徐曉剛，徐冠雷，王孝通，秦緒佳，王建國(guó)，易成濤

（1.海軍大連艦艇學(xué)院，遼寧 大連 116018；2.浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，浙江 杭州 310023）

二維Hilbert變換研究*

徐曉剛1，徐冠雷1，王孝通1，秦緒佳2，王建國(guó)1，易成濤1

（1.海軍大連艦艇學(xué)院，遼寧 大連 116018；2.浙江工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)學(xué)院，浙江 杭州 310023）

Hilbert變換是信號(hào)處理的重要工具之一，具有許多優(yōu)良性能。對(duì)二維Hilbert變換研究工作進(jìn)行總結(jié)，分析傳統(tǒng)二維Hilbert變換、分?jǐn)?shù)階變換域內(nèi)的二維Hilbert變換、廣義分?jǐn)?shù)階變換域內(nèi)的二維Hilbert變換等各類(lèi)二維Hilbert變換的優(yōu)缺點(diǎn)，同時(shí)對(duì)與Hilbert變換密切相關(guān)的二維Bedrosian定理進(jìn)行分析，指出現(xiàn)有研究工作中存在的問(wèn)題和研究方向，以期能為Hilbert變換研究人員提供相關(guān)借鑒。

Hilbert變換；Fourier變換；Bedrosian定理；分?jǐn)?shù)階

0　引 言

受一維Hilbert變換良好性能的鼓舞，人們希望在二維信號(hào)（主要指圖象）處理上也能獲得良好的應(yīng)用。但研究中發(fā)現(xiàn)，二維Hilbert變換并不像想象的那么簡(jiǎn)單。二維信號(hào)的復(fù)雜性使一維Hilbert的簡(jiǎn)單推廣并不能取得良好的效果，為此人們進(jìn)行了多種探索，取得了一些新的成果。

隨著研究的深入和新技術(shù)的不斷涌現(xiàn)，人們希望在各種新領(lǐng)域獲得更多類(lèi)型的變換，以適應(yīng)不用類(lèi)型數(shù)據(jù)的分析、分解要求，使數(shù)據(jù)分析更加精確、有效。本文根據(jù)現(xiàn)有的工作，對(duì)Hilbert變換研究狀況進(jìn)行總結(jié)，并指出今后研究工作的方向。本文首先簡(jiǎn)單回顧一維Hilbert變換定義及其特性，然后重點(diǎn)對(duì)二維Hilbert變換從不同種類(lèi)角度出發(fā)，綜述其概念、特性、構(gòu)造及其應(yīng)用等。

1　一維Hilbert變換

一維Hilbert變換的基本定義為：

它的頻域表達(dá)式為：

式中，F(xiàn)｛ ｝為Fourier變換算子，sgn（ ）為符號(hào)算子。

Hilbert變換的基本思想：將原實(shí)數(shù)信號(hào)進(jìn)行Fourier變換得到Fourier頻譜，在Fourier頻譜中剔除負(fù)頻率部分，加倍正頻率部分幅值，然后對(duì)頻譜進(jìn)行Fourier逆變換得到復(fù)數(shù)信號(hào)。在時(shí)域內(nèi)表現(xiàn)為構(gòu)造復(fù)數(shù)信號(hào)：原實(shí)數(shù)信號(hào)作為實(shí)部，把原實(shí)數(shù)信號(hào)和核函數(shù)1/πt卷積結(jié)果作為虛部。

一維Hilbert變換的優(yōu)良性質(zhì)：Hilbert變換前后信號(hào)能量不變；把信號(hào)進(jìn)行了π/2相移；二次Hilbert變換后信號(hào)反向；四次Hilbert變換后，信號(hào)不變。此外，它的優(yōu)良特性還有時(shí)移不變性、縮放不變性、線性性質(zhì)和卷積特性等。

從上述性質(zhì)可以看出，Hilbert變換為求解幅度、相位信息提供了簡(jiǎn)潔、明了的方式，可以充分利用復(fù)數(shù)域的特殊性質(zhì)，為后續(xù)處理提供一種有效的預(yù)處理。因此，在信息通信、信號(hào)時(shí)頻分析、特征識(shí)別以及特征提取等方面，Hilbert變換都具有重要的應(yīng)用價(jià)值［1-4］。

