李冬雪
湖北襄陽諸葛亮中學(xué)
平衡力是洛倫茲變換下的不變量
李冬雪
湖北襄陽諸葛亮中學(xué)
本文將證明平衡力是洛倫茲變換下的不變量,解決了非加速力在狹義相對(duì)論中的變換問題,并基于此提出了平衡力不變原理。
狹義相對(duì)論;平衡力;洛倫茲變換;S系;坐標(biāo)變換;S’系
光速不變原理是從實(shí)驗(yàn)概括出來的,也是狹義相對(duì)論【1】基本假設(shè)之一。而長度、時(shí)間、速度都是洛倫茲變換下的協(xié)變量。一般認(rèn)為,相對(duì)論力學(xué)中,力也是洛倫茲變換下的協(xié)變量。變換方程可由洛倫茲變換和力學(xué)定律推出。
由于牛頓力學(xué)方程F=dp?dt,力與時(shí)間相關(guān),這引起力有一個(gè)變換式。設(shè)S及S’為慣性系,S’系相對(duì)S系速度為u沿X軸正向移動(dòng),在S系及S’系建立笛卡爾坐標(biāo),S(x,y,z)
S’(x’,y’,z’),S’中的X’軸與S中的X軸重合,S’在S中以速度u沿X軸正向移動(dòng)。因此,力的變換為:
C為光速,物體在S’系速度。
當(dāng)只有平衡力作用在物體上,物體會(huì)保持勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或靜止?fàn)顟B(tài)。因此F=dp?dt=0表示物體受合力為零,雖然如此,平衡力的存在可表現(xiàn)為使物體形狀發(fā)生變化,而不是使動(dòng)量p發(fā)生變化。若是物體為一彈簧,作用在其上一對(duì)平衡力大小F=kΔx,Δx為彈簧受力與不受力時(shí)的長度差,稱為伸長量。
那么,平衡力否也遵循力的相對(duì)論變換呢?平衡力的合力為零,如果將平衡力的合力在不同慣性系變換,按相對(duì)論力的變換公式合力仍為零。那么,一對(duì)平衡力是否也單獨(dú)遵循力的相對(duì)論變換呢?如果,平衡力單獨(dú)遵循力的相對(duì)論變換,變換后再合成,其合力仍為零。這樣認(rèn)為的確是一種方便的作法,但也是不可靠的。因?yàn)椋胶饬Φ暮狭榱?,其效果(使物體發(fā)生形變)與時(shí)間沒有關(guān)系,所以,平衡力是否單獨(dú)變換不能夠按通常的做法由力學(xué)定律及洛倫茲變換共同推出,只能由平衡力的效果,即使物體發(fā)生可測形變大小來推出。
而非平衡力的相對(duì)論變換與時(shí)間t有不可分割的關(guān)系,要遵循力的相對(duì)論變換式1—1。
彈簧的伸長可測量力的大小,平衡力可以用彈簧的伸長測定。設(shè)計(jì)如圖裝置:物體A只能沿管m內(nèi)運(yùn)動(dòng),物體B只能沿管n運(yùn)動(dòng)。A物體和B物體之間存在斥力,m、n只可沿與其垂直方向,就是沿Y軸運(yùn)動(dòng),有彈簧在其中間。設(shè)有慣性系S(x,y,z)S’(x’,y’,z’),軸X、X’與管m、n平行。
圖 2—1
A物體受B物體Z正向斥力和m管給它的負(fù)Z方向的壓力,B物體受A的負(fù)Z方向的斥力和管n給它的Z向的壓力。當(dāng)整個(gè)裝置穩(wěn)定不動(dòng)時(shí),A、B受平衡力,彈簧顯示
(△x)A與B斥力的大小。
狀態(tài)1:S’系相對(duì)S系靜止,此時(shí),S系有甲、乙兩個(gè)測量員用相同的尺子測彈簧長度,他們測得值相同。
狀態(tài)2:甲發(fā)現(xiàn)乙測量員與S’系、彈簧、兩管m、n及物體A、B一起向右運(yùn)動(dòng)起來,穩(wěn)定后,S’系相對(duì)于S系速度為V,S系與S’系都是慣性系,S’系沿X軸正方向運(yùn)動(dòng)。而在乙看來,甲同S系一起以—V速度沿X軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)。對(duì)乙來說,彈簧和A、B物體一直相對(duì)他靜止。乙這時(shí)又測了一次彈簧長度,發(fā)現(xiàn)與前一次測得結(jié)果相同。甲這時(shí)發(fā)現(xiàn)乙的尺子豎直(沿Z’軸)和自己的尺子一樣長,他對(duì)照乙的尺子將乙的測量結(jié)果標(biāo)在自己的尺子上,而乙的測量結(jié)果在S’系與彈簧等長,甲實(shí)際上又測了一次彈簧長度。由于乙發(fā)現(xiàn)彈簧長度未變,所以甲也發(fā)現(xiàn)彈簧長度未變。兩個(gè)系彈簧伸長也相同有△x=△x’
