龔連蓉，徐　恬，周　婧

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

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南極洲平均地表溫度分析與預(yù)測(cè)的研究

龔連蓉，徐恬，周婧

(安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

目的針對(duì)南極洲平均地表溫度這一核心問(wèn)題，建立定義平均地表溫度的數(shù)學(xué)框架，并分析時(shí)間和溫度的關(guān)系。方法以南極洲溫度為研究對(duì)象，通過(guò)美國(guó)航空航天局網(wǎng)站獲取相關(guān)數(shù)據(jù)，隨機(jī)選擇4個(gè)站點(diǎn)的數(shù)據(jù)、利用區(qū)域優(yōu)化平均法求出整個(gè)南極洲地區(qū)的平均地表溫度、大氣壓力、相對(duì)濕度、地平面50 m高度風(fēng)速、地平面10 m高度空氣溫度和地表輻射量。選擇與平均地表溫度相關(guān)性較大的影響因素建立線性回歸模型，以南極洲的平均地表溫度建立SARMA時(shí)間序列模型，通過(guò)使用SPSS,EVIEWS等軟件，定義出平均地表溫度，分析出時(shí)間與溫度的變化關(guān)系。并與之前的溫度進(jìn)行對(duì)比，對(duì)溫度變化趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)。結(jié)果南極洲平均地表溫度定義為：平均地表溫度=8.802-0.119×相對(duì)濕度+0.36×地平面50 m高度風(fēng)速+1.199×地平面10 m高度空氣溫度-0.17×地表輻射量。南極洲平均地表溫度與時(shí)間的關(guān)系可表示為：(1-B)(1-B3)xt=εt/(1+2.319B+2.078B2+0.709B3)。結(jié)論近年來(lái)溫度逐漸上升，導(dǎo)致冰川融化，海平面上升甚至更多危害，呼吁大家減少溫室氣體的排放，共同維護(hù)美麗的地球家園。

平均地表溫度；區(qū)域優(yōu)化平均法；線性擬合；時(shí)間序列分析；EVIEWS

地表氣溫變化是氣候變化研究的核心問(wèn)題之一，對(duì)某一區(qū)域或全球范圍而言，研究其平均氣溫變化十分重要[1]。地表溫度是地面與大氣界面熱狀況的顯示器，是衡量氣候變化的一個(gè)重要標(biāo)志，是地表與大氣相互作用過(guò)程中最重要的物理學(xué)參量之一，在全球環(huán)境變化、氣候、氣象、地震、農(nóng)業(yè)等諸多相關(guān)學(xué)科研究中具有重要意義[2]。在先前的估計(jì)中,在土地平均定義有一些方法上的差異，為簡(jiǎn)單起見(jiàn),只考慮南極洲。本文旨在建立一個(gè)定義和估計(jì)從氣象站溫度計(jì)數(shù)據(jù)的平均表面溫度的數(shù)學(xué)框架，并描述南極的溫度變化(詳見(jiàn)2015年數(shù)學(xué)建模小美賽B題[1])。

1　定義平均地表溫度

1.1研究思路

任選南極洲的4個(gè)地區(qū)，利用區(qū)域優(yōu)化平均法計(jì)算出南極洲的平均地表溫度和大氣壓力、相對(duì)濕度、地平面50 m高度風(fēng)速、地平面10 m高度空氣溫度及地表輻射量。分析各因素與平均地表溫度之間的相關(guān)性，選擇相關(guān)性比較大的因素與平均地表溫度做擬合分析，得出的表達(dá)式就是平均地表溫度的定義。思路流程圖如圖1所示。

圖1　思路流程圖1

1.2數(shù)據(jù)處理

1.2.1區(qū)域優(yōu)化平均法

區(qū)域優(yōu)化平均法是一種計(jì)算區(qū)域平均溫度的方法[3]。選擇目標(biāo)區(qū)域內(nèi)N個(gè)溫度觀測(cè)點(diǎn)，T(i,t)表示點(diǎn)i在t時(shí)刻的溫度，w(i)表示點(diǎn)i的權(quán)值1≤i≤N，則實(shí)際區(qū)域平均溫度為：

(1)

