楊 亮，齊麗娜

（南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210003）

基于壓縮感知的MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)*

楊 亮，齊麗娜

（南京郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，江蘇 南京 210003）

由于 多輸入多輸出正交頻分復(fù)用（MIMO-OFDM）系統(tǒng)信道具有稀疏性特點(diǎn)，MIMOOFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)問題就轉(zhuǎn)變?yōu)橄∈栊盘?hào)的重建。 傳統(tǒng)的多輸入多輸出正交頻分復(fù)用（MIMO-OFDM）無線通信系統(tǒng)的信道估計(jì)算法，沒有充分利用無線信道固有稀疏性，導(dǎo)致信道估計(jì)精度和頻譜資源利用率不高等問題。因此，提出一種可擴(kuò)展的正交匹配追蹤算法（Extended Orthogonal Matching Pursuit，OMPα），α為擴(kuò)展因子α∈［0，1］。在原有的正交匹配追蹤算法（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）的基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)增加迭代次數(shù)來選取更加精確的匹配原子，從而達(dá)到重構(gòu)原信號(hào)的目的。仿真結(jié) 果表明，與現(xiàn)有的OMP算法、最小二乘法（LS）相比，OMPα算法提高了信號(hào)的重構(gòu)概率和精度，同時(shí)也提高了 頻譜資源的利用率和信道估計(jì)的性能。

壓縮感 知；信道估計(jì)；多輸入多輸出；正交頻分復(fù)用；可擴(kuò)展正交匹配追蹤

0　引 言

正交頻分復(fù)用（Orthogonal Frequency Division Multiplexing，OFDM）技術(shù)具有有效抵抗多徑干擾、頻率利用高和窄帶干擾的特點(diǎn)［1］。多輸入多輸出（Multiple-Input Multiple-Output，MIMO）技術(shù)能有效改善無線通信系統(tǒng)的信道容量，在不增加天線發(fā)射功率和帶寬的情況下，可以提高頻譜利用率，從而改善通信質(zhì)量。因此，將MIMO與OFDM技術(shù)相結(jié)合，可以提高信道容量和利用率，能夠有效抑制噪聲和干擾。在接收端為了能夠接收到高質(zhì)量的信號(hào)，精確的信道估計(jì)對(duì)于系統(tǒng)的性能評(píng)估至關(guān)重要。

基于壓縮感知［2-5］（Compressed Sensing，CS）的MIMO-OFDM系統(tǒng)信道估計(jì)方法，能夠減少導(dǎo)頻數(shù)量，從而提高系統(tǒng)的頻譜利用率。文獻(xiàn)［6］將正交匹配追蹤（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）算法應(yīng)用于MIMO-OFDM系統(tǒng)中的信道估計(jì)，提高了頻譜利用率，但該算法是在忽略噪聲的情況下進(jìn)行的。文獻(xiàn)［7］將OMP算法應(yīng)用于OFDM系統(tǒng)中，對(duì)時(shí)域信道脈沖響應(yīng)進(jìn)行估計(jì)。和傳統(tǒng)的信道估計(jì)算法相比，能夠利用較少的導(dǎo)頻信號(hào)來獲得較好的信道估計(jì)性能，但該算法的復(fù)雜度較高，也沒有應(yīng)用到MIMO系統(tǒng)中。本文在以上算法的研究基礎(chǔ)上，針對(duì)OMP算法存在的不足之處，提出了一種基于可擴(kuò)展的正交匹配追蹤算法（Extended Orthogonal Matching Pursuit，OMPα）的MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)，其中α為擴(kuò)展因子，α∈［0，1］。該算法在原有的OMP算法基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)更改迭代次數(shù)，提高了信號(hào)重構(gòu)概率和精度，同時(shí)進(jìn)一步提高了信道估計(jì)性能。

1　MIMO-OFDM系統(tǒng)

假設(shè)在MIMO-OFDM系統(tǒng)中發(fā)送端的發(fā)射天線數(shù)為Nt，接收端的接收天線數(shù)為NR，子載波數(shù)為N，將發(fā)送端發(fā)送的數(shù)據(jù)分為Nt個(gè)不同的數(shù)據(jù)塊。于是，第i根發(fā)射天線與第j根接收天線之間的信道沖激響應(yīng)為：

