張新春

基數(shù)意義下自然數(shù)的運算（二）

張新春

現(xiàn)在小結(jié)一下，從加法的定義出發(fā)，我們已經(jīng)知道了加法的兩個性質(zhì)：交換律與結(jié)合律。關(guān)于加法的所有規(guī)律，都可以由此開始通過邏輯推理而獲得，下面舉一例。

證明：a+b+c=a+c+b。

讀者也許會說，這不就是加法交換律嗎？只是把c與b的順序交換一下啊。事實上不是這樣的。按定義，a+b+c是（a+b）+c，而a+c+b=（a+c）+b，b與c根本不直接相加，無所謂交換。下面即是這個等式的證明（在閱讀這個證明之前，再次提醒讀者注意，我們能用來作證明依據(jù)的只有幾個定義和交換律與結(jié)合律而沒有別的）。

證：a+b+c=（a+b）+c（三個數(shù)相加的定義）

=a+（b+c）（加法結(jié)合律）

=a+（c+b）（加法交換律）

=（a+c）+b（加法結(jié)合律）

=a+c+b（三個數(shù)相加的定義）

這個證明說明，a+b+c=a+c+b成立的原因不僅有交換律，還有結(jié)合律。若加法不滿足結(jié)合律，只滿足交換律，我們是無法得到a+b+c=a+c+b的。為了說明這一點，我們再作一點討論。以下將對運算的意義作些拓展，并構(gòu)造出一個只滿足交換律而不滿足結(jié)合律的運算。這些討論屬于近世代數(shù)（也稱抽象代數(shù)）的范疇。

我們通常的計算對象是數(shù)，計算的方法是加、減、乘、除。但隨著數(shù)學的進步，人們發(fā)現(xiàn)，對很多不是數(shù)的對象，同樣可以進行類似普通計算方法的計算。這樣，我們可以把運算的定義進行一般化。所謂一般的運算，涉及三個集合，不妨記為A，B，C。對A中的任意一個元素a和B中的任意一個元素b組成的元素對（a，b），我們在C中確定一個唯一的元素c與之對應。我們就說是對a和b進行運算，結(jié)果是c。

比如設(shè)A=｛藍，紅｝，B=｛黃｝，C=｛綠，橙｝，我們規(guī)定：

（藍，黃）→綠

（紅，黃）→橙

這就是一個運算。

運算有時也可用一個表來表示，如：

更多時候，我們研究的運算中A，B，C是同一個集合。比如自然數(shù)內(nèi)的加法，就是為兩個自然數(shù)找一個像，這個像叫做這兩個自然數(shù)的和。

我們來考慮熟悉的“石頭、剪刀、布”游戲。分別用a，b，c表示“石頭”、“剪刀”和“布”，于是有a勝b，b勝c，c勝a。

我們規(guī)定a和b運算的結(jié)果就是它們之間的勝者。同時規(guī)定a和自己運算，還得自己。按這樣的規(guī)則，我們就規(guī)定了集合A=｛a，b，c｝內(nèi)的一個運算，并約定把這個運算記為^，如下表所示：

顯然這個運算滿足交換律。

同時，我們不難發(fā)現(xiàn)，運算^并不滿足結(jié)合律。比如（a^b）^c=a^c=c，而a^（b^c）=a^b=a，即有（a^b）^c≠a^（b^c），從而^不滿足結(jié)合律。我們第一次看到了一個只滿足交換律但不滿足結(jié)合律的例子。

此時，a^b^c=a^c=c，而a^c^b=c^b=b，

從而，a^b^c≠a^c^b。

于是，我們知道，a^b^c=a^c^b的獲得，不僅要求運算^滿足交換律，還要求運算^滿足結(jié)合律。

當然，在具體教學中，我們不可能要求小學生這么透徹地理解。但作為數(shù)學教師，我們應該理解，同時，也應避免讓學生判斷31+67+19=31+19+67應用了什么運算定律。因為學生往往會認為只運用了交換律，而教師一時也無法跟學生講清楚（事實上，這道題即取自人教版四年級下冊教材，而教學參考書中提供的答案正是運用了加法交換律）。我們對以下的一個例題（人教版數(shù)學教材四年級下冊）持保留意見。

事實上，這里讓學生填寫用了“加法律”是不合適的。以下一段來源于人教版四年級下冊教學參考書。

應當指出的是，在例3的計算過程中：

115+132+118+85=115+85+132+118

把85移到132的前面，嚴格說來，不僅用到了加法的交換律，還用到了加法的結(jié)合律。因為這里之所以能把132+118看作一個整體，之所以能在計算前就先把85與（132+118）交換，都是因為有加法結(jié)合律作保證。即：

115+132+118+85

=115+［（132+118）+85］←加法結(jié)合律（用了兩次）

=115+［85+（132+118）］←加法交換律

=（115+85）+（132+118）←加法結(jié)合律

但考慮到小學生的認知特點，只要學生說出第一步運用了加法的交換律把85交換到132的前面，第二步運用了加法的結(jié)合律把115與85、132與118結(jié)合起來先相加就行了。有些學生常常會省略一些過程，如

115+132+118+85

=（115+85）+（132+118）

或者

115+132+118+85

=200+250

教師都應該給予肯定。

教學參考書上這一段有合理的地方：對每一步運算使用了什么運算定律的解釋是正確的。但我們認為，既然由于認知特點的原因，學生尚不能對所用運算定律進行準確的描述，也無法理解這種形式運算，那么我們要求學生判斷115+132+118+85= 115+85+132+118這個運算過程中使用了何種運算定律就很不恰當。實際上，教學參考書上說“只要學生說出第一步運用了加法的交換律把85交換到132的前面”，這里所描述的說法恰好是對交換律的誤解，交換律不是這么回事。滿足于這樣的錯誤說法（不是不嚴格的說法，而是完全錯誤的說法）是不恰當?shù)摹１容^恰當?shù)淖龇ㄊ牵簩W生理解了交換律與結(jié)合律后，教師作出概括：根據(jù)加法的交換律與結(jié)合律，在做連加運算時，加數(shù)的順序與加的順序都可以是任意的。即先加哪幾個，再加哪幾個完全是任意的。不再追究每一步到底運用了什么運算定律（或籠統(tǒng)地說成是運用加法交換律與結(jié)合律）。同時指出，這個結(jié)論以后是可以證明的。事實上，按3個數(shù)相加的定義的方式，我們可以定義出4個數(shù)、5個數(shù)，繼而定義出任意多個數(shù)相加了。并且，由于加法有交換律、結(jié)合律，我們可以任意交換加數(shù)的位置（這一點是可以證明的，依據(jù)是加法交換律、結(jié)合律再加上數(shù)學歸納法原理，詳細證明這里從略）。