權(quán)值ω(i)滿足約束條件：

ω(1)+ω(2)+…+ω(N)=1

(2)

利用(1)式計(jì)算區(qū)域平均溫度之前，通過(guò)優(yōu)化加權(quán)機(jī)制計(jì)算點(diǎn)i的權(quán)值ω(i)，化加權(quán)機(jī)制以均方差最小化為基礎(chǔ)。理想平均溫度和實(shí)際平均溫度的均方差為：

(3)

E2越小，表示實(shí)際平均溫度和理想平均溫度越接近。設(shè)E2不受時(shí)間影響，式(3)進(jìn)一步展開(kāi)為：

(4)

其中ρ(i,j)=〈T(i,t)T(j,t)〉，下面簡(jiǎn)稱ρij，假定為準(zhǔn)靜態(tài)。權(quán)值ω(i)滿足約束條件(2)式且使得(4)式均方差最小，權(quán)值ω(i)即為最優(yōu)權(quán)值。拉格朗日乘子法計(jì)算最優(yōu)權(quán)值，設(shè)拉格朗日乘子為-2A，乘子結(jié)合(2)式和(4)式得到新函數(shù)F如下：

F(ω(1),…,ω(N)=E2(ω(1),…,ω(N))-2A((ω(1)+ω(2)+…+ω(N)-1)

(5)

上式分別對(duì)ω(1),ω(1),…,ω(N),A求偏導(dǎo)數(shù)，且令偏導(dǎo)數(shù)等于0，得到ω(1),ω(1),…,ω(N),A為未知量的方程組，其矩陣形式如下：

(6)

現(xiàn)隨機(jī)選取4個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，計(jì)算得出各地區(qū)的權(quán)重，如表1所示。

表1　各地區(qū)的權(quán)重

加權(quán)平均計(jì)算南極洲各因素?cái)?shù)據(jù)如表2所示。

表2　南極洲各因素?cái)?shù)據(jù)

1.2.2建立線性擬合模型

1)模型簡(jiǎn)介

研究在線性關(guān)系相關(guān)性條件下，2個(gè)或者2個(gè)以上自變量對(duì)1個(gè)因變量，為多元線性回歸分析，表現(xiàn)這一數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)公式，稱為多元線性回歸模型[4]。

一般情況自變量與因變量之間存在著某種相關(guān)關(guān)系，相關(guān)關(guān)系之間的強(qiáng)弱程度用相關(guān)系數(shù)r表示：

相關(guān)系數(shù)的取值范圍在[-1,1]之間，正負(fù)號(hào)僅表示方向，不表示大小。因變量可由相關(guān)性較大的自變量來(lái)表示：

y=β0+β1x1+β2x2+…+βkxk

其中β0稱為回歸常數(shù)，β1,β,…,βk稱為回歸系數(shù)，y稱為被解釋變量，是k個(gè)可以精確控制的一般變量，稱為解釋變量，也就是自變量。

對(duì)多元線性回歸，也需要測(cè)定方程的擬合程度，檢驗(yàn)方程的擬合效果是否優(yōu)秀。測(cè)定多元線性回歸的擬合度程度，與一元線性回歸中的判定系數(shù)類(lèi)似，使用多重判定系數(shù)，其中定義為：

式中，SSR為回歸平方和，SSE為殘差平方和，SST為總離差平方和[5]。

同一元線性回歸相類(lèi)似，0≤R2≤1，R2越接近1，回歸平面擬合程度越高，反之，R2越接近0，擬合程度越低。

2)模型的建立與求解

結(jié)合表2，分析各因素與平均地表溫度之間的相關(guān)性，選擇相關(guān)性比較大的因素與平均地表溫度做擬合分析，得出的表達(dá)式就是平均地表溫度的定義。通過(guò)SPSS求得各因素之間的相關(guān)性大小如表3所示。

表3　相關(guān)性大小

由此可知平均地表溫度與大氣壓力的相關(guān)性較小，與相對(duì)濕度、地平面50 m高度風(fēng)速、地平面10 m高度空氣溫度、地表輻射量之間的相關(guān)性較大。對(duì)相關(guān)性較大的因素與平均地表溫度進(jìn)行擬合，得到結(jié)果：

