蔣 平

（復(fù)旦大學(xué)物理系，上海 200433）

勢能及相關(guān)概念

蔣 平

（復(fù)旦大學(xué)物理系，上海 200433）

合理處理高中與大學(xué)物理教學(xué)的關(guān)系，使二者無障礙銜接是當(dāng)前高校基礎(chǔ)物理教學(xué)普遍關(guān)心的問題.本文以勢能概念作為載體，試圖從勢與勢能、勢能與保守力以及與勢能相關(guān)的能量轉(zhuǎn)換這3個方面說明如何在現(xiàn)有中學(xué)物理教學(xué)的基礎(chǔ)上使學(xué)生在大學(xué)階段能正確、深入地理解、掌握基礎(chǔ)物理的基本概念和基本規(guī)律.重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)勢能并非單個物體的性質(zhì)，而是反映物體間相互作用的體系的性質(zhì).并具體以勢能為態(tài)函數(shù)為例反映物理學(xué)各個分支間的有機(jī)聯(lián)系，說明表觀上不同的物理現(xiàn)象可以用相同或相近的概念或規(guī)律描述.

勢能；相互作用；保守力；態(tài)函數(shù)

翻開高中和大學(xué)基礎(chǔ)物理教材，如果單看目錄，其中各章節(jié)的標(biāo)題幾乎如出一轍，沒有多大區(qū)別.因而在教學(xué)實(shí)踐中如何處理中學(xué)與高校物理教學(xué)的銜接、理清彼此間的關(guān)系自然就成為許多高校基礎(chǔ)物理教師共同關(guān)注的問題.有人說大學(xué)基礎(chǔ)物理相比于中學(xué)物理課就是多了微積分.這種說法有一定的道理，因?yàn)楦咝；A(chǔ)物理使用的數(shù)學(xué)工具更多的是高等數(shù)學(xué).然而，這種說法又是片面的，因?yàn)橹袑W(xué)物理課和大學(xué)基礎(chǔ)物理課的差別不止是否應(yīng)用微積分，甚至主要不在于這數(shù)學(xué)工具.筆者以為這個差別主要在于“理”上.俗話說物理物理，講的就是這個適用于萬物的普遍的“理”.如果做一個不太嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膮^(qū)分，中學(xué)物理課程主要講的是“物”，就是說對于物理概念和物理規(guī)律的介紹基本處在現(xiàn)象的描述和歸納的表觀層次上；而高?；A(chǔ)物理更多地關(guān)注“理”，就是要透過表觀的現(xiàn)象，深入分析、研究概念和規(guī)律的內(nèi)在本質(zhì).另一方面，在中學(xué)階段，除了力學(xué)知識有較多的應(yīng)用外物理學(xué)的各個分支基本上是彼此獨(dú)立的.但實(shí)際上物理科學(xué)是一個整體，其各個分支學(xué)科之間存在著密切的、有機(jī)的聯(lián)系.揭示這種聯(lián)系也是大學(xué)基礎(chǔ)物理教學(xué)的題中之義.本文擬就勢能這一涉及力學(xué)、電學(xué)和熱力學(xué)幾個分支學(xué)科的概念探討如何體現(xiàn)不同分支學(xué)科之間的聯(lián)系.

