張業(yè)山　蘇凡文

(山東省寧陽(yáng)一中，271400)

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一道高考試題的三種解法

張業(yè)山蘇凡文

(山東省寧陽(yáng)一中，271400)

題目(2016年山東高考題)已知

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

解(1)解題過(guò)程結(jié)論如下：

當(dāng)a≤0時(shí),f(x)的增區(qū)間為(0,1),減區(qū)間為(1,+∞);

當(dāng)a=2時(shí),f(x)增區(qū)間為(0,+∞);

(2)方法1(作差法)

令h(x)=x3+6x2+6x-24,顯然h(x)在[1,2]上為增函數(shù).

因?yàn)閔(1)=-11<0,h(2)=20>0,所以存在x1∈(1,2),使h(x1)=0.

(A)c

(C)b

練習(xí)2設(shè)函數(shù)f(x)在R上存在導(dǎo)函數(shù)f ′(x),?x∈R,有f(-x)+f(x)=x2,在(0,+∞)上,f(x)

(A)[-2,2]

(B) [2,+∞)

(C)[0,+∞)

練習(xí)3定義在(0,2)內(nèi)的函數(shù)f(x),f ′(x)是它的導(dǎo)函數(shù),且恒有f(x)

練習(xí)提示:1.設(shè)函數(shù) f(x)=-1；

3. 設(shè)函數(shù) f(x)=-1.

所以當(dāng)x∈(1,x1)時(shí)，h(x)<0,g″(x)<0,g′(x)為減函數(shù);

當(dāng)x∈(x1,2)時(shí)，h(x)>0,g″(x)>0,g′(x)為增函數(shù).

所以x∈(1,x2)時(shí),g′(x)>0,g(x)為增函數(shù);

x∈(x2,2)時(shí),g′(x)<0,g(x)為減函數(shù).

所以g(x)min=min{g(1),g(2)}.

方法2(比較法)

所以g(x)max=max{g(1),g(2)}.

>2.8-0.35-2.25=0.2>0，

方法3(放縮法)

設(shè)g(x)=x-ln x-1,x∈[1,2],則

所以g(x)在[1,2]上為增函數(shù),g(x)≥g(1)=0,所以x-ln x-1≥0,只需證明

所以h(x)min=min{h(1),h(2)}.

綜上，g(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào);h(x)≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=2時(shí)取等號(hào).