2　二維Hilbert變換及多維擴(kuò)展

受一維Hilbert變換良好性能的鼓舞，人們希望在二維信號(hào)（主要指圖象）處理上也能獲得良好的應(yīng)用。但研究發(fā)現(xiàn)，先后提出的幾種二維Hilbert變換都沒(méi)有達(dá)到一維Hilbert變換的良好性能。目前，針對(duì)二維信號(hào)提出的典型Hilbert變換有：總體Hilbert變換（Total Hilbert Transform，THT）［5］，方向Hilbert變換（Partial Hilbert Transform，PHT）［6］，單象Hilbert變換（Single Orthant Hilbert Transform，SOHT）［7］，四元Hilbert變換（Quaternionic Hilbert Transform，QHT）［8］，二象Hilbert變換［9］以及單基解析信號(hào)變換［10］。

THT思想比較簡(jiǎn)單，即將一維信號(hào)卷積核進(jìn)行簡(jiǎn)單擴(kuò)展，直接應(yīng)用于二維信號(hào)的卷積處理，起到了“十”字形帶限濾波器的作用。一方面它把某些信號(hào)進(jìn)行了±π相移，另一方面THT在頻域內(nèi)保留了關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)象限的能量。因此，THT變換后的信號(hào)能量產(chǎn)生了丟失，即丟失了橫向和縱向等數(shù)據(jù)信息。基于這兩個(gè)主要缺陷，THT不再具有一維Hilbert的各種性質(zhì)。此外，THT雖然在時(shí)域形式上拷貝了一維Hilbert的思想，但是由于二維信號(hào)的復(fù)雜性，最終導(dǎo)致其在功能和性質(zhì)上出現(xiàn)了完全背離。目前，THT只作為一種理論探討的形式出現(xiàn)，實(shí)際工程應(yīng)用并不多見(jiàn)。

PHT更直接，即把一維Hilbert變換在橫向和縱向上各做1次。PHT只是一味從形式上借鑒一維Hilbert變換，而沒(méi)有從一維Hilbert變換的目的和結(jié)果的角度進(jìn)行核函數(shù)的構(gòu)造，從而造成在縱橫方向上信息的交錯(cuò)丟失。

SOHT試圖克服THT、PHT的不足，仿照一維Hilbert變換的思想進(jìn)行構(gòu)造，即對(duì)某些信號(hào)進(jìn)行強(qiáng)烈加強(qiáng)，而對(duì)其他信號(hào)進(jìn)行抑制。SOHT具有一定的壓縮冗余作用，但由于只保留了部分能量，也就丟失了部分信息，無(wú)法恢復(fù)原數(shù)據(jù)。

QHT是在SOHT和超F(xiàn)ourier變換（Hypercomplex Fourier transforms，HFT）［11-12］基礎(chǔ)上發(fā)展出來(lái)的。QHT構(gòu)造的思想和SOHT一致，但其不局限于常規(guī)的Fourier變換，而是采用了更為復(fù)雜的四元Fourier變換替換常規(guī)的Fourier變換。QHT可以獲得一些良好性能以彌補(bǔ)SOHT的不足，但是QHT卻把信號(hào)復(fù)雜化了，也不再具有冗余壓縮的特性。

與一維Hilbert變換相比，上述四種變換或多或少失去了部分優(yōu)良特性，包括將信號(hào)進(jìn)行π/2相移的優(yōu)良特性，且適用范圍和應(yīng)用場(chǎng)合都受到了一定的限制。例如，對(duì)于給定的信號(hào)，采用上面任何一種變換都會(huì)產(chǎn)生無(wú)法預(yù)知的信息丟失，無(wú)法保證將其正確地轉(zhuǎn)換成復(fù)數(shù)信號(hào)?？梢?jiàn)，在構(gòu)造二維Hilbert變換時(shí)，上述方法都沒(méi)有從圖象的特點(diǎn)出發(fā)，或者只是形式上的模仿，或者只是簡(jiǎn)單地將圖象認(rèn)為是兩類(lèi)一維信號(hào)的疊加，因此不能涵蓋圖象所有方向上的特征。QHT雖已力圖解決這種問(wèn)題，但通過(guò)多次卷積迭加來(lái)實(shí)現(xiàn)的思路顯然不夠。圖象信息分布于各個(gè)方向，單獨(dú)從時(shí)域上看，不便于進(jìn)行一次性處理。