1 勢能和勢

中學(xué)物理教學(xué)中勢能是一個難點(diǎn)，不容易講清楚.因此，必須在高校基礎(chǔ)物理教學(xué)序列里明確澄清勢能的概念.在中學(xué)和大學(xué)基礎(chǔ)物理教材中提到的勢能基本不外乎重力（或引力）勢能、彈性勢能和靜電勢能；而在教學(xué)過程中涉及最多的當(dāng)數(shù)重力勢能和靜電勢能.靜電勢能常與靜電勢密切聯(lián)系在一起；重力勢能也與重力勢（如取地面為地球重力勢的零點(diǎn)，則在地面附近重力勢即為gh，g為重力加速度，h為距地面的高度）相聯(lián)系，盡管通常并不提及.常?？稍诮滩牡撵o電學(xué)部分看到這樣的論述:一電量為q的點(diǎn)電荷在電場中電勢為V處的電勢能為q V.這一說法雖然普遍卻并不嚴(yán)謹(jǐn).事實(shí)上凡勢能必涉及相互作用，例如至少兩個質(zhì)點(diǎn)或兩個點(diǎn)電荷之間的相互作用；因此說某個電荷的電勢能并不恰當(dāng).我們具體以兩個點(diǎn)電荷Q和q為例.設(shè)這里產(chǎn)生電場的為場源電荷Q，所謂“q在Q電場中的電勢能”其實(shí)是q與Q之間靜電相互作用的勢能.同樣，q也產(chǎn)生電場，這一電勢能也可表達(dá)為Q在q的電場中的電勢能.就是說對兩個點(diǎn)電荷組成的體系，電勢能屬于這兩個電荷所共有，是體系的性質(zhì)，而非哪個單一電荷的性質(zhì).而對由多個點(diǎn)電荷組成的體系而言，電勢能是體系中各個點(diǎn)電荷之間的靜電（庫侖）相互作用勢能的總和.如果非要說某個電荷的電勢能不可，也應(yīng)理解為該電荷與所有其他電荷靜電相互作用勢能的總和.可見，說單個電荷的電勢能既在原理上不甚恰當(dāng)，也不能充分表達(dá)電勢能所蘊(yùn)含的物理意義.這其實(shí)也是勢能和動能的不同之處，眾所周知，即使對單個物體當(dāng)然可以談?wù)撈鋭幽?再回到上述兩個電荷的情形.雖然這里電勢能可以表達(dá)成qV的形式，V為場源電荷Q在q所在處的電勢，電勢V卻是單個點(diǎn)電荷Q的性質(zhì).電勢的意義在于以標(biāo)量形式描述電場.總之，可以談?wù)搯蝹€點(diǎn)電荷的電勢及其在空間的分布，而不宜說單個點(diǎn)電荷的電勢能.這是電勢與電勢能的關(guān)鍵性區(qū)別.類似地，通常所說在重力場中某個重物的勢能也完全可以說是地球在該重物引力場中的勢能，因?yàn)橹亓菽鼙厝皇侵钢匚锱c地球之間引力相互作用的能量，同樣是重物和地球組成的體系的性質(zhì).就是說，機(jī)械勢能也必是相互作用的能量，決非單個物體或質(zhì)點(diǎn)所獨(dú)有.同樣，與重力勢能不同，重力勢卻非重物和地球體系的性質(zhì)，而純屬地球自身的力學(xué)性質(zhì)，這與電勢可以是單個點(diǎn)電荷電場的性質(zhì)是完全相似的.

不過勢與勢能有一點(diǎn)相同，都是差值才具有明確的物理意義，而具體數(shù)值都依賴于原點(diǎn)的選取，實(shí)際上便是對零值的差.這里討論兩個具體的典型例子.

首先是最常見的重物和地球.重物處于某處時這一體系的引力勢能可寫為地球在該處的引力勢VG與重物質(zhì)量m的乘積m VG.VG決定于該處相對地球中心的位置以及地球的質(zhì)量分布.習(xí)慣上常將地球抽象為一質(zhì)量極大的理想剛性球，其中心位置及質(zhì)量分布都不會因?yàn)橹匚锏拇嬖诤瓦\(yùn)動而改變；因而空間任何一點(diǎn)的引力勢均為一不變常數(shù)，均可取為重力勢的參考點(diǎn)，即認(rèn)為該點(diǎn)的重力勢為零.這樣，相應(yīng)地，當(dāng)重物處任意位置時其與地球組成的體系的勢能都可取為重力勢能的零值.即不論重物置地面還是塔頂抑或井底都可取體系的勢能為零.重物處地面附近的情形最為常見，因此很多時候特別是中學(xué)教學(xué)里都取重物處地面時其與地球組成體系的勢能為勢能的零值.由此，通常所說重物處于某處的重力勢能其實(shí)就是重物處于該處和其處地面時與地球之間的引力勢能之差.

其次是電勢.這與地球的引力勢有所不同.以一組點(diǎn)電荷為例，其電場在任意點(diǎn)P的電勢與各個電荷的位置有關(guān)，位置變化電勢就變化.因此，除非各點(diǎn)電荷固定在空間不動，P點(diǎn)的電勢不具備參考點(diǎn)的功效.就是說電勢的零點(diǎn)不能任意選取.如電荷分布在有限空間通常取無窮遠(yuǎn)處為電勢零點(diǎn)，因?yàn)橛邢蘅臻g電荷的變化和運(yùn)動并不會對無窮遠(yuǎn)處產(chǎn)生影響.相應(yīng)地，電勢能的零點(diǎn)也不能任意選取.對于給定電荷和場源電荷之間的相互作用靜電勢能，如果場源電荷處在空間的有限范圍，常將給定電荷處于無限遠(yuǎn)處時其與場源電荷間的電勢能作為靜電勢能的零點(diǎn).習(xí)慣上還有一種電勢零點(diǎn)的選擇，就是將地球電勢取為零（以不考慮地球本身攜帶的負(fù)電荷為前提，而將地球視為一碩大的中性導(dǎo)體球）.這是因?yàn)榈厍螂娙莺艽?，有限的電量增減并不能使其電勢產(chǎn)生明顯變化.這兩種電勢零點(diǎn)選取的兼容性筆者曾與同事有專文探討［1］.