Y=8.802-0.119X1+0.36X2+1.199X3-0.17X4

擬合度為0.99，表明幾乎絕大多數(shù)的數(shù)據(jù)都可用這個(gè)模型來(lái)解釋。

1.3結(jié)果及結(jié)果分析

由上述分析過(guò)程可以將平均地表溫度定義為：

平均地表溫度=8.802-0.119*相對(duì)濕度+0.36*地平面50 m高度風(fēng)速+1.199*地平面10 m高度空氣溫度-0.17*地表輻射量。

相對(duì)濕度和地表輻射量與平均地表溫度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)關(guān)系，地平面50 m高度風(fēng)速和地平面10 m高度空氣溫度與平均地表溫度呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系。相對(duì)濕度和地表輻射量每增加一單位，平均地表溫度減少0.119和0.17單位；地平面50 m高度風(fēng)速和地平面10 m高度空氣溫度每增加1單位，平均地表溫度分別增加0.36和1.199單位。由此可見(jiàn)，空氣溫度對(duì)平均地表溫度的影響較大，其它因素也具有一定影響力。

2　溫度變化與時(shí)間的關(guān)系

2.1研究思路

利用區(qū)域優(yōu)化平均法計(jì)算出南極洲近8年的平均地表溫度。要求溫度變化和時(shí)間的關(guān)系，建立時(shí)間序列分析模型。由于季節(jié)因素的影響，應(yīng)建立SARMA模型。擬合出平均地表溫度與時(shí)間的表達(dá)式，并對(duì)未來(lái)幾年的平均地表溫度進(jìn)行預(yù)測(cè)。建模思路流程圖表現(xiàn)為圖2。

圖2　思路流程圖2

2.2數(shù)據(jù)處理

由于參考數(shù)據(jù)缺失較多，現(xiàn)隨意選取4個(gè)數(shù)據(jù)較完整的地面站近8年的月度平均地表溫度，利用區(qū)域優(yōu)化平均法，計(jì)算出南極洲近8年的月度平均地表溫度。如表4所示：

表4　南極洲近8年月度平均地表溫度(℃)

2.3建立時(shí)間序列模型

2.3.1模型的簡(jiǎn)介

SARMA模型是一類(lèi)常用的時(shí)間序列模型，其基本思想是：依據(jù)變量自身的變化規(guī)律，利用外推機(jī)制描述時(shí)間序列的變化。其使用前提是時(shí)間序列是為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程。對(duì)于包含趨勢(shì)性和季節(jié)性的非平穩(wěn)序列，須經(jīng)適當(dāng)?shù)闹鹌诓罘趾图竟?jié)差分消除影響后再對(duì)序列進(jìn)行分析，建立SARMA(p，d，q)模型。SARMA模型的一般表現(xiàn)形式為：

φP(B)φP(BS)d(1-BS)Dyt=θq(B)θ(BS)μt

式中：yt為時(shí)間序列，μt為隨機(jī)項(xiàng)，φP(B)為非季節(jié)部分AR(p)部分，φP(BS)為季節(jié)AR(p)部分，(1-B)d為d階逐期差分，(1-BS)D為D階逐期差分，θq(B)為非季節(jié)性MA(q)部分，θ(BS)為季節(jié)性MA(q)部分。

SARMA模型(auto-regressive and moving average model)是研究時(shí)間序列的重要方法,由自回歸模型(簡(jiǎn)稱AR模型)與滑動(dòng)平均模型(簡(jiǎn)稱MA模型)為基礎(chǔ)“混合”構(gòu)成。在市場(chǎng)研究中常用于長(zhǎng)期追蹤資料的研究,如Panel,用于研究消費(fèi)行為模式變遷，在零售業(yè)具有季節(jié)變動(dòng)特征的銷(xiāo)售量、市場(chǎng)規(guī)模的預(yù)測(cè)等。

混合模型ARMA(auto-regressive moving-average)如果時(shí)間序列yt滿足，則稱時(shí)間序列為yt服從(p，q)階的自回歸滑動(dòng)平均混合模型[6]。