2007年，徐等從頻域角度出發(fā)，構(gòu)造了一種新的二維Hilbert變換——標(biāo)準(zhǔn)二象Hilbert變換［9］。實(shí)驗(yàn)證明，這種變換具備了一維Hilbert變換的全部?jī)?yōu)良性能，包括π/2相移的特性。此外，文獻(xiàn)［9］還給出了其他一些非標(biāo)準(zhǔn)二象Hilbert變換。這些變換具有各自獨(dú)特的性能，如將不同信號(hào)分別進(jìn)行π/2相移和π相移，將不同頻率信號(hào)進(jìn)行加倍或者消除等。二象Hilbert變換的特性為圖像分析、處理提供了一種有效工具，先后應(yīng)用于紋理分割、圖象增強(qiáng)、邊緣提取、圖象濾波等方面［9，13-16］。

單基解析信號(hào)變換則采用矢量的形式［10］，把X、Y方向Hilbert變換進(jìn)行矢量組合，獲得了具有良好特性的矢量Hilbert變換。但是，單基解析信號(hào)變換本質(zhì)上仍然是兩個(gè)方向上一維Hilbert變換的組合，只不過(guò)這種組合方式首次引入矢量概念，可以有效解決某些矢量信號(hào)的變換分析。

在獲得二象Hilbert變換后，文獻(xiàn)［16］給出了多維Hilbert變換的通式。從通式可以看出，一維Hilbert變換和二象Hilbert變換分別是Hilbert變換通式在n=1和n=2情況下的特例。通式的建立為Hilbert變換指明了方向，便于進(jìn)行理論分析和指導(dǎo)。同時(shí)，多維Hilbert變換為實(shí)現(xiàn)多維信息的處理提供了一個(gè)有效工具。

3　廣義變換域的二維Hilbert變換

3.1 分?jǐn)?shù)階變換域內(nèi)的二維Hilbert變換

分?jǐn)?shù)階Fourier變換（FRFT）與線性正則變換（LCT）是兩種正得到越來(lái)越多關(guān)注的研究領(lǐng)域。盡管分?jǐn)?shù)階Fourier變換可以看作線性正則變換的特例，但是人們前期的工作表明，這兩種變換具有很多不同的應(yīng)用背景、特殊場(chǎng)合下的不同物理解釋以及不同的某些特性。因此，人們通常會(huì)同時(shí)對(duì)兩種變換進(jìn)行研究，或者是各自獨(dú)立進(jìn)行研究。

分?jǐn)?shù)階Fourier變換是傳統(tǒng)Fourier變換的廣義形式。傳統(tǒng)Fourier變換的物理含義在于把信號(hào)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到頻域，從頻域的角度觀察信號(hào)對(duì)應(yīng)成分在相應(yīng)頻率上的“含量”。在時(shí)頻平面上，傳統(tǒng)Fourier變換把時(shí)域內(nèi)信號(hào)旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)頻域；而分?jǐn)?shù)階Fourier變換可以把時(shí)域內(nèi)信號(hào)在時(shí)頻平面上旋轉(zhuǎn)任意角度，到達(dá)時(shí)域和頻域間的任意域內(nèi)，實(shí)現(xiàn)一種“參數(shù)化”的控制功能。

文獻(xiàn)［17-22］從多種角度對(duì)一維Hilbert變換在FRFT域的性能進(jìn)行描述。從研究工作可以看出，在FRFT域，一維Hilbert變換呈現(xiàn)出更多的表示形式，也具備更多的性能特征。特別是其相移特性，在信號(hào)分析中體現(xiàn)了更強(qiáng)大的精細(xì)控制功能。

對(duì)于FRFT域的二維Hilbert變換，根據(jù)能量分布的不同形式，文獻(xiàn)［23］給出了幾種典型的變換：方向Hilbert變換、全向Hilbert變換、單象Hilbert變換等。研究工作表明，F(xiàn)RFT域的二維Hilbert變換具有多種新的特性，且與分?jǐn)?shù)階的參數(shù)相關(guān)。

