夏莘媛，高鵬飛，戴　靜

(1.河北工業(yè)大學 電子信息工程學院，天津 300401；2.中國人民解放軍95900部隊，河南 開封 475000；3.華北理工大學 遷安學院，河北 遷安 064400)

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基于壓縮感知的智能天線DOA估計算法

夏莘媛1，高鵬飛2，戴靜3

(1.河北工業(yè)大學 電子信息工程學院，天津 300401；2.中國人民解放軍95900部隊，河南 開封 475000；3.華北理工大學 遷安學院，河北 遷安 064400)

波達方向(direction of arrival, DOA)估計是利用具有一定空間結(jié)構(gòu)的天線陣元對空間信源的來波方向進行估計。為解決MUSIC算法和ESPRIT算法在智能天線DOA估計中空間譜分辨率和抗噪聲性能方面的不足，依據(jù)壓縮感知理論的貪婪算法思想，將匹配追蹤(matching pursuit, MP)算法和子空間追蹤(subspace pursuit, SP)算法應用在DOA估計中，即提出2種新的算法MP-DOA和SP-DOA。這2種算法主要包括原子庫建立、信號投影、最佳匹配原子篩選及信號特征提取等過程。4種算法的仿真實驗與對比分析結(jié)果表明，MP-DOA算法在低信噪比情況下較其他3種算法性能更優(yōu)越，SP-DOA算法在角度分辨率和對信源數(shù)的包容方面的性能較其他3種算法優(yōu)越，也驗證了應用壓縮感知理論的優(yōu)越性。

波達方向估計；壓縮感知；匹配追蹤(MP)算法；子空間追蹤(SP)算法

0　引　言

智能天線是一種具有測向和波束形成能力的天線陣列，其中波達方向(direction of arrival, DOA)估計是利用智能天線陣元對空間信源的來波方向進行估計，它在智能天線系統(tǒng)中扮演重要角色[1]。常規(guī)波束形成(conventional beam-forming, CBF)算法是最早的 DOA 空間譜估計算法[2]，隨后Capon 算法較之CBF算法提高了譜估計算法的分辨率。由R.O.Schmidr[3]于1979提出并于1986年發(fā)表的MUSIC算法，則大范圍地提高了DOA估計的算法性能，它通過利用噪聲子空間與信號子空間正交計算出空間譜函數(shù)，然后搜索譜峰，得到了DOA估計的方向參數(shù)。同期由R. Roy等[4]提出的ESPRIT算法則避開了MUSIC 算法的模式，直接可以通過2個完全相同子空間之間的旋轉(zhuǎn)不變性來得出信號相關(guān)參數(shù)的空間譜估計。現(xiàn)今，MUSIC算法和ESPRIT算法已成為智能天線DOA估計中最為經(jīng)典且常用的2種算法。

由D. Donoho等[5]提出的壓縮感知理論給數(shù)據(jù)采集技術(shù)帶來了理論性突破，它打破了Nyquist采樣定律，可以用遠小于信號2倍最高頻率進行采樣，實現(xiàn)了采樣效率更高、存儲空間更少的信號采樣方法來進行信號的采集。其理論思想是運用貪婪算法實現(xiàn)信號稀疏分解，然后通過觀測矩陣實現(xiàn)信號重構(gòu)?，F(xiàn)今壓縮感知理論在諸多領(lǐng)域開始得到廣泛應用[6]，比如在通信系統(tǒng)的信道估計中能夠取得滿意的估計效果[7]。

在智能天線DOA估計中，由于信號常常具有稀疏特性，因此，研究基于壓縮感知的DOA估計算法具有重要的理論意義和應用價值。為此，本文將壓縮感知理論中的匹配追蹤(matching pursuit, MP)算法和子空間追蹤(subspace pursuit, SP)算法應用于智能天線DOA估計之中，并與MUSIC算法和ESPRIT算法做比較分析，以驗證應用壓縮感知理論的優(yōu)越性，并可進一步提高DOA估計的算法性能。

1　DOA估計數(shù)學模型

1.1基本數(shù)學模型

本文數(shù)學模型建立在N個遠場的窄帶信號入射到由M個天線組成的線性陣列上，即處理器接收來自M個接收通道的數(shù)據(jù)。在此情況下，M個天線在某一時刻接收的數(shù)據(jù)為

(1)

