蘇紅芬

在小學(xué)階段同學(xué)們就已經(jīng)學(xué)過(guò)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的方法.設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，[…]，xn，我們將[x][=x1+x2+…+xnn]叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，簡(jiǎn)稱平均數(shù).平均數(shù)通常可以用來(lái)表示一組數(shù)據(jù)的“集中趨勢(shì)”.而有些實(shí)際問(wèn)題用算術(shù)平均數(shù)不能解決問(wèn)題，一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，不僅與這組數(shù)據(jù)中各個(gè)數(shù)據(jù)的值有關(guān)，而且與各個(gè)數(shù)據(jù)的“重要程度”有關(guān)，我們把衡量各個(gè)數(shù)據(jù)“重要程度”的數(shù)值叫做權(quán)，設(shè)有n個(gè)數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，各個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的權(quán)w1，w2，[…]，wn，我們將[x=x1w1+x2w2+…+xnwnw1+w2+…+wn]叫做這n個(gè)數(shù)據(jù)的加權(quán)平均數(shù).在實(shí)際的學(xué)習(xí)過(guò)程中，同學(xué)們對(duì)“權(quán)”的含義以及“權(quán)”對(duì)結(jié)果的影響理解起來(lái)往往比較困難，下面我們將結(jié)合蘇科版九年級(jí)上冊(cè)3.1平均數(shù)第二課時(shí)的例題進(jìn)行深入探究.

一、還原例題，變式應(yīng)用

問(wèn)題1：為了解某市九年級(jí)學(xué)生開展“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的情況，抽樣調(diào)查了該市200名九年級(jí)學(xué)生上學(xué)期參加“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的天數(shù)，并根據(jù)調(diào)查所得的數(shù)據(jù)繪制條形統(tǒng)計(jì)圖如下：

求這200名學(xué)生參加“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的平均天數(shù).

【解析】這200名學(xué)生參加“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)的平均天數(shù)，不僅與參加活動(dòng)的天數(shù)有關(guān)，還與相應(yīng)的人數(shù)有關(guān)，人數(shù)10、30、60、50、50分別是天數(shù)2、3、4、5、6的權(quán)，因此正確的算法[x][=2×10+3×30+4×60+5×50+6×50200][=]4.5（天）.

【變式1】為了解某小區(qū)居民的日用電情況，居住在該小區(qū)的一名同學(xué)隨機(jī)抽查了15戶家庭的日用電量，結(jié)果如下表：

求平均日用電量.

【解析】平均日用電量不僅與日用電量有關(guān)，還與戶數(shù)有關(guān)，戶數(shù)2、5、4、3、1分別是日用電量5、6、7、8、10的權(quán)，因此[x=5×2+6×5+7×4+8×3+10×12+5+4+3+1]=6.8（千瓦/時(shí)）.

【變式2】為了考察東昌府區(qū)13歲男生的平均身高，從中隨機(jī)抽取了240人，測(cè)得他們的身高（單位：厘米）如下表所示：

計(jì)算這個(gè)樣本的平均數(shù)（精確到1厘米），并由此估算出全區(qū)13歲男孩的平均身高.

【解析】這個(gè)樣本的平均數(shù)不僅與身高有關(guān)，還與人數(shù)有關(guān)，人數(shù)2、10、16、56、70、56、20、8、2分別是身高140、141、142、143、144、145、146、147、148的權(quán)，因此[x]=144 （厘米）.

問(wèn)題2：某電視臺(tái)要招聘1名記者，甲、乙、丙三人應(yīng)聘參加了3項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試，成績(jī)?nèi)缦拢▎挝唬悍郑?/p>

（1）如果采訪寫作、計(jì)算機(jī)操作和創(chuàng)意設(shè)計(jì)的成績(jī)按5：2：3計(jì)算，那么三個(gè)人的素質(zhì)測(cè)試平均成績(jī)各為多少？

（2）如果采訪寫作、計(jì)算機(jī)操作和創(chuàng)意設(shè)計(jì)成績(jī)按4：2：4計(jì)算，那么哪個(gè)人的素質(zhì)測(cè)試平均成績(jī)高？

【解析】采訪寫作、計(jì)算機(jī)操作、創(chuàng)意設(shè)計(jì)的重要程度不一樣，（1）中5、2、3分別是這三項(xiàng)成績(jī)的權(quán)，因此

甲得分[70×5+60×2+86×35+2+3=72.8]（分），

乙得分[90×5+75×2+51×35+2+3=75.3]（分），

丙得分[60×5+84×2+78×35+2+3=70.2]（分），

所以選乙.

（2）中4、2、4分別是這三項(xiàng)成績(jī)的權(quán)，因此

甲得分[70×4+60×2+86×44+2+4=74.4]（分），

乙得分[90×4+75×2+51×44+2+4=71.4]（分），

丙得分[60×4+84×2+78×44+2+4=72]（分），

所以選甲.