2 勢能與保守力

眾所周知，保守力做功導(dǎo)致勢能變化，而勢能的負(fù)梯度就是保守力.例如重力勢能的負(fù)梯度就是地球引力，具體計(jì)算則為對重物位置求導(dǎo)數(shù).問題在于重物對地球也有引力；因此，嚴(yán)格說來在慣性參照系（例如取重物與地球的質(zhì)心為參照系）里當(dāng)重物位置變化時地球的位置也要變化，這也會導(dǎo)致重力勢能的變化.換言之，重力勢能不僅僅單是重物位置的函數(shù).這當(dāng)然是因?yàn)閯菽苁欠从丑w系相互作用的能量這一性質(zhì).不過，實(shí)際上由于地球質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于重物的質(zhì)量，地球位置的變化實(shí)際上可略去，這才使我們可以只關(guān)心重物的位置.于是便得到慣常使用的重力和重力勢能的關(guān)系.但如果組成體系的物體彼此的質(zhì)量可以比擬，在討論保守力和體系勢能的關(guān)系時原則上應(yīng)考慮每個物體位置的變化.下面以兩個點(diǎn)電荷q1和q2組成的體系為例具體討論這一問題.略去萬有引力作用，體系的勢能即靜電勢能（以二者相距無窮遠(yuǎn)時電勢能為零）可表示為

其中r1和r2分別為q1和q2的位矢.所謂點(diǎn)電荷，可視為荷電的質(zhì)點(diǎn).由于庫侖相互作用，一個點(diǎn)電荷q1的位置r1變化時另一點(diǎn)電荷q2的位置r2也要變化，但靜電勢能只決定于彼此間的相對位置，即距離|r1-r2|.將式（1）簡化為

其中

q1受到的庫侖力為

式（4）中，

式（4）的分量形式是

注意

可得

（r1-r2）0為從q2指向q1的單位矢量.

如q1與q2同號，則K＞0，q1受力方向?yàn)橛蓂2指向q1，即為斥力.如q1與q2異號，則K＜0，q 1受力方向?yàn)橛蓂1指向q2，即為引力.

同理可得q2受到的庫侖力為

上面的討論完全適用于分別位于r1和r2、質(zhì)量分別為m1和m2的兩個質(zhì)點(diǎn)之間的萬有引力.此時（取m1和m2相距無窮遠(yuǎn)時為勢能零點(diǎn)）

式中G為引力常數(shù).由于K′恒小于零，與引力相應(yīng).

如果體系中包含兩個以上的點(diǎn)電荷，分別用q1，q2，…，qn表示；各個點(diǎn)電荷的位置為r1，r2，…，rn，體系的靜電相互作用能即勢能可表示為

容易得到第i個電荷qi所受的庫侖力

3 與勢能相關(guān)的能量守恒定律

習(xí)慣上在力學(xué)范圍內(nèi)認(rèn)為在保守力作用下機(jī)械能守恒，典型的例子是在重力作用下重物的機(jī)械能守恒.重力這一保守力對重物做功導(dǎo)致重力勢能下降，轉(zhuǎn)化為重物動能的增量，于是重物的機(jī)械能守恒.其實(shí)，重力對重物做功轉(zhuǎn)化為重物的動能只是動能定理對重物的應(yīng)用，因?yàn)槿缜八鰴C(jī)械能中的勢能屬于重物和地球組成的體系，并非重物獨(dú)有.比動能定理更為普遍的功能原理在這里表現(xiàn)為引力保守力對重物和地球二者做功導(dǎo)致體系重力勢能下降，轉(zhuǎn)化為重物和地球二者動能的增量.只是由于地球質(zhì)量遠(yuǎn)大于重物，引力對地球做的功和地球的動能可以忽略，勢能下降在實(shí)際上便全歸結(jié)為重力對重物所做的功.如果體系中物體的質(zhì)量可以比較，則保守力的功應(yīng)為其對所有受保守力作用的物體所做功的總和，并轉(zhuǎn)化為所有物體動能的增加；這樣才可完整地體現(xiàn)出只有保守力做功的孤立體系的功能原理，且這里功能原理具體表現(xiàn)為機(jī)械能守恒，即體系勢能的變化轉(zhuǎn)化為體系動能的增量.這一功能原理對靜電勢能同樣適用.下面討論兩個質(zhì)量m1和m2可以比擬的點(diǎn)電荷q1與q2組成的體系.設(shè)初始狀態(tài)為二者被束縛靜止于水平面上x軸原點(diǎn)兩邊的x10和x20處，x10＞0，x20＜0.為簡單計(jì)，將原點(diǎn)置于體系的質(zhì)心上，即取質(zhì)心系.因此有