(1)式中：y(t)表示陣元接收數(shù)據(jù)；τij表示陣元間的延遲；ω0=2πf=2πc/λ，其中c為光速，λ為波長；s(t)表示入射到空間信號的原始信號；n(t)表示外加噪聲數(shù)據(jù)。

可簡化成矢量形式為

(2)

(2)式中：Y(t)為M×1維陣元接收數(shù)組；B為空間陣列的M×N陣元處理矩陣；S(t)為入射到空間信號的N×1維原始信號；N(t)為M×1維外加噪聲數(shù)組。

由上可知，陣元間的延遲表達式若已求得，待定空間陣列的導向矢量便可求得，即DOA參數(shù)便可求得。

1.2相干信號源的數(shù)學模型

現(xiàn)實環(huán)境中需考慮信號源為相干信號的情況，如信源傳播過程中隨時間不同，沿多條路徑傳播引起延時干涉現(xiàn)象，信號源的相干檢測是DOA研究的一個重要研究方向。當信源包含多個信號時，其中可能存在信號之間相干、相關(guān)、獨立3種情況。對于平穩(wěn)的遠場窄帶信號Si(t)與Sk(t)，它們的相關(guān)系數(shù)定義為

(3)

易得|ρik|≤1對信號之間的相關(guān)性定義為

(4)

故可得相干源的數(shù)學模型為

(5)

(5)式中：X(t)表示陣列的快拍數(shù)據(jù)矢量；S(t)為入射到空間信號的原始信號；N(t)為外加噪聲數(shù)組；A為變化系數(shù)矩陣。

1.3經(jīng)典DOA估計算法描述

MUSIC算法的思路是首先求得線性陣列的接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差，然后對協(xié)方差矩陣進行特征分解，進一步得出組成信號分量，信號子空間和噪聲子空間，最后利用這2個子空間的相互投影為零計算出信號的方向參數(shù)[8]。

空間譜估計中的ESPRIT算法與MUSIC算法的基本原理相同，都是首先求解接收信號的協(xié)方差，然后對協(xié)方差矩陣進行特征分解，兩者的不同之處也很突出，即ESPRIT算法較MUSIC算法計算量小，無需搜索譜峰。

2　基于壓縮感知的DOA估計算法

壓縮感知理論的第一步是對具有先驗條件的原始信號進行稀疏處理，在稀疏處理過程中使用的是貪婪算法思想。貪婪算法是通過不斷地最優(yōu)迭代計算尋找子問題的最優(yōu)解，進而最終實現(xiàn)全局問題的最優(yōu)解。

由于本文針對DOA進行研究，而非解析原始信號的全貌，故只需求出帶估信號的DOA特征即可，其他方面暫不考慮。因此，主要目標是運用貪婪算法求信號DOA特征的最優(yōu)解，通過不斷地追蹤運算得到全局最優(yōu)解，進而實現(xiàn)對DOA的估計。

下面主要描述基于匹配追蹤的DOA估計算法(MP-DOA)和基于子空間匹配的DOA估計算法(SP-DOA)。

2.1基于MP算法的DOA估計

設研究信號為f，信號長度為N，則f∈H∈RH，H∈RH是N維正交希爾伯特空間。將信號分解在基數(shù)目為N的正交基上。由于基在信號空間的稀疏分布，信號能量分散于各個基上，這將導致信號的非稀疏表示。故只有使基在信號空間適當密集，信號便能被稀疏表示。而此時基可能不再正交，故此時的基稱作原子，這些原子組成的集合為過完備原子庫。

MP的信號分解方法過程如下。

先在滿足(6)式的條件下篩選出接收信號的最匹配原子gy0。

(6)

(6)式中，為原子gy0和信號向量f之乘積；Γ為伽馬函數(shù)。

(7)

(7)式中，gy0為f在gy0上的投影，R1f為投影后的殘余量。顯然，R1f與gy0是正交的。

考慮(8)式的選擇規(guī)則，使||幾乎為最優(yōu)。

(8)

不斷重復這種篩選過程

(9)

(9)式中，gyk滿足

(10)

只要信號的稀疏表示能不斷優(yōu)化，就重復上述過程，直到最優(yōu)解出現(xiàn)為止。這就是貪婪算法的核心原理。

運用MP方法分解陣列接收信號，對陣列信號進行非正交分解。對于基函數(shù)可靈活選取，故可通過建立過完備原子庫將信號逼近在基函數(shù)上，最后由分解系數(shù)得到對研究有用的信息。為了得到陣列信號DOA的信息，需建立原子庫，即

