胡磊

構(gòu)造法是解決導(dǎo)數(shù)問題的重要方法之一，許多導(dǎo)數(shù)問題的解決需要巧妙的構(gòu)造函數(shù).如何構(gòu)造函數(shù)顯得非常重要，下面剖析幾例.

一、特征構(gòu)造

例1（2016·銀川二模）f（x）是定義在非零實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，f′（x）為其導(dǎo)函數(shù)，且x>0時，xf′（x）-f（x）<0，記a=f（20.2）20.2，b=f（0.22）0.22，c=f（log25）log25，則（）

A. a

C. c

分析：令g（x）=f（x）x，通過求導(dǎo)得到g（x）的單調(diào)性，從而解決問題.

解：令g（x）=f（x）x，則g′（x）=xf′（x）-f（x）x2，

∵x>0時，xf′（x）-f（x）<0，∴g（x）在（0，+∞）遞減，

又log25>log24=2，1<20.2<2，0.22=0.04，

∴l(xiāng)og25>20.2>0.22，

∴g（log25）

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查了指數(shù)、對數(shù)的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)所比較的三個數(shù)，合理構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

二、變形后構(gòu)造函數(shù)

例2（2016·合肥二模）定義在R上的偶函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），若對任意的實(shí)數(shù)x，都有2f（x）+xf′（x）<2恒成立，則使x2f（x）-f（1）

A. {x|x≠±1}B. （-∞，-1）∪（1，+∞）

C. （-1，1）D. （-1，0）∪（0，1）

分析：根據(jù)已知條件構(gòu)造合適的函數(shù)，對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出x>0時的取值范圍，并根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)，求出x<0時的取值范圍.

解：當(dāng)x>0時，由2f（x）+xf′（x）-2<0：兩邊同乘以x得：

2xf（x）+x2f′（x）-2x<0.

設(shè)g（x）=x2f（x）-x2，則g′（x）=2xf（x）+x2f′（x）-2x<0，恒成立：

∴g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，由x2f（x）-f（1）

∴x2f（x）-x2

即x>1；

當(dāng)x<0時，函數(shù)是偶函數(shù)，同理得：x<-1.

綜上可知：實(shí)數(shù)x的取值范圍為（-∞，-1）∪（1，+∞），故選：B.

點(diǎn)評：主要根據(jù)已知構(gòu)造合適的函數(shù)，函數(shù)求導(dǎo)，并通過求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，并應(yīng)用偶函數(shù)的性質(zhì)，求對稱區(qū)間上的解.解決本題需要注意對x的討論.

三、移項法構(gòu)造函數(shù)

例3（2016·江西模擬）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（3x-1）-ax+a，其中a<1，若僅有一個整數(shù)x0，使得f（x0）<0，則a的取值范圍是（）

A. [-2e，1）B. [-2e，34）

C. [2e，34）D. [2e，1）

分析：設(shè)g（x）=ex（3x-1），h（x）=ax-a，對g（x）求導(dǎo)，將問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x0使得g（x0）在直線h（x）=ax-a的下方，求導(dǎo)數(shù)可得函數(shù)的極值，解g（-1）-h（-1）=-4e-1+2a≥0，求得a的取值范圍.

解：設(shè)g（x）=ex（3x-1），h（x）=ax-a，則g′（x）=ex（3x+2），

∴x∈（-∞，-23），g′（x）<0，g（x）單調(diào)遞減，x∈（-23，+∞），g′（x）>0，g（x）單調(diào)遞增，∴x=-23，取最小值-3e-23，∴g（0）=-1<-a=h（0），

g（1）-h（1）=2e>0，直線h（x）=ax-a恒過定點(diǎn)（1，0）且斜率為a，

∴g（-1）-h（-1）=-4e-1+2a≥0，∴a≥2e，a<1，∴a的取值范圍[2e，1）.故答案選：D.

點(diǎn)評：本題考查求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值問題，涉及轉(zhuǎn)化的思想，解決本題可以畫出圖象，利用圖象之間的位置關(guān)系幫助理解解題過程.

四、作差后構(gòu)造

例4（2016·遼寧模擬）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）x（x>0）.

（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；

（2）證明：f（x）>2x+2.

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)和最值的關(guān)系即可求出；

（2）令h（x）=ln（1+x）-2xx+2，利用導(dǎo)數(shù)和最值的關(guān)系即可證明.

解：（1）∵f（x）=ln（1+x）x（x>0），

∴f′（x）=x1+x-ln（1+x）x2（x>0），

設(shè)g（x）=x1+x-ln（1+x），x>0，

∴g′（x）=1+x-x（1+x）2-11+x=-x（1+x）2<0，

∴g（x）在（0，+∞）為減函數(shù)，

∴g（x）

∴f′（x）<0，∴f（x）在（0，+∞）為減函數(shù).

（2）令h（x）=ln（1+x）-2xx+2，

∴h′（x）=x2（x+1）（2+x）2，

x>0時，h′（x）>0，∴h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

∴h（x）>h（0）=0，∴l(xiāng)n（1+x）>2xx+2，從而，x>0時，f（x）>2x+2得證.

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，考查了轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)了同學(xué)們的運(yùn)算能力，分析解決問題的能力，屬于中檔題.