通過(guò)（1）與（2）的辨析，再次感受到了權(quán)不同，數(shù)據(jù)的重要程度不同，結(jié)果也就不同.

【變式1】某報(bào)社在面試職員招聘中，甲、乙、丙三人的各項(xiàng)得分如下表：

（1）如果根據(jù)三項(xiàng)得分的平均數(shù)從高到低確定名次，那么三人的排名順序怎樣？

（2）如果你是主考官，報(bào)社需要招聘一名記者，該如何設(shè)計(jì)三個(gè)項(xiàng)目的比重？誰(shuí)是最佳人選？

（3）如果你是主考官，報(bào)社需要招聘一名編輯，又該如何調(diào)整三個(gè)項(xiàng)目的比重？誰(shuí)又是最佳人選？

【解析】（1）中甲的平均分[88+81+863]=85 （分），乙的平均分[90+82+833]=85（分），丙的平均分[79+93+833]=85（分），發(fā)現(xiàn)三人的平均分相同，不能一決高下.由此引申出第二個(gè)問(wèn)題，如果招聘一名記者，口頭表達(dá)與公關(guān)能力要求比較高，這兩項(xiàng)分?jǐn)?shù)所占的比重應(yīng)該大一些，所以我們可以設(shè)計(jì)成文字表達(dá)、口頭表達(dá)、公關(guān)能力分別占20% 、50% 、 30%，于是可以計(jì)算出：

如果報(bào)社要招聘的是一名編輯，那么對(duì)文字表達(dá)要求比較高，口頭表達(dá)和公關(guān)能力要求相對(duì)較弱，所以可以設(shè)計(jì)成文字表達(dá)、口頭表達(dá)、公關(guān)能力分別占50% 、 25%、 25%，于是可以計(jì)算出：

所以選乙.通過(guò)剛才三次計(jì)算的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)每一次的結(jié)果都發(fā)生了變化，權(quán)越大，對(duì)結(jié)果影響越大.那么在做決策時(shí)如何利用好“權(quán)”，可以按照各個(gè)項(xiàng)目的重要程度來(lái)確定比重，如果一個(gè)項(xiàng)目很重要，則分配“權(quán)”要多一些，“權(quán)”對(duì)決策起重要作用.

【變式2】某球隊(duì)欲挑選一名籃球新秀，現(xiàn)有 3 名候選人，教練對(duì)其進(jìn)行 3 項(xiàng)素質(zhì)測(cè)試，測(cè)試結(jié)果如下表所示.

（注：為了方便計(jì)算，每次籃板或助攻計(jì) 1 分）.

如果你是教練，你將以怎樣的方式選擇新秀？寫出你的方法并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明.

【解析】前鋒：對(duì)隊(duì)員的投籃能力要求較高，籃板和助攻次重要. 中鋒：對(duì)隊(duì)員的籃板能力要求較高，投籃和助攻次重要. 后衛(wèi)：對(duì)隊(duì)員的助攻能力要求較高，投籃和籃板次重要.作為教練，你想選擇的球員是哪個(gè)位置的？

（1）如果想選擇的是前鋒.投籃所占的比重要高一些，所以可以設(shè)計(jì)成投籃、籃板、助攻按6：2：2計(jì)算.

甲的得分[19×6+13×2+13×26+2+2=16.6]（分），

乙的得分[25×6+15×2+2×26+2+2=18.4]（分），

丙的得分[18×6+19×2+6×26+2+2=15.8]（分），

所以選乙.

（2）如果想選擇的是中鋒.籃板所占的比重要高一些，所以可以設(shè)計(jì)成投籃、籃板、助攻按2：6：2計(jì)算.

甲的得分=[14.2]（分），

乙的得分=[14.4]（分），

丙的得分=16.2（分）.

所以選丙.

（3）如果想選擇的是后衛(wèi).助攻所占的比重要高一些，所以可以設(shè)計(jì)成投籃、籃板、助攻按2：2：6計(jì)算.

甲的得分=[14.2]（分），

乙的得分=[9.2]（分），

丙的得分=[11]（分）.

所以選甲.

同學(xué)們通過(guò)解決這樣的實(shí)際問(wèn)題，會(huì)進(jìn)一步體會(huì)加權(quán)平均數(shù)對(duì)于計(jì)算平均數(shù)的重要性，同時(shí)開放性問(wèn)題將會(huì)給同學(xué)們提供更大的思維空間，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力和方法，更進(jìn)一步了解“權(quán)”對(duì)于各個(gè)數(shù)據(jù)的重要程度.

（作者單位：江蘇省常州市武進(jìn)區(qū)湖塘實(shí)驗(yàn)中學(xué)）