將預(yù)測(cè)指標(biāo)隨時(shí)間推移而形成的數(shù)據(jù)序列看作是一個(gè)隨機(jī)序列，這組隨機(jī)變量所具有的依存關(guān)系體現(xiàn)著原始數(shù)據(jù)在時(shí)間上的延續(xù)性。一方面，影響因素的存在；另一方面，又有自身變動(dòng)規(guī)律。假定影響因素為x1,x2,…,xk，由回歸分析

Y=β0+β1x1+β2x2+…+βkxk+e

其中Y是預(yù)測(cè)對(duì)象的觀測(cè)值，e為誤差。作為預(yù)測(cè)對(duì)象Yt受到自身變化的影響，其規(guī)律可由下式體現(xiàn)，

Y=β0+β1xt-1+β2xt-2+…+βpxt-p+et

誤差項(xiàng)在不同時(shí)期具有依存關(guān)系，由下式表示，

et=α0+α1et-1+α2et-2+…+αqet-q+μt

由此，獲得ARMA模型表達(dá)式：

yt=φ1yt+φ2yt+…+φpyt+et-θ1et-1-θ2et-2-…-θqet-q

2.3.2模型的識(shí)別

從2008-2015年南極洲的月度溫度變化來(lái)看，其波動(dòng)具有明顯的季節(jié)性和波動(dòng)性(圖3)。假如沒(méi)有季節(jié)效應(yīng)的影響，南極洲的平均地表溫度始終在某個(gè)均值附近隨機(jī)波動(dòng)，季節(jié)效應(yīng)的存在，會(huì)使氣溫在不同年份的相同月份呈現(xiàn)出相似的性質(zhì)。因此可以考慮采用差分自回歸移動(dòng)平均法(SARMA)建立模型[7]。

2.3.3模型的建立

為了消除季節(jié)性的影響，對(duì)原序列做一階12步差分，得到新的序列，時(shí)序圖見(jiàn)圖4。

圖3南極洲近8年月平均地表溫度時(shí)序圖 圖4差分后的時(shí)序圖

對(duì)其進(jìn)行ADF檢驗(yàn)可知序列是平穩(wěn)的。為確定SARMA(p,q)，模型中的p,q，分析序列的自相關(guān)系數(shù)與偏自相關(guān)系數(shù)圖，如圖5。

分析圖5可知：序列的自相關(guān)系數(shù)拖尾，偏自相關(guān)系數(shù)3階截尾。因此可以建立AR(4)模型，擬合結(jié)果如圖6所示。

圖6　AR(4)模型擬合結(jié)果

模型的擬合優(yōu)度為0.9813，擬合效果較好。最終得到溫度變化與時(shí)間的關(guān)系式為：

圖7　模型預(yù)測(cè)

2.3.4模型的預(yù)測(cè)

利用EVIEWS對(duì)2015年的溫度進(jìn)行預(yù)測(cè)：

分析圖7可知，南極洲平均地表溫度的波動(dòng)比前些年的小，并且溫度對(duì)比之前有一定的上升。說(shuō)明在全球變暖的趨勢(shì)下，南極洲溫度也在上升當(dāng)中。希望人們對(duì)此引起重視，遏制全球變暖刻不容緩。

2.4結(jié)果及結(jié)果分析

由上述分析得到溫度隨時(shí)間的變化關(guān)系可表示為：

并且對(duì)近幾年的溫度進(jìn)行預(yù)測(cè)和對(duì)比可知，對(duì)比之前平均地表溫度正在有波動(dòng)地上升。而近些年由于溫度上升所帶來(lái)的冰川融化現(xiàn)象不在少數(shù)，將會(huì)引發(fā)更多水災(zāi)、旱災(zāi)、熱浪和推動(dòng)海平面升高。雖然冰川融化已經(jīng)沒(méi)有辦法阻止，但只要人類(lèi)減少造成氣候暖化的溫室氣體的排放，就可以減緩冰川融化的速度。

4　結(jié)論與討論

結(jié)合區(qū)域優(yōu)化法，線性回歸和SARMA模型，得到了對(duì)平均地表溫度的定義：平均地表溫度=8.802-0.119×相對(duì)濕度+0.36×地平面50 m高度風(fēng)速+1.199×地平面10 m高度空氣溫度-0.17×地表輻射量。溫度隨時(shí)間變化的關(guān)系可表示為：