這些特性包括：

（1）方向Hilbert變換與傳統(tǒng)Hilbert變換的物理意義一致，但這種對(duì)應(yīng)關(guān)系受到分?jǐn)?shù)階數(shù)α和β的影響。

（2）全向Hilbert變換的解析信號(hào)對(duì)應(yīng)于分?jǐn)?shù)階Fourier變換域內(nèi)的線性組合，為信號(hào)在分?jǐn)?shù)階Fourier變換域?qū)崿F(xiàn)全向Hilbert變換提供了捷徑。

（3）方向Hilbert變換和全向Hilbert變換之間存在函數(shù)變換的等價(jià)關(guān)系。

（4）分?jǐn)?shù)階Fourier域的單象解析信號(hào)是方向Hilbert變換信號(hào)和全向Hilbert變換信號(hào)的線性組合。

（5）所有的廣義Hilbert變換都可以在分?jǐn)?shù)階Fourier變換域內(nèi)直接實(shí)現(xiàn)，該結(jié)論為分?jǐn)?shù)階Hilbert變換的快速實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造了理論條件。

（6）FRFT域，常數(shù)的Hilbert變換不為零，而是與分?jǐn)?shù)階數(shù)（α， β）相關(guān)的線性調(diào)頻函數(shù)。

3.2 廣義分?jǐn)?shù)階變換域內(nèi)的二維Hilbert變換

線性正則變換（Linear Canonical Transform，LCT）又稱(chēng)廣義分?jǐn)?shù)階Fourier變換，是分?jǐn)?shù)階Fourier變換和Fresnel變換等的廣義形式［3-4，15，17］。與分?jǐn)?shù)階Fourier變換相比，線性完整變換的參數(shù)多，其具有與參數(shù)相關(guān)的一些特性。

LCT域的Hilbert變換研究工作相對(duì)較少。文獻(xiàn)［24］給出了LCT域的幾種二維Hilbert變換，包括方向Hilbert變換、全向Hilbert變換、單象Hilbert變換，同時(shí)給出了各自的性能分析。在LCT域，二維Hilbert變換具有許多傳統(tǒng)時(shí)域的類(lèi)似性能特征，包括時(shí)頻域?qū)?yīng)關(guān)系、卷積特性等，但這些性能都受到變換參數(shù)的影響。

具體的，一些特性如下：

（1）LCT域的方向Hilbert變換廣義解析信號(hào)在LCT域內(nèi)將負(fù)信號(hào)部分置零，而正信號(hào)部分加倍，與傳統(tǒng)Hilbert變換的物理意義相對(duì)應(yīng)，但這種對(duì)應(yīng)關(guān)系受到變換參數(shù)的影響。

（2）全向Hilbert變換與方向Hilbert變換沿著X、Y方向變換后的結(jié)果相同。

（3）對(duì)于任意二維實(shí)信號(hào)f（x，y）（x， y∈R），其LCT域的單象廣義解析信號(hào)是方向廣義Hilbert變換信號(hào)和全向廣義Hilbert變換信號(hào)的線性組合。

（4）LCT域的Hilbert變換可在LCT域內(nèi)直接實(shí)現(xiàn)。該結(jié)論為L(zhǎng)CT域Hilbert變換的快速實(shí)現(xiàn)創(chuàng)造了理論條件，即在變換域內(nèi)直接實(shí)現(xiàn)后再逆變換。

（5）LCT域Hilbert變換為零的函數(shù)不是常數(shù)，而是與變換參數(shù)相關(guān)的線性調(diào)頻函數(shù)。

4　二維Bedrosian定理

Bedrosian定理是信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)基礎(chǔ)性工作，也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)基本工作。它來(lái)源于Hilbert變換，是Hilbert變換的重要特性之一，但又可獨(dú)立于Hilbert變換［25-28］。Bedrosian定理規(guī)定：對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)信號(hào)相乘的形式進(jìn)行Hilbert變換后，只有滿(mǎn)足一定頻率條件的信號(hào)變成了復(fù)數(shù)，而另一信號(hào)沒(méi)有任何變化。目前，一維Bedrosian定理相對(duì)成熟，但是二維Bedrosian定理存在不少空白。