式中，τl和hi，j（l）分別為第l徑的時(shí)延和復(fù)增益。MIMO-OFDM系統(tǒng)的原理框圖，如圖1所示。

圖1　MIMO-OFDM系統(tǒng)原理

在發(fā)送端，數(shù)據(jù)源經(jīng)時(shí)空編碼和多載波調(diào)制后，插入循環(huán)前綴（CP），信號(hào)的最大時(shí)延擴(kuò)展要求小于CP的長(zhǎng)度，以消除符號(hào)間干擾（ISI）和載波間干擾（ICI），最后經(jīng)天線發(fā)射出去。假設(shè)在一個(gè)OFDM符號(hào)的持續(xù)時(shí)間內(nèi)，信道參數(shù)是恒定的，則在接收端，信號(hào)經(jīng)同步去掉CP以及FFT變換后，可表示為：

其中，xi（m），yj（m）（i=1，2，…，NT；m=0，1，…，L-1）分別為第j根發(fā)送天線和第j根接收天線在第m個(gè)子載波上的OFDM符號(hào)；ηn（m）為均值為零、方差為的高斯白噪聲。Hij（m）為第i根發(fā)送天線和第j根接收天線在第k個(gè)載波上的頻域沖激響應(yīng)：

假設(shè)MIMO-OFDM系統(tǒng)選取P個(gè)導(dǎo)頻符號(hào)，分別位于子載波m1，m2，…，mp上，則接收端第j根接收天線接收到的導(dǎo)頻信號(hào)為：

則式（4）可以表示為：

式（7）只考慮了第j根接收天線的情況。對(duì)于所有天線，則有：

其中：

MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)，即利用接收信號(hào)y和Φ來重構(gòu)h。無線信道沖激響應(yīng)具有稀疏性特點(diǎn)，基于這一特點(diǎn)，壓縮感知（CS）理論起著重要的作用。文獻(xiàn)［8-9］將壓縮感知算法應(yīng)用到信道估計(jì)中，與傳統(tǒng)的信道估計(jì)算法相比，具有更高的精度和更低的復(fù)雜度，且減少了導(dǎo)頻個(gè)數(shù)，提高了信道估計(jì)的性能。

2　壓縮感知理論

壓縮感知也被稱為稀疏采樣，對(duì)于稀疏信號(hào)或者可壓縮信號(hào)，壓縮感知可以以遠(yuǎn)小于Nyquist采樣速率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，且能夠利用少量的觀測(cè)值精確重構(gòu)出原始信號(hào)。其基本模型如圖2所示。

圖2　壓縮感知基本模型

對(duì)一長(zhǎng)度為N的離散實(shí)值信號(hào)x∈RN，稀疏度為K（即含有K個(gè)非零元素，其他N-K個(gè)元素都為零），X的觀測(cè)值可以由觀測(cè)矩陣ΦM×N（M＜N）獲得：

式中，η為噪聲，M≥K?lg N，觀測(cè)矩陣Φ滿足有限等距性質(zhì)（Restricted Isometry Property，簡(jiǎn)稱RIP）［10］。然而，式（9）是一個(gè)欠定方程，即方程未知數(shù)的個(gè)數(shù)多于方程組的個(gè)數(shù)，x的解不唯一。因此，如何從測(cè)量信號(hào)y精確地重構(gòu)原始信號(hào)x是實(shí)現(xiàn)壓縮感知的關(guān)鍵。對(duì)式（9）可以采用l1范數(shù)［11］來求解：

在最小l1范數(shù)下的最優(yōu)化問題稱為基追蹤（Basic Pursuit，BP）［12］算法，而BP算法具有運(yùn)算復(fù)雜度高而難以實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。另一類運(yùn)算量小且易于實(shí)現(xiàn)稀疏信號(hào)重構(gòu)的是基于貪婪迭代算法［13-14］，如匹配追蹤（Matching Pursuits，MP）算法、OMP算法。本文應(yīng)用了可擴(kuò)展的正交匹配追蹤OMPα算法，α為擴(kuò)展因子α∈［0，1］，提高了信號(hào)重構(gòu)的精度、概率和信道估計(jì)的性能。

3　信道估計(jì)

3.1 基于改進(jìn)的正交匹配追蹤算法信道估計(jì)