假設(shè)q1和q2異號，則當(dāng)束縛松開后兩電荷便在庫侖引力作用下沿x軸相向加速運(yùn)動.我們討論二者在原點(diǎn)相遇前的運(yùn)動過程.為簡單計(jì)，略去摩擦損耗.從兩點(diǎn)電荷的牛頓方程開始.

對q1，庫侖力為

利用式（3）可將上式簡化為

此處

由于取質(zhì)心系，m1x1+m2x2=0，式（14）化為

其中

于是可寫出q1的牛頓方程

v1為q1的速度.代入式（16）可化為

積分得

同理，對q2可得

其中

式（18）左邊表示庫侖保守力對q1做的功；而式（19）左邊則表示靜電力對q2做的功.將此二式相加，并注意m1x10+m2x20=m1x1+m2x2=0，可得

式（20）左邊表示保守力做的總功；而第一項(xiàng)正是初始狀態(tài)體系的靜電勢能Ep0，第二項(xiàng)則為終態(tài)體系勢能Ep，上式即為

這正是這一孤立體系的功能原理.保守力庫侖力做功，導(dǎo)致體系勢能下降，轉(zhuǎn)化為兩個質(zhì)點(diǎn)m1與m2動能的增量.式（21）中的0表示初態(tài)體系動能.注意式（18）和式（19）分別為兩個質(zhì)點(diǎn)的動能定理，表示保守力做功的一部分轉(zhuǎn)化為一個質(zhì)點(diǎn)動能的增加；另一部分轉(zhuǎn)化為另一個質(zhì)點(diǎn)動能的增加.而式（20）的左邊則表示保守力做的總功，即對所有受保守力作用物體所做的功的總和，以體系勢能下降為代價(jià).式（20）也可視為機(jī)械能守恒的推廣，因?yàn)殪o電勢能和機(jī)械勢能具有同樣的能量轉(zhuǎn)化功效.

我們還可以注意到在一定程度上式（4）和式（17）是等價(jià)的，實(shí)際上可視為互為逆運(yùn)算.式（17）表示在給定參照系里只有質(zhì)點(diǎn)本身有位移外力才能做功.例如這里的情形，如果q1的位置不變，d x1=0，即使q2位置變化使作用在q1上的庫侖力改變，庫侖力也不會對q1做功.

然而，由式（20）也使我們看到保守力做的總功只取決于物體間相對位置x1-x2的變化，從而不依賴于參照系的選擇.因此，通常在計(jì)算重力或靜電力做的總功時可以取某個物體或電荷靜止的參照系（包括非慣性參照系）而使計(jì)算簡單［2］.不過，這樣做并不意味著勢能這樣的體系性質(zhì)可以簡化為類似于動能那樣的單個物體的性質(zhì).而且，在非慣性系里雖然保守力的總功仍可正確計(jì)算，但必須計(jì)及慣性力才能應(yīng)用基于牛頓定律的動能定理等其他規(guī)律.我們?nèi)砸詢蓚€質(zhì)量分別為m1和m2的質(zhì)點(diǎn)的力學(xué)體系為例.設(shè)保守力為fc.在質(zhì)心系里，設(shè)二質(zhì)點(diǎn)的位矢為r1和r2.m1的動能定理為

而m2的動能定理為

保守力的功能原理為

其中應(yīng)用了質(zhì)心系條件m1v1+m2v2=0.d Wc為保守力對m1和m2所做的元功總和.注意d r1-d r2=d（r1-r2），而（r1-r2）為m2靜止的非慣性系中m1的位矢，d（r1-r2）則為在該非慣性系中m1的元位移.因此在m2靜止的非慣性系中保守力的功仍為d Wc.這里比式（20）更清楚地表明保守力的總功不依賴于參照系的選擇.

在m2靜止的非慣性系中，m1的動能增量為由于在該參照系中保守力的元功仍為d Wc，顯然，d Ek≠d Wc.這一差別可歸結(jié)為慣性力做功.作用在m1上的慣性力為，因而慣性力做的元功d Wi應(yīng)為

代入fi的表達(dá)式，并注意可得

比較以上各式可知d Ek=d Wc+d Wi.