早在2008年，Venouziou等人首次給出了多維Bedrosian定理（包含二維）的一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式［25］（即方向Hilbert變換對(duì)應(yīng)的Bedrosian定理，簡(jiǎn)稱(chēng)方向Bedrosian定理）。它通過(guò)對(duì)多維空間進(jìn)行一維Bedrosian定理（在每一維空間中均作為一個(gè)一維信號(hào)處理）的多次組合，獲得多維Bedrosian定理的理論條件和表達(dá)形式。Venouziou等認(rèn)為，要獲得多維信號(hào)類(lèi)似于一維函數(shù)那樣的Bedrosian定理，可以通過(guò)分析不同維空間的一維Bedrosian定理進(jìn)行討論，把一維Bedrosian定理的理論條件在二維和多維空間內(nèi)進(jìn)行支撐范圍的并集和交集運(yùn)算。但是，Venouziou等人的方向Bedrosian定理并不是從信號(hào)處理的角度進(jìn)行探討，也沒(méi)有考慮多維信號(hào)（例如，二維圖像）的特性（包括紋理結(jié)構(gòu)特性、統(tǒng)計(jì)特性、自然特性等），因此對(duì)于方向相關(guān)的信號(hào)適應(yīng)性較差，且其純粹是從數(shù)學(xué)角度對(duì)一維Bedrosian定理在二維和多維空間上直接擴(kuò)展。

2011年，文獻(xiàn)［23］從頻域的角度分析和理解復(fù)數(shù)信號(hào)，并對(duì)方向Bedrosian定理進(jìn)行了深入分析，將其擴(kuò)展到廣義分?jǐn)?shù)階域，并給出了詳細(xì)的參數(shù)討論，從而從信號(hào)處理角度（分?jǐn)?shù)階Fourier變換）對(duì)二維Bedrosian定理開(kāi)展分析研究。同時(shí)，該文獻(xiàn)還討論了交叉象Hilbert變換的Bedrosian定理（簡(jiǎn)稱(chēng)交叉象Bedrosian定理），給出了詳細(xì)的應(yīng)用參數(shù)、理論條件和表達(dá)形式。但是，該研究理論只適合于廣義域內(nèi)方向不相關(guān)的二維信號(hào)，并不適合其他類(lèi)型的信號(hào)，且并未詳細(xì)論證其在圖像中的具體應(yīng)用。

為了獲得二維Bedrosian定理在信號(hào)處理中的應(yīng)用，2012年文獻(xiàn)［26］從二維圖像信號(hào)單分量和多分量定義的角度，使用了二象Hilbert變換對(duì)應(yīng)的Bedrosian定理（簡(jiǎn)稱(chēng)二象Bedrosian定理）。這是二維Bedrosian定理對(duì)圖像進(jìn)行應(yīng)用的具體實(shí)例。通過(guò)二象Bedrosian定理界定了二維單分量和多分量的定義，為后續(xù)圖像的分量分解提供了理論支撐。但遺憾的是，該工作只是應(yīng)用了二象Bedrosian定理給出的概念，并沒(méi)有給出二象Bedrosian定理具體的理論條件，也沒(méi)有給出二象Bedrosian定理相應(yīng)的理論證明。

2014年，Zhang等人［27］又在Venouziou等人工作［25］的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步對(duì)多維（包括二維）方向Bedrosian定理進(jìn)行探討，優(yōu)化Venouziou等人提出的多維方向Bedrosian定理的理論條件，給出了更進(jìn)一步的理論證明和分析，并將Bedrosian定理從實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)相乘擴(kuò)展到實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)相乘、復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)相乘等更復(fù)雜的形式。同時(shí)，利用Bedrosian定理等式關(guān)系構(gòu)造時(shí)頻分析基函數(shù)，為多維信號(hào)的理論分析和應(yīng)用提供了理論依據(jù)。但是，Zhang與Venouziou等人工作一樣，其理論對(duì)于具有方向相關(guān)性的信號(hào)適應(yīng)性較差，且不是從信號(hào)處理角度出發(fā)，而是純粹從數(shù)學(xué)理論條件上加以分析，也沒(méi)有給出在信號(hào)處理方面的具體應(yīng)用。

