黃旭東

(湖北省黃石市第一中學(xué)，435000)

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“相等”來搭橋天塹變通途
——談不等式等號成立條件的簡單應(yīng)用

黃旭東

(湖北省黃石市第一中學(xué)，435000)

在中學(xué)階段,常常利用一些基本不等式或一些重要不等式進(jìn)行證明或求最值,其應(yīng)用相當(dāng)廣泛．而在實(shí)際運(yùn)用過程中,一些同學(xué)常常忽視了不等式等號成立的條件,進(jìn)而造成了一些錯(cuò)誤,甚至造成一些題目無法獲解．實(shí)際上,基本不等式與重要不等式等號成立的條件應(yīng)用相當(dāng)廣泛,甚至在一些較難題目中,靈活運(yùn)用“相等”來搭橋,天塹也會變通途!

一、證明不等式

由a2+b2+c2=1，得

故原不等式成立.

評注對于一些輪換條件不等式,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)各參數(shù)值相等;對一些非輪換條件不等式，有時(shí)可考慮用比例法取等號，再結(jié)合均值不等式等號成立條件配相應(yīng)因子,從而使問題向所證目標(biāo)順利轉(zhuǎn)化．

二、巧解方程與不定方程

例3求方程3(ab+bc+ac)=2abc的所有正整數(shù)解.

7≤b≤12,b∈N*.

又由c∈N*,可得

由(1)(2)(3)知,滿足條件的解集為{(2,7,42),(2,8,24),(2,9,18),(2,10,15),(2,12,12),(3,4,12),(3,5,15),(3,6,6),(4,3,12),(4,4,6)}.

評注一些表面很繁雜的方程有時(shí)暗含某些基本不等式或一些重要不等式等號成立的條件,若能有效觀察出,問題將輕易獲解.例2便是暗含柯西不等式等號成立條件;而有些復(fù)雜的不定方程,有時(shí)通過不等式等號成立條件使變量放縮,縮小變量范圍,再逐步討論解出.

三、巧求多變量參數(shù)

解4a2-2ab+4b2-c

=(2a+b)2-6ab+3b2-c

=(2a+b)2-3b(2a-b)-c

等號成立條件為2b=2a-b，即3b=2a.

此時(shí)c=(3b)2-3b·b+4b2=10b2,

評注一些多變量不等式中求其值,往往考慮不等式等號成立條件或兩邊夾思想．

四、在三角中的應(yīng)用

例5函數(shù)y=7sin x-24cos x取最小值時(shí)，sin x=______.

解y2=(7sin x-24cos x)2≤[72+(-24)2](sin2x+cos2x)=625,則有

|y|≤25,ymin=-25,

等號成立條件為

故有-25=7×7k-24(-24k)=625k，

例6已知?ABC中,AC=8,AB=c,且S?ABC=4+c2,求?ABC內(nèi)切圓半徑.

五、在幾何中的應(yīng)用

解由

=2 0162，

知不等式等號成立,故有

得a2+b2=2 016(a≥0,b≥0).

①

又3=AD+BC+AC

故有AD·BC·AC≤2.

②

評注不等式等號成立條件在幾何中的應(yīng)用充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)世界中“動靜”互變,“不等”中含“等”的獨(dú)特魅力!同時(shí)也充分驗(yàn)證了代數(shù)與幾何是兩個(gè)孿生兄弟的格言!

可以看出，上面的f(x)滿足的條件中x的系數(shù)一個(gè)為1，另一個(gè)為-1時(shí),函數(shù)f(x)存在對稱中心.