為了進(jìn)一步改善信號(hào)重構(gòu)的精度和準(zhǔn)確度，可以采用可擴(kuò)展 的正交匹配追蹤OMPα算法，α∈［0，1］為擴(kuò)展因子。在OMP算法的基礎(chǔ)上，通過適當(dāng)增加迭代次數(shù)來選取更加精確的匹配原子，從而達(dá)到重構(gòu)原信號(hào)的目的。與現(xiàn)有的OMP算法所需的測(cè)量次數(shù)o（m lnN）相比，測(cè)量次數(shù)為其中m為信號(hào)的稀疏度，N為信號(hào)的長(zhǎng)度。通過OMPα選擇適當(dāng)?shù)臄U(kuò)展因子α，能夠以概率和高精度重構(gòu)出原信號(hào)，進(jìn)而提高信道估計(jì)信號(hào)恢復(fù)的性能。

基于OMPα算法的信道估計(jì)步驟如 下：

（1）輸入：y，Φ，m；

（2）初始 化：設(shè)定殘差的初始值r0=y，Λ0=0，（Λt表示t次迭代的索引集合），初始迭代次數(shù)t=0；

（3）更新迭代次數(shù)t=t+1；

（4）計(jì)算余量rt-1與Φ的每一列的內(nèi)積，選擇內(nèi)積最大值對(duì)應(yīng)的索引值，即λt，有：

其中λt表示第t次迭代找到的索引（列序號(hào)）；

（5）更新索引值集合Λt=Λt-1∪｛λt｝，更新支撐集ΦΛt；

（6）通過最小二乘法LS獲取最佳的t項(xiàng)解：

（8）輸出x的稀疏逼近信號(hào)xt，即

在基于殘差rt-1選擇候選原子φj時(shí)，把測(cè)量矩陣分成兩組Φ=［ΦI，ΦIc］。定義為正確的原子集，為錯(cuò)誤的原子集。

選擇正確的原子情況：

選擇錯(cuò)誤的原子情況：

OMPα算法運(yùn)行的輸出可以表示為：

其中λ∈｛1，2，…，d｝表示第t次迭代選擇的原子的索引。定義Jc=｛λt∶λt∈I｝為正確的選擇集對(duì)應(yīng)于這種情況；

反之，JW=｛λt∶λt∈Ic｝對(duì)應(yīng)這種情況：

表示選擇了錯(cuò)誤的原子。下面使用以上兩種選擇集來說明OMPα算法重構(gòu)信號(hào)是否重構(gòu)成功。

3.2 OMPα算法性能推導(dǎo)

通過定義錯(cuò)誤概率來說明正確概率。錯(cuò)誤概率定義為：

由于左邊的事件是右邊事件的一個(gè)子集，所以其概率的上界對(duì)于給定的任何條件都是成立的。由以上推導(dǎo)，有：

c2為常數(shù)。結(jié)合不等式及式（23）的推導(dǎo)，有：

因?yàn)樗裕?/p>

占主導(dǎo)地位的變量項(xiàng)吸收常數(shù)，因此有：

因此，OMPα的成功概率可以表示為：

通過適當(dāng)增加c4和減少c3，有：

4　仿真及結(jié)果分析

為了說明OMPα算法在信號(hào)稀疏度不同情況下的重構(gòu)精度和概率，以及比較OMPα算法和OMP算法、傳統(tǒng)的LS算法在MIMO-OFDM系統(tǒng)中信道估計(jì)的不同性能，本文進(jìn)行了如下仿真。圖3比較了不同稀疏度下信號(hào)重構(gòu)概率與擴(kuò)展因子α之間的關(guān)系。稀疏度分別取值為68、76、84、92、100，進(jìn)行1 000次試驗(yàn)，稀疏信號(hào)的維數(shù)為1 024。從圖3中可以看出，對(duì)于選擇不同的擴(kuò)展因子α，不同稀疏度的信號(hào)精確重構(gòu)的概率不同。

圖3　不同稀疏度下信 號(hào)重構(gòu)概率與擴(kuò)展因子的關(guān)系

為了驗(yàn)證MIMO-OFDM系統(tǒng)中基于壓縮感知的信道估計(jì)性能，將OMPα算法和OMP算法、傳統(tǒng)的LS算法作為比較。系統(tǒng)仿真參數(shù)設(shè)置如下：發(fā)射天線數(shù)和接收天線數(shù)均為2，即2×2的MIMO-OFDM系統(tǒng)；子載波數(shù)為256；信道長(zhǎng)度為50；信道多徑數(shù)為6；調(diào)試方式為QPSK。圖4為導(dǎo)頻數(shù)相同的情況下，各算法在不同信噪比下的誤碼率比較圖。仿真時(shí)，LS算法導(dǎo)頻均勻放置，OMPα和OMP算法導(dǎo)頻隨機(jī)放置。由仿真圖可以看出，LS算法的誤碼率最高，隨 著信噪比的增大，誤碼率沒有明顯改善；而OMPα算法和OMP算法較LS算法具有更低的誤碼率，且OMPα算法比OMP算法的誤碼率更低。