綜上所述，到目前為止，也只有方向Hilbert變換及交叉象Hilbert變換有對(duì)應(yīng)的二維Bedrosian定理，其余幾種二維Hilbert變換對(duì)應(yīng)的二維Bedrosian定理基本空白。此外，方向Hilbert變換及交叉象Hilbert變換有對(duì)應(yīng)的二維Bedrosian定理也只是一維Bedrosian定理在二維空間的直接擴(kuò)展，沒(méi)有充分考慮圖像結(jié)構(gòu)特性［29-31］，盡管其分辨率分析可以有效提高［32］。

5　發(fā)展方向

經(jīng)過(guò)多年的努力，對(duì)Hilbert變換的研究已經(jīng)取得了一些新成果，為后續(xù)的各種應(yīng)用和分析打下了良好基礎(chǔ)。但是，從Hilbert變換的已有工作可以看出，在一些新領(lǐng)域還沒(méi)有相應(yīng)的變換方法。因此，如何在工程上實(shí)現(xiàn)良好的應(yīng)用還需要進(jìn)行大量的工作。

值得進(jìn)一步研究的工作包括以下方面：

第一，構(gòu)造快速的算法。構(gòu)造快速的算法，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)計(jì)算，應(yīng)用于多種時(shí)間限制的場(chǎng)合。Hilbert變換的基礎(chǔ)是Fourier變換，分?jǐn)?shù)階Hilbert變換的基礎(chǔ)是分?jǐn)?shù)階Fourier變換。Hilbert變換與Fourier變換的耗時(shí)量息息相關(guān)?？焖貴ourier變換雖然可以大幅度縮短計(jì)算時(shí)間，但還無(wú)法滿(mǎn)足各種應(yīng)用的快速計(jì)算需求。

第二，研究多維分?jǐn)?shù)階Hilbert變換的構(gòu)造方法?，F(xiàn)有的研究工作表明，在多維信號(hào)領(lǐng)域，信號(hào)呈現(xiàn)了更多的特征，需要更多的表述參量。與此相對(duì)應(yīng)，多維Hilbert變換具有更多的表現(xiàn)形式，體現(xiàn)出了不同的性能特征。在多維分?jǐn)?shù)階Hilbert變換方面，根據(jù)分?jǐn)?shù)階Fourier變換的強(qiáng)大信號(hào)分離能力，可以預(yù)測(cè)多維分?jǐn)?shù)階Hilbert變換也可以獲得更精細(xì)的分解優(yōu)勢(shì)：可以通過(guò)控制角度、相位等信息，實(shí)現(xiàn)精確的定向變換，把圖象特定方向的信息進(jìn)行提取和增強(qiáng)，以提取特定頻域的層次信息，通過(guò)增強(qiáng)或?yàn)V波等處理，獲得目標(biāo)的有效處理結(jié)果。多維分?jǐn)?shù)階Hilbert變換的“參數(shù)化”精細(xì)控制功能，將在圖象圖形的處理上發(fā)揮重要作用。由于多維分?jǐn)?shù)階Fourier變換還有許多問(wèn)題沒(méi)有解決，因此相應(yīng)的Hilbert變換還有待于深入研究。

第三，研究其他域Hilbert變換的構(gòu)造方法。除了已有的分?jǐn)?shù)階Fourier變換和LCT變換，還有許多有效的變換方法。對(duì)這些變換域進(jìn)行研究，以期獲得更多具有優(yōu)良特性的Hilbert變換。

第四，研究一些特殊性能的Hilbert變換。以往的研究發(fā)現(xiàn)，在多維信號(hào)的Hilbert變換方面，還存在許多次優(yōu)的變換。這些變換可能只具備一維Hilbert變換中的部分優(yōu)越特性，但具有一些新的特性，如已發(fā)現(xiàn)其中一種變換可以實(shí)現(xiàn)π/4相移。另外，結(jié)合頻帶、方向等限制，可以構(gòu)造更多具有某種特性的變換，以應(yīng)用于多種特殊的領(lǐng)域。