(11)

根據(jù)搜索的分辨率要確立角度范圍，設角度搜索參量M個，m決定原子參數(shù)y。在進行MP分解中，(10)式給出了最佳原子向量的選取約束，在此約束條件下，陣列接收信號進行MP分解，噪聲與陣列信號相互獨立，故噪聲在匹配原子上的投影接近于零，即噪聲被濾除。由此可知，通過對參量θm進行匹配迭代運算，便可尋找出最優(yōu)匹配，此匹配包含原始信號的DOA信息。因此，根據(jù)原子參量m便可估計出陣列信號DOA特征。

其基本算法流程如下。

步驟1由信號模型建立過完備原子庫，并按照需要設置搜索精度。

步驟2將線性陣元接收得到的信號分別按各原子、各陣元上雙循環(huán)進行投影計算。并對每個原子對應的K個不同陣元的投影進行線性疊加，統(tǒng)計出各原子的投影和值。

步驟3根據(jù)信源的估計數(shù)目，設定一定的投影閾值α，篩選出最優(yōu)原子組。

步驟4由原子參量m(其中包含DOA特征)得出陣列信號DOA的估計。

2.2基于SP算法的DOA估計

SP算法與MP算法都是運用貪婪運算過程實現(xiàn)信號的稀疏與重建。其區(qū)別只是在原子庫的建立過程中，SP算法在迭代步驟中，同時對先前入選的原子進行檢驗，并保留符合篩選條件的原子。這必將在全局上保證信號重建的最優(yōu)性。

SP算法的主要過程如下。

1)輸入：K,A,y。

由于SP算法與MP算法相比，最大特點是在正交迭代的基礎(chǔ)上將先前迭代過的原子進一步入選到殘差中作為備選原子進行迭代分解，這一點反映在DOA估計中可進一步增加DOA估計的角度范圍，提高空間譜估計分辨率。

設天線陣列的接收矩陣為X，即X為M列N行矩陣(M為陣元數(shù)量，N為快拍數(shù))，由于K個信源在各個陣元的接收陣列上是相互疊加在一起的，現(xiàn)要將方向信息從接收信號分別篩選出，需要將K個信源按方向特征進行分離。采用SP算法的大體思路是根據(jù)正交投影在完備的角度范圍上投影得出信源包含的方向，即只有方向原子與信源方向信息之一完全一致時，投影值才能達到最大，才能實現(xiàn)最佳匹配。

其基本算法流程如下。

步驟1根據(jù)觀測精度設置譜峰范圍。

步驟2根據(jù)譜峰范圍結(jié)合陣元結(jié)構(gòu)構(gòu)造原子庫矩陣。

步驟3由原子庫矩陣與接收信號矩陣相乘得到接收信號在原子庫上的投影矩陣。

步驟4給投影矩陣的每一位采樣點列向量按投影數(shù)值大小給原子標號進行由小到大排列，記錄原子標號排列的新矩陣(原子標號中包含著信源方向特征)。

步驟5篩選出每一位采樣點上投影值最大的原子標號，并組成一個行向量。

步驟6統(tǒng)計各原子標號出現(xiàn)最大值的次數(shù)，按照信源個數(shù)篩選出相應最優(yōu)原子標號。

步驟7根據(jù)原子標號得到信源的DOA。

3　實驗分析

3.1MP-DOA仿真分析

由算法原理編寫基于MP-DOA算法的MATLAB程序, 選取5個彼此獨立的且為遠場窄帶信號，信源的角度分別為-64°,-30°,20°,45°,70°，接收陣列為均勻線性陣列，陣元數(shù)目N=15，信源數(shù)目K=5，信號的中心頻率為f，其對應的波長為λ，陣元之間的間距為d，且d=λ/2，快拍數(shù)為2 000。MP算法的仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1　MP-DOA算法仿真圖Fig.1　Simulation result of MP-DOA algorithm

