看也很有意思（如圖3），1+2+3+4+5+4+3+2 +1。

師：太棒了！斜著看，誰還有不同的發(fā)現(xiàn)？

生11：斜著看，每次多了1個小方格，加到5以后，每次又少1個小方格，5是最大數(shù)，5的左右兩邊是對稱的。

圖3

師：你們的表現(xiàn)真不錯！正因為這種對稱，才使得這些小方格拼成了一個5×5的正方形。同學們大膽地猜想一下，如果這個最大數(shù)是6呢？1+2+3+4 +5+6+5+4+3+2+1又會是幾行幾列的正方形呢？

生12：6行6列，有36個小方格。

師：看樣子，同學們在數(shù)與形中找到了規(guī)律?；仡檮偛诺难芯繗v程，我們從兩個不同的角度研究了同一個圖形，發(fā)現(xiàn)1+3+5+7+9和1+2+3+4+5+4 +3+2+1都可以表示5行5列的大正方形中小正方形的個數(shù)。怎么樣？數(shù)學有意思吧？剛才這些有意思的發(fā)現(xiàn)都源于一個非常簡單的圖形——正方形。我們都要感謝它！難怪數(shù)學家華羅庚也曾這般感嘆：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休?！睌?shù)形結(jié)合的方法如此之好，不如老師給一個問題，你們也來體驗體驗數(shù)形結(jié)合的妙處吧。（課件出示：

生13：分母有規(guī)律呢，后一個加數(shù)的分母總是前一個加數(shù)的分母的2倍。

師：嗯，很重要的發(fā)現(xiàn)！

生14：如果通分再計算的話太難了，肯定有簡便算法的吧？

師：尋求簡便算法是一條很好的思路。問題是，你沒有這類題的解題經(jīng)驗的時候，如何找到這個方法就顯得特別重要了。華羅庚先生說過這么一個方法，不知道對同學們尋求方法有沒有幫助——我們要善于退，足夠地退，退到原始而不失重要性的地方，退到我們?nèi)菀卓辞鍐栴}的地方。對這個問題，我們要退到什么地方比較合適呢？

生15：先計算兩個數(shù)相加，然后每次加一個數(shù)看看。

師：對，摸著石頭過河，大家試試看吧。

學生獨立計算，小組交流、展示。

生16：我是一個一個加的，得數(shù)好像有點規(guī)律。

生17：得數(shù)的分子總是比分母少1。

生18：得數(shù)的分母和最后一個加數(shù)的分母是一樣的。

生19：我知道了，這樣加下去的話，結(jié)果的分母是最后一個加數(shù)的分母，分子總比分母少1。

生20：我也知道了這道題的結(jié)果

師：這是一個很有意思的結(jié)果，老師很欣賞大家學習數(shù)學的方法。我們面臨一個新的問題時，尋求解決問題的方法很重要。前面我們學習了數(shù)形結(jié)合的方法，你能找到一個合適的形表示這個加法算式的意思嗎？

生21：我用一個正方形表示的。正方形的一半是

圖4

師：這個形很生動地解釋了這個結(jié)果。同學們可以大膽地想象，加的數(shù)越多，這個結(jié)果越接近1。除了正方形，你還能想到別的形嗎？

生：長方形！圓形！線段！

師：（課件相機出示，如圖5）有道理！雖然形各不相同，但說明的數(shù)理是一樣的。而且我們不難發(fā)現(xiàn)，像這樣比較復(fù)雜的問題，畫圖的確是個解決問題的好方法！

圖5

教學意圖：這一片段的設(shè)計體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合中以形助數(shù)的一般特征和解題優(yōu)勢，實現(xiàn)了數(shù)學問題中數(shù)與形的溝通，使學生初步了解了數(shù)與形之間的緊密聯(lián)系，掌握了數(shù)與形進行轉(zhuǎn)化的方法，提升了應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想解決數(shù)學問題的意識，發(fā)展了數(shù)學思維的靈活性。