第五，研究二維Bedrosian定理。人們已經(jīng)意識(shí)到［3，5-6］，在一維信號(hào)中，Bedrosian定理雖然是Hilbert變換的一個(gè)特性，但卻是Hilbert變換的核心。這表明：對(duì)兩個(gè)（或多個(gè)）實(shí)數(shù)信號(hào)相乘的形式進(jìn)行Hilbert變換后，其中只有滿(mǎn)足一定條件的信號(hào)變成了復(fù)數(shù)或發(fā)生了相移，而其他信號(hào)保持不變，即Bedrosian定理決定了Hilbert變換的結(jié)果形式。由于一維信號(hào)自由度少、相對(duì)簡(jiǎn)單，因而以往人們這樣使用并沒(méi)有造成不便。但是，對(duì)于二維信號(hào)，正如Jonathan和Sofia在其工作中論述的那樣［33］，維數(shù)的增加往往意味著一定概念和思想的突破。圖像相對(duì)于一維信號(hào)增加了一個(gè)自由度后，既要考慮圖像的自身結(jié)構(gòu)特征和類(lèi)型，又要考慮二維Hilbert變換的種類(lèi)，同時(shí)還要考慮應(yīng)用的目的（即需求和目標(biāo)是什么），因此其研究具有很大的挑戰(zhàn)性。

第六，對(duì)其他變換的啟發(fā)。Hilbert變換只是眾多變換的一種。通過(guò)研究Hilbert變換的相關(guān)工作，可以為其他變換的研究提供一種新的思路。

綜上可見(jiàn)，一維Hilbert變換在信號(hào)分析與處理上已經(jīng)獲得廣泛的應(yīng)用，可以預(yù)見(jiàn)，在各種域內(nèi)，具備更多優(yōu)良性能的多維Hilbert變換，必將在圖象、視頻、3D網(wǎng)格、動(dòng)畫(huà)等多維信號(hào)的分析和處理方面發(fā)揮重要的作用。

6　結(jié) 語(yǔ)

本文對(duì)二維Hilbert變換研究狀況進(jìn)行了總結(jié)。與傳統(tǒng)Hilbert變換相比，二維Hilbert變換有著更加復(fù)雜的形式和性能。針對(duì)不同類(lèi)型約束，需要建立不同的變換形式，適用于不同狀態(tài)下的信號(hào)處理。隨著各領(lǐng)域研究的深入，這種需求也會(huì)越來(lái)越多地引起人們的關(guān)注。

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徐曉剛（1967—），男，博士，教授，主要研究方向?yàn)樘摂M現(xiàn)實(shí)；

徐冠雷（1978—），男，博士，講師，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理；

王孝通（1962—），男，博士，教授，主要研究方向?yàn)樾盘?hào)處理；

秦緒佳（1968—），男，博士，教授，主要研究方向?yàn)閳D象處理、可視化；

王建國(guó)（1981—），男，博士，講師，主要研究方向?yàn)閳D象處理、虛擬仿真；

易成濤（1974—），男，博士，副教授，主要研究方向?yàn)閳D象處理、航海技術(shù)。

Review of Bidimensional Hilbert Transform

XU Xiao-gang1， XU Guan-lei1， WANG Xiao-tong1， QIN Xu-jia2， WANG Jian-guo1， YI Cheng-tao1
（1.Dalian Naval Academy， Dalian Liaoning 116018， China；2.College of Computer Science &Technology， Zhejiang University of Technology， Hangzhou Zhejiang 310023， China）

Hilbert transform is one of the useful tool in signal processing， and much effective performance have been found. In this paper， the current work of the bi-dimensional Hilbert transform is reviewed，the advantage and shortage of different kind of bi-dimensional Hilbert transform is analyzed， they are the traditional bi-dimensional Hilbert transform， bi-dimensional Hilbert transform in fractional Fourier transform domains， bi-dimensional Hilbert transform in generalized fractional Fourier transform domains，by the way， bi-Dimensional Bedrosian's Principle is analyzed too. At last， current questions and some useful further study work are proposed， in order to provide the relevant reference for the Hilbert transformation researchers.

hilbert transform； fourier transform； bedrosian theorem； fractiona

National Natural Science Foundation of China（No.60975016，No.61002052，No.61471412，No.61273262）；Natural Science Foundation of Liaoning Province（No.2015020086）

TN911.7

A

1002-0802（2016）-10-1265-06

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.10.001

2016-06-11；

2016-09-08

data：2016-06-11；Revised data：2016-09-08

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（No.60975016，No.61002052，No.61471412，No.61273262）；遼寧省自然科學(xué)基金項(xiàng)目（No.2015020086）