3.2SP-DOA仿真分析

由算法原理編寫基于SP算法的MATLAB程序,選取5個彼此獨立的且為遠場窄帶信號，信源的角度分別為-64°,-30°,20°,45°,70°，接收陣列為均勻線性陣列，陣元數(shù)目N=15，信源數(shù)目K=5，信號的中心頻率為f，其對應的波長為λ，陣元之間的間距為d，且d=λ/2，快拍數(shù)為2 000。信噪比SNR分別為-20，-10，0，10，20 dB時得到仿真結(jié)果分別為DOA=-64°,-30°,20°,45°,70°。

3.3抗噪聲能力性能分析

5個彼此獨立的且為遠場窄帶信號，信源的角度分別為-64°,-30°,20°,45°,70°，接收陣列為均勻線性陣列，陣元數(shù)目N=15，信源數(shù)目K=5，信號的中心頻率為f，其對應的波長為λ，陣元之間的間距為d，且d=λ/2，快拍數(shù)為2 000，計算SNR分別為-40，-30，-20，-10，0，10，20，30 dB時的空間譜估計標準差。得到4種空間譜估計方法的DOA估計值隨信噪比SNR變化的仿真圖如圖2所示。

由圖2可分析如下。

1)在信噪比低的情況下(-40—-10 dB)，MP-DOA算法估計精準度最好，這說明在強噪聲情況下，MP算法的抗干擾能力最強。

2)在信噪比相對較高的情況下(0—30 dB)，SP-DOA算法估計精準度最好。標準差為零，即空間譜分辨率較高，這說明SP-DOA算法適應信噪比較高的空間譜估計。相比而言，MUSIC算法與ESPRIT算法在抗噪聲性能方面存在劣勢。

圖2　4種算法抗噪聲性能對比圖Fig.2　Comparison on four kinds of algorithms at antinoise performance

進一步分析可知，MP-DOA算法優(yōu)越的抗噪性是由其噪聲向量不具備信號特征，在最佳原子向量的投影為零決定的。

3.4對陣元數(shù)的依賴程度性能分析

5個彼此獨立的且為遠場窄帶信號，信源的角度分別為-64°,-30°,20°,45°,70°，接收陣列為均勻線性陣列，陣元數(shù)目N=15，信源數(shù)目K=5，信號的中心頻率為f，其對應的波長為λ，陣元之間的間距為d，且d=λ/2，快拍數(shù)為2 000，計算陣元數(shù)分別為3，5，8，10，12，15時的空間譜估計標準差。得到4種空間譜估計方法的DOA估計值隨陣元數(shù)變化的仿真結(jié)果如圖3所示。

由圖3可分析如下。

1)在陣元數(shù)分別為3，5的情況下，MP-DOA算法、MUSIC算法、ESPRIT算法的估計精準度幾乎為零，標準差的計量已經(jīng)失去了意義。但是為了便于比較，將其計入。

2)在陣元數(shù)較少的情況下(≤8)，SP-DOA算法的空間譜估計精準，優(yōu)勢明顯。進一步表明SP算法更加適應陣元數(shù)稀少的情況。

3)當陣元數(shù)大于8時，4種算法的性能都得到充分發(fā)揮，其中，SP-DOA算法在陣元適應能力方面的優(yōu)勢是壓縮感知理論對信號的稀疏表示以及還原的強大能力的顯現(xiàn)。

4)至于同樣基于壓縮感知理論的MP-DOA算法沒有體現(xiàn)出這種優(yōu)勢的原因，在于這種算法在原子篩選的過程中，運用的是對于陣元的累加而非對最值進行篩選，故其對陣元數(shù)的依賴性較大。

圖3　4種算法受陣元數(shù)影響對比圖Fig.3　Comparison on four kinds of algorithms at number of sensors

3.5對信源數(shù)的包容能力性能分析

接收陣列為均勻線性陣列，陣元數(shù)目N=0，快拍數(shù)為2 000，SNR為10 dB，信號的中心頻率為f，其對應的波長為λ，陣元之間的間距為d，且d=λ/2，7種信源情況分別如下。

1)5個信源：(-64,-30,20,45,70)；

2)6個信源：(-75,-42,-20,10,30,50)；

3)7個信源：(-75,-60,-42,10,20,30,50)；

4)8個信源：(-50,-30,-15,10,20,42,60,75)；

5)9個信源：(-80,-50,-30,-15,10,20,42,60,75)；

6)10個信源：(-80,-68,-50,-30,-15,10,20,42,60,75)；

7)12個信源：(-85,-80,-68,-50,-30,15,10,20,42,60,75,85)。

分析在這7種信源情況下的MP-DOA算法、SP-DOA算法、MUSIC算法以及ESPRIT算法的空間譜估計正確率(誤差不超過±2皆視為正確)。通過運行MATLAB程序，現(xiàn)將4種算法基于信源數(shù)量的正確率結(jié)果統(tǒng)計如表1所示。

