石循忠

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高等數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)的設(shè)計與優(yōu)化

石循忠

（湖南科技學(xué)院 教務(wù)處，湖南 永州 425199）

優(yōu)良的教學(xué)結(jié)構(gòu)是提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的關(guān)鍵。文章以“曲率”為案例，探討了高等數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)的宏觀設(shè)計與微觀設(shè)計的內(nèi)容和方法；并在案例分析的基礎(chǔ)上，揭示了不斷優(yōu)化高等數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)的途徑與過程。

高等數(shù)學(xué)；教學(xué)結(jié)構(gòu)；案例分析；曲率

高等數(shù)學(xué)是高校理工科專業(yè)、經(jīng)濟(jì)與管理類專業(yè)（乃至文科專業(yè)）的基礎(chǔ)課程，在傳播近現(xiàn)代數(shù)學(xué)知識、培養(yǎng)學(xué)生思維能力以及提升綜合素質(zhì)等方面發(fā)揮著重要功能，而且在培育理性精神、建設(shè)校園文化方面起到特殊作用。要提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量，課堂教學(xué)這一環(huán)節(jié)至關(guān)重要。在學(xué)生學(xué)習(xí)基礎(chǔ)有保證的前提下，如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又成為高等數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的核心問題。從事高等數(shù)學(xué)的教師們通過展示數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值、挖掘數(shù)學(xué)的審美文化、滲透數(shù)學(xué)的思想方法等途徑培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，取得了良好的教學(xué)效果，也出臺了有價值的教研成果。但筆者認(rèn)為，要使學(xué)生對高等數(shù)學(xué)保持穩(wěn)定的學(xué)習(xí)興趣，優(yōu)良的教學(xué)結(jié)構(gòu)至關(guān)重要。讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識自身的魅力，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的關(guān)鍵。如何科學(xué)設(shè)計教學(xué)結(jié)構(gòu)，并通過分析與反思不斷優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，就顯得尤為重要。本文結(jié)合教學(xué)研究案例，談?wù)劯叩葦?shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)的設(shè)計與優(yōu)化問題。

1　教學(xué)結(jié)構(gòu)的設(shè)計

何克抗教授指出：教學(xué)結(jié)構(gòu)，是指在一定教育