甲知道相對(duì)論的結(jié)果,當(dāng)尺與速度方向平行時(shí),會(huì)有洛倫茲收縮,但他們的尺子都與速度方向垂直,不會(huì)收縮,應(yīng)當(dāng)測到相同的值。
設(shè)△x是在S系彈簧伸長,△x’是在S’系彈簧伸長,就有△x=△x’
現(xiàn)在假設(shè):“每個(gè)平衡力之一是單獨(dú)遵循相對(duì)論力的變換的。設(shè)彈簧在S系受拉力Fz,在S’系受拉力Fz’
在狀態(tài)1,S系與S’系相對(duì)靜止。顯然,F(xiàn)z=Fz’由于Fz=k△x Fz’=k’△x’測得△x=△x’推出k=k’
在狀態(tài)2,S’系相對(duì)S系以速度V運(yùn)動(dòng),按平衡力單獨(dú)遵循相對(duì)論力的變換的假設(shè),有
由于Fz=k△x Fz’=k’△x’并且已經(jīng)證明狀態(tài)2有△x=△x’所以將Fz、Fz’代入(2)中會(huì)有k=由于γ0=(1->1所以k’>k而k’是靜止彈簧的倔強(qiáng)系數(shù),k是運(yùn)動(dòng)后的倔強(qiáng)系數(shù),所以此結(jié)果說明“彈簧倔強(qiáng)系數(shù)由于運(yùn)動(dòng)變小了”。
這個(gè)結(jié)果對(duì)不對(duì)呢?讓我們看另一種情況。
狀態(tài)3:這時(shí)甲看到彈簧停止了運(yùn)動(dòng),而乙與電荷仍以速度V向X軸正方向運(yùn)動(dòng),同時(shí)乙看到彈簧與甲一起向X軸負(fù)方向以-V速度運(yùn)動(dòng)。
甲這時(shí)想到,彈簧停止了運(yùn)動(dòng),不再是“倔強(qiáng)系數(shù)由于運(yùn)動(dòng)變小”,倔強(qiáng)系數(shù)比狀態(tài)2變大了,而A、B物體間斥力不變,彈簧伸長量將變小,這時(shí)測得彈簧長度應(yīng)比狀態(tài)2小。
乙這時(shí)想到,彈簧運(yùn)動(dòng)了,它的“倔強(qiáng)系數(shù)由于運(yùn)動(dòng)變小”。而A、B物體間斥力不變,所以彈簧應(yīng)伸得更長,彈簧長度應(yīng)測得比狀態(tài)2變大。
如果真的按他們的想法會(huì)測出不同的結(jié)果嗎?我們知道,甲、乙兩個(gè)測量員的尺子沿Z軸方向放置長度是相同的,根據(jù)前面的分析對(duì)同一根彈簧現(xiàn)在測得的值應(yīng)該相同,由此測量與推斷發(fā)生矛盾。
由于矛盾的存在,前述k=即“彈簧倔強(qiáng)系數(shù)由于運(yùn)動(dòng)變小了”肯定是錯(cuò)誤的,這里我們認(rèn)定k與k’的值與運(yùn)動(dòng)狀態(tài)無關(guān)可使矛盾得以解決。又因?yàn)椤皬椈删髲?qiáng)系數(shù)由于運(yùn)動(dòng)變小了”是“平衡力是單獨(dú)遵循相對(duì)論力的變換”這一假設(shè)的直接結(jié)果。顯然,“平衡力是單獨(dú)遵循相對(duì)論力的變換”這一假設(shè)錯(cuò)誤。我們還可以類似的證明除非認(rèn)為在不同的慣性系之間平衡力Fz=Fz’,任何其他的變換都會(huì)引起矛盾的結(jié)果。
這里我們能得出的唯一結(jié)論是:“平衡力在不同慣性系中是大小不變的”,在我們討論的情況下,彈簧伸長的方向,也就是力的方向,也是不變的。于是,我們得到了平衡力不變的原理。
應(yīng)當(dāng)指出前面的討論,平衡力與彈簧運(yùn)動(dòng)方向垂直是較特殊的方向,普遍方向的平衡力不變原理這里就不再討論,以上結(jié)果足夠后面的討論了。
[1]《相對(duì)論的意義》A.愛因斯坦著.李灝譯.科學(xué)出版社1961,22-23
李冬雪(1972-),男,漢族,黑龍江省肇東人,中學(xué)一級(jí)職稱,本科,湖北襄陽諸葛亮中學(xué),研究方向:電磁學(xué)。