片段二：

師：孩子們，在前面的學習中，大家都有了不起的表現(xiàn)。在形的幫助下我們解決了有關(guān)數(shù)的難題（板書：以形助數(shù)）。其實，數(shù)與形真是一對好朋友，數(shù)形結(jié)合除了以形助數(shù)外，數(shù)對形的幫助也同樣重要。這節(jié)課我們一起研究以數(shù)解形（板書：以數(shù)解形）。研究從一道有意思的數(shù)學題開始。（課件出示圖6）如圖，長方形ABCD被線段EG和FH分割成4個小長方形，其中長方形BEOF的面積為30平方厘米，長方形CGOF的面積為20平方厘米，長方形DGOH的面積為12平方厘米，求長方形AEOH的面積。

學生先獨立思考，然后同桌交流再匯報。

生1：我們覺得要求長方形AEOH的面積，就需要找到它的長和寬，但是題目只給了另外幾個長方形的面積，并且這幾個長方形的長和寬都沒有確定，我們沒有找到解決問題的辦法。

師：你們雖然沒有找到解決問題的辦法，但清楚地表達了自己思考問題的過程以及困惑，也不錯。

生2：我們覺得面積是30平方厘米的①號長方形和面積是20平方厘米的②號長方形有一條公共的邊，這條邊的長度應(yīng)該是這兩個數(shù)的最大公因數(shù)，所以是10厘米，另外兩條邊分別是3厘米、2厘米，而這個3厘米和2厘米同時也是④號長方形和③號長方形的一條邊長，③號長方形的另一條邊的長度是6厘米，也是④號長方形的一條邊長，這樣，④號長方形的面積就是3×6=18（平方厘米）。（如圖7所示）

師：這位小老師很有范兒，一邊表達自己組的觀點，一邊用數(shù)描繪了這個長方形面積的計算過程，你們對他的發(fā)言有什么意見嗎？

生3：他講得好像有點道理，但是①號和②號長方形的那條公共邊的長度一定是它們的最大公因數(shù)嗎？

師：這問題提得非常有價值！是啊，如果這條公共邊不是最大公因數(shù)，還有可能是哪些數(shù)呢？

生4：可能是2，也有可能是5！生5：還有可能是1呢！

生6：說不定是個小數(shù)呢。

師：要不你們各自選一個可能的數(shù)，算一算④號長方形的面積吧。

圖6

圖7

學生獨立運算后交流。

生7：我把①號和②號長方形的公共邊看成5厘米，算出④號長方形的面積仍然是18平方厘米。（如圖8所示）

生8：我把①號和②號長方形的公共邊看成2厘米，算出④號長方形的面積仍然是18平方厘米。（如圖9所示）

師：問題研究到這里，你們有什么疑問嗎？

生9：看上去，只要是已知的3個長方形的面積不變，邊的長短不影響問題的結(jié)果，這是為什么呢？

師：會提問題的小朋友一定是最會思考的！是啊，這是為什么呢？

學生再一次陷入沉思。

生10：我想，既然邊的長短與問題的結(jié)果沒有關(guān)系的話，我們用字母表示應(yīng)該也可以啊，這個字母想代表幾都是可以的。

師：你說的有道理，下面我們把OE，OF，OG，OH的長度分別記作a，b，c，d（如圖10所示），算一算這些長方形的面積，你又

發(fā)現(xiàn)了什么？

圖8

圖9

圖10

生11：從圖形中我們可以看出a×b=30（1），b×c=20（2），c×d=12（3），問題是求a×d=？這里的a和d在算式（1）和算式（3）中，而且要算乘積，我們可以把算式（1）和算式（3）乘起來，a×b×c×d=30×12=360，其中b×c是20，那a×d就是360÷ 20=18！

師：多么了不起的研究！用字母表示數(shù)，解開了一個大謎團！事實上，在一個乘法算式里，在積不變的情況下，一個因數(shù)擴大幾倍，另一個因數(shù)一定會縮小幾倍。④號長方形的面積就是由兩個這樣的因數(shù)相乘得來的，面積難怪總是固定的。

生12：老師，上面的算式（1）和（3）

相乘的結(jié)果就是①號和③號長方形的面積的積，是a×b×c×d，其實②號和④號長方形的面積的積也是a×b×c×d！

師：你發(fā)現(xiàn)了對角線上的兩個長方形的面積的乘積相等，真了不起！

生13：早知道這樣，我們只要用①號和③號長方形的面積之積除以②號長方形的面積就可以算出④號長方形的面積了！

師：真是茅塞頓開啊！在解決這個問題的過程中，邊長和面積對應(yīng)的數(shù)給了我們那么多的啟發(fā)。在這些數(shù)的幫助下，我們深入地研究了這幾個長方形面積，發(fā)現(xiàn)了這幾個長方形之間的奇妙聯(lián)系。我們不得不說，數(shù)形結(jié)合百般好啊！