并通過(guò)對(duì)比得出溫度在逐漸上升的結(jié)論。

以上各模型在建模過(guò)程中通過(guò)相應(yīng)的軟件檢驗(yàn)，具有一定合理性[8]。對(duì)于影響平均地表溫度的因素，通過(guò)區(qū)域優(yōu)化平均法選取大量的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，運(yùn)用軟件進(jìn)行計(jì)算使得結(jié)果更加準(zhǔn)確。但仍然存在一些問(wèn)題有待改進(jìn)。平均地表溫度的影響因素有很多，需要綜合考慮。利用區(qū)域平均法以4個(gè)區(qū)域的數(shù)據(jù)代替整個(gè)南極洲的數(shù)據(jù)，處理方法過(guò)于粗糙，存在一定誤差。這些都是值得深入研究的方向。

[1]杜予罡,唐國(guó)利,王元.近100年中國(guó)地表平均氣溫變化的誤差分析[J].高原氣象，2012,31(02):456-462.

[2]柳欽火,符鎧華,高晴,等.基于時(shí)間序列分析的地表溫度變化過(guò)程探討[J].科學(xué)技術(shù)與工程，2005,5(19):1303-1304.

[3]王聰,黃寧,楊保.區(qū)域優(yōu)化平均法的改進(jìn)及其在計(jì)算平均溫度中的應(yīng)用[J].地理科學(xué)，2014,34(02):237-241.

[4]鄧維斌,唐興艷,胡大權(quán)，等.SPSS 19統(tǒng)計(jì)分析實(shí)用教程[M].北京:電子工業(yè)大學(xué)出版社,2013：3-102.

[5]龐皓.計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2007：1-70.

[6]王燕.應(yīng)用時(shí)間序列分析[M].北京:中國(guó)人民大學(xué)出版社,2005：20-98.

[7]楊桂元,黃己立.數(shù)學(xué)建模[M].合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社，2008：15-66.

[8]楊桂元,朱家明.數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽優(yōu)秀論文評(píng)析[M].合肥：中國(guó)科技大學(xué)出版社，2013：1-82.

[責(zé)任編輯：關(guān)金玉英文編輯：劉彥哲]

Analysis and Prediction of Average Surface Temperature on the Antarctic

GONG Lian-rong,XU Tian,ZHOU Jing

(School of Statistics and Applied Math,Anhui University of Finance and Economics,Bengbu,Anhui 233030,China)

ObjectiveRegarding the average surface temperature of the Antarctic as a core issue,a method was established to define the average surface temperature,and analyze the relationship between time and temperature.MethodsTaking Antarctic temperature as the research object,through the NASA website the relevant data were obtained.And by average region optimization the data of four sites were randomly selected and calculated,obtaining the average surface temperature,atmospheric pressure,relative humidity,wind speed with 50 m above horizon,air temperature at 10m above ground plane and surface radiation amount of the Antarctic.The influencing factors which were more associated with the average surface temperature were chosen to build a linear regression model.TheSARMAtime series model was established based on the mean surface temperature of the Antarctic.Then using EVIEWS,SPSS and other software,the average surface temperature was defined,and the relationship between the time and the temperature was analyzed.The trend of temperature change is predicted by comparing it with the temperature in the past.ResultsThe average surface temperature of the Antarctica is defined as:the average surface temperature=8.802-0.119*relative humidity+0.36* wind speed at 50m above ground plane+1.199* air temperature at 10m above ground plane-0.17*surface radiation ground plane 10m high.The average surface temperature and time can be expressed as:(1-B)(1-B3)xt=εt/(1+2.319B+2.078B2+0.709B3).ConclusionIn recent years, the temperature has gradually increased, leading to the melting of glaciers,sea level rise and more harm.So It is hoped that everyone has to reduce greenhouse gas emissions and jointly safeguard the beautiful earth home.

mean land surface temperature;regional optimization method;linear fitting;time series analysis;EVIEWS

龔連蓉(1995-)，女，安徽安慶人，安徽財(cái)經(jīng)大學(xué)在讀學(xué)生，研究方向：數(shù)字建模。

P 423.3

A

10.3969/j.issn.1673-1492.2016.09.010