圖4　不同信道估計(jì)方法的BER性能比較

圖5給出了各算法的MSE曲線圖。在導(dǎo)頻數(shù)相同的情況下，隨著信噪比的增大，OMPα算法和OMP算法的MSE相當(dāng)，但比LS算法 要好得多。

圖5　不同信道估計(jì)方法的MSE性能比較

圖6為不同導(dǎo)頻數(shù)的各算法的MSE性能比較。OMPα算法和OMP算法的導(dǎo)頻 數(shù)為32、48、64，LS算法的導(dǎo)頻數(shù)分別為32、72和128。LS在導(dǎo)頻數(shù)為32時(shí)，信道估計(jì)的性能很差，隨著導(dǎo)頻數(shù)的增加，性能有所改善，但是在犧牲傳輸數(shù)據(jù)資源的情況下獲得的。而OMPα算法和OMP算法能夠以少數(shù)的導(dǎo)頻獲得較好的 信道估計(jì)性能，且OMPα算法比OMP算法的性能更加優(yōu)越，提高了系統(tǒng)的頻譜利用率。

圖6　不同導(dǎo)頻數(shù)的各算法的MSE性能比較

5　結(jié) 語

本文主要根據(jù)MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道特性，提出可擴(kuò)展的正交匹配追蹤算法，并將其應(yīng)用到MIMO-OFDM系統(tǒng)的信道估計(jì)中。在正交匹配追蹤算法的基礎(chǔ)上，更改迭代次數(shù)來選擇更加精確的匹配原子，從而實(shí)現(xiàn)信號(hào)的精確重構(gòu)。仿真結(jié)果表明，可擴(kuò)展的正交匹配追蹤算法與傳統(tǒng)的最小二乘法、正交匹配追蹤算法相比，提高了信號(hào)的重構(gòu)概率和精度，同時(shí)也提高了頻譜資源的利用率和信道估計(jì)的性能。

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楊 亮（1990—），男，碩士研究生，主要研究方向?yàn)檎J(rèn)知無線電、寬帶頻譜通信技術(shù)；

齊麗娜（1973—），女，博士研究生，副教授，主要研究方向?yàn)檎J(rèn)知無線電網(wǎng)絡(luò)中的頻譜資源相關(guān)理論、寬帶無線通信技術(shù)。

Channel Estimation of MIMO-OFDM System based On Compressive Sensing

YANG Liang， QI Li-na
（College of Telecommunication & Information Engineering， Nanjing University of Posts and Telecommunications， Nanjing Jiangsu 210003， China）

The channel estimation problem of MIMO-OFDM（Multiple-Input Multiple-Output Orthogonal Frequency Division Multiplexing） system can be transformed into sparse signal reconstruction due to the sparsity of MIMO-OFDM system channel.The channel estimation algorithm of traditional MIMO-OFDM wireless communication system does not make full use of the inherently sparsity of wireless channel， which leads to that channel estimation accuracy and the rate of spectrum resource utilization is not high. In this paper， we mainly adopts an extended orthogonal matching pursuit algorithm（OMPα）and α is the exp ansion factor（α∈［0，1］）.By appropriately increasing the number of iterationsto select a more

accurate matching of atoms based on the original OMP （Orthogonal Matching Pursuit）algorithm， so as to achieve the purpose of reconstructing the original signal.Simulation shows that OMPαalgorithm not only improves the probability and precision of signal reconstruction compared with existing OMPαalgorithm and the conventional LS （Least Square） channel estimation method but also improves the utilization of spectrum resources and the performance of channel estimation.

compressive sensing； channel estimation； multi-input and multi-output； orthogonal frequency division multiplexing； extended orthogonal matching pursuit

National Basic Research Program of China （973 Program） （No.2013CB329005）； National Natural Science Foundation of China（No.61471201）

TN911.1

A

1002-0802（2016）-10-1280-07

10.3969/j.issn.1002-0802.2016.10.003

2016-06-08；

2016-09-20

data：2016-06-08；Revised data：2016-09-20

國(guó)家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）基金資助項(xiàng)目（No.2013CB329005）；國(guó)家自然科學(xué)基金（No.61471201）