教學意圖：這一片段的設(shè)計體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合中以數(shù)解形的一般特征和工具性作用，實現(xiàn)了數(shù)學問題中數(shù)與形的溝通。學生初步了解了數(shù)在對形的本質(zhì)屬性探究中的意義，認識到相對于以形助數(shù)的技巧性，以數(shù)解形具有更強的工具性和普遍性。特別值得一提的是，在教學過程中，教師從學生思考問題最自然的路徑出發(fā)，滲透了從特殊到一般的思想方法，讓學生經(jīng)歷了從特殊到一般的歸納推理過程。

四、不得不說的后話

數(shù)與形的教學，當然要關(guān)注數(shù)形結(jié)合，而數(shù)形結(jié)合離不開以形助數(shù)與以數(shù)解形這兩個方面。既然作為一個專題出現(xiàn)在“數(shù)學廣角”版塊，如果只滲透以形助數(shù)的方法，我們認為是不全面的。教師通過對教材的理解，開發(fā)出能夠體現(xiàn)這兩個方面的教學內(nèi)容，讓學生對數(shù)形結(jié)合的兩個方面都有所了解，為后繼學習（特別是中學階段的解析幾何的學習）鋪路是很有必要的。為此，我們對教材作了以下幾方面的處理。

1.教材中的學習材料強調(diào)了對一個圖形進行研究，從不同的角度分析它、計算它，就可能得到新的結(jié)論（數(shù)學家富比尼稱之為“算兩次”）。比如，從1開始連續(xù)幾個奇數(shù)之和恰好是一個自然數(shù)的平方。這當然是研究問題的重要方法。但問題是，學生如何理解“為什么要對同一幅圖算兩次”呢？為了讓學生思考問題有更自然的路徑，我們補充設(shè)計了“給一組數(shù)據(jù)找規(guī)律”的問題。學生在教師的引領(lǐng)下嘗試從不同角度觀察同一圖形，發(fā)現(xiàn)數(shù)與形的奇妙聯(lián)系，然后呈現(xiàn)教材中的幾個學習材料，學生對形之于數(shù)的作用就有了深入的理解。

3.片段二的學習材料是教材中沒有的，我們之所以利用它來教學，源于這么幾個思考。一是這個材料的確能讓學生體會到以數(shù)解形的工具性，隨著學生假設(shè)的數(shù)據(jù)不斷呈現(xiàn)，規(guī)律慢慢地被揭示。這種發(fā)現(xiàn)的驚喜應(yīng)該是學生思考獲得的獎賞。二是這個材料的選取具有開放性。在對問題的討論中，當結(jié)論集中指向一點時，學生在不經(jīng)意間經(jīng)歷了由特殊到一般的歸納推理過程。而在課堂教學中滲透數(shù)學思想與方法是我們一直以來的追求。事實上，學生在整個學習過程中情緒飽滿，始終處于“火熱的數(shù)學思考”中，課堂也因此成為讓思考發(fā)生的樂園。

數(shù)形結(jié)合在小學階段更多地表現(xiàn)為以形助數(shù)，用字母表示數(shù)的內(nèi)容較少，故往往難以滿足以數(shù)解形教學的需要。事實上，隨著學生思維能力的發(fā)展和數(shù)學知識的積累，以數(shù)解形在中學階段將大放異彩。尤其在學習了函數(shù)、解析幾何等知識后，數(shù)學學習才真正進入以數(shù)解形的快車道。那么，如何讓小學生體會到這一點，尋找以幾何內(nèi)容為出發(fā)點，因形尋數(shù)，將直觀的圖形與抽象的代數(shù)語言結(jié)合起來，并容易被小學生所接受的素材成為我們研究的新問題。（本文系湖南省教育科學“十二五”規(guī)劃立項課題（課題批準號：XJK014CZXX041）《以小課題研究促進小學數(shù)學教師專業(yè)成長的研究》的階段性成果）

（執(zhí)筆：王麗燕、謝加文、劉碩鵬、唐紅霞、肖石堅、徐旺、李闖）