如果m2?m1，便約化到通常重物和地球的情形.

對由若干個荷電導(dǎo)體組成的體系而言，電荷間相互作用勢能還有一層意義.靜電場的能量就是組成這一體系的所有電荷元之間相互作用勢能的總和［3］.而對重物和地球體系而言，當(dāng)討論引力做功導(dǎo)致體系勢能變化時引力為保守內(nèi)力；體系勢能降低（增加）轉(zhuǎn)化為動能增加（降低），從而使體系的機(jī)械能保持不變，適用功能原理.而單對重物而言，地球引力為外力.如重物下降，外力做正功使重物動能增加，適用動能定理.對單個重物談?wù)搫菽芑驒C(jī)械能守恒原則上并無意義.當(dāng)然，無論動能定理還是功能原理都是普遍的能量守恒原理的具體表現(xiàn).

4 勢能與態(tài)函數(shù)

在日常教學(xué)實(shí)踐中，除去氣體壓強(qiáng)和膨脹做功而外熱學(xué)和力學(xué)、電學(xué)少有聯(lián)系.其實(shí)，熱力學(xué)中態(tài)函數(shù)的概念卻將力學(xué)、電學(xué)和熱學(xué)這幾個分支學(xué)科緊密聯(lián)系在一起.這個聯(lián)系點(diǎn)就是勢能.勢能具有態(tài)函數(shù)所有的諸多性質(zhì).以兩個點(diǎn)電荷組成體系的靜電勢能為例，如將彼此相隔距離r作為一種狀態(tài)，那么靜電勢能就是態(tài)函數(shù)，因?yàn)橹灰舜讼嗑鄏，兩電荷間的靜電勢能就完全確定，而和如何達(dá)到此距離的歷史或過程無關(guān).在零值選定之后，態(tài)函數(shù)就唯一地由狀態(tài)參量的值決定.這里電荷間的距離r就是狀態(tài)參量.由此可見勢能這一概念將力學(xué)、靜電學(xué)和熱力學(xué)通過態(tài)函數(shù)緊密地聯(lián)系在一起，成為物理學(xué)是一有機(jī)整體的典型例證.這種聯(lián)系的一個重要表現(xiàn)就是看似不同的物理現(xiàn)象可用相同或相近的概念或規(guī)律描述［4］.這在物理學(xué)中屢見不鮮.教師掌握這類聯(lián)系無疑有助于提升教學(xué)質(zhì)量.

本文涉及的關(guān)于勢能的所有內(nèi)容并非全能見諸大學(xué)基礎(chǔ)物理的常規(guī)教材，也并非必須全在課堂上講授.然而，筆者認(rèn)為教師掌握相關(guān)內(nèi)容則是完全必要的.這也是本文的目的所在.

［1］冀敏，蔣平.淺談兩種常用靜電勢零點(diǎn)選擇的兼容性［J］.物理與工程，2016，26（1）；

［2］梁勵芬，蔣平.大學(xué)物理簡明教程［M］.3版.上海:復(fù)旦大學(xué)出版社，2011:95.

［3］冀敏，蔣平.帶電導(dǎo)體系的電場能量［J］.物理與工程，2015，25（3）:34-37.

［4］Crawford Jr.Waves:Berkeley physics course［M］.Volume 3. New Delhi:Tata McGraw Hill Education Private Limited. 2011:Preface to VolumeⅢ.

POTENTIAL ENERGY AND RELATED CONCEPTS

Jiang Ping
（Physics Department，F(xiàn)udan University，Shanghai 200433）

Currently how to treat reasonably the relationship between physics teaching in high schools and that in universities and colleges，making smooth link between them is a generally concerned problem.Taking potential energy as a concrete example the author tries to answer this problem.Basically the paper consists of three parts:the difference between potential and potential energy，the conservative force and potential energy，and the energy changes that potential energy is involved in.Besides，the potential energy is considered as a state function to show the organic connections between different branches of physics，i.e.，many different and apparently unrelated physical phenomena can be described in terms of common or similar concepts.

potential energy；interaction；conservative force；state function

2016-05-13

蔣平，男，教授，長期從事固體物理的教學(xué)和理論研究，復(fù)旦大學(xué)物理學(xué)系課堂教學(xué)督導(dǎo)組組長.pjiang@fudan.edu.cn

蔣平.勢能及相關(guān)概念［J］.物理與工程，2016，26（4）:40-44.