由表1的結(jié)果進行分析對比，SP-DOA，MP-DOA算法在多信源情況下(信源數(shù)≥10)空間譜估計的正確率遠遠大于傳統(tǒng)算法。這也表現(xiàn)了壓縮感知算法在信號稀疏表示方面的優(yōu)勢。當信源的信息容量較大時，基于壓縮感知理論的DOA估計算法能很好地從大容量信息中篩選出信號有用的特征信息，從而實現(xiàn)有效估計。

表1　4種算法基于信源數(shù)量的正確率(單位：%)Tab.1　Accuracy of four kinds of algorithms based on the number of signal sources(unit：%)

4　結(jié)束語

本文研究了2種基于壓縮感知的DOA估計算法，并進行仿真實驗與對比分析，結(jié)果表明，運用SP-DOA算法和MP-DOA算法可直接實現(xiàn)對相干信源DOA的估計，SP-DOA算法和MP-DOA算法較經(jīng)典算法具有更強的抗噪聲性能；在DOA估計算法受陣元數(shù)影響的指標中，SP-DOA算法性能優(yōu)越性明顯；在對信源數(shù)目的包容方面，SP-DOA算法和MP-DOA算法的性能要好于經(jīng)典算法。這充分表明壓縮感知理論運用到DOA估計的良好效果，體現(xiàn)了壓縮感知理論的優(yōu)勢所在。

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夏莘媛(1992-)，女，湖南人，碩士研究生，主要研究方向為通信信息處理技術(shù)。E-mail: will_9898@sina.com。

高鵬飛(1982-)，男，山東乳山人，碩士，主要研究方向為智能信息處理。E-mail:712717@163.com。

戴靜(1988-)，女，河北秦皇島人，碩士，主要研究方向為通信與信息系統(tǒng)。E-mail:djmagic@163.com。

(編輯：王敏琦)

s：The National Natural Science Foundation of China (51208168);The Tianjin Natural Science Foundation(11JCYBJC00900,13JCYBJC37700);The Hebei Province Natural Science Foundation (F2013202254, F2013202102); The Hebei Province Foundation for Returned Scholars (C2012003038)

DOA estimation algorithms in smart antennas based on compressed sensing

XIA Xinyuan1， GAO Pengfei2， DAI Jing3

(1.School of Electronics and Information Engineering,Hebei University of Technology, Tianjin 300401, P.R. China; 2.Troop 95900 of PLA,Kaifeng 475000, P.R. China; 3.Qian’an College, North China University of Science and Technology, Qian’an 064400, P.R. China)

Direction of arrival(DOA) estimation is realized by using antenna array with a certain spatial structure to estimate the arrival direction of space signal source. In order to solve the shortcomings in spatial spectrum resolution and anti-noise property of MUSIC algorithm and ESPRIT algorithm used in DOA estimation in smart antennas, based on the theory of compressed sensing basic idea of the greedy algorithm, the matching pursuit (MP)algorithm and subspace pursuit (SP) algorithm are applied in DOA estimation. Two new algorithms including MP-DOA and SP-DOA are presented, which mainly include the processes of the establishment of dictionary, the projection of signals, the screening of the best matching atom and the feature extraction of signals. The simulation experiment and analysis indicate that the MP-DOA algorithm is superior to other three algorithms in low SNR, and SP-DOA algorithm is superior to other three algorithms in angular resolution and number of signal sources inclusive. The superiority of compressed sensing theory is also verified.

direction of arrival estimation；compressed sensing ；matching pursuit(MP) algorithm ；subspace pursuit(SP) algorithm

10.3979/j.issn.1673-825X.2016.05.014

2015-02-21

2015-10-15通訊作者：戴靜djmagic@163.com

國家自然科學基金(51208168)；天津市自然科學基金(11JCYBJC00900, 13JCYBJC37700)；河北省自然科學基金(F2013202254, F2013202102)；河北省引進留學人員基金(C2012003038)

TN929.5

A

1673-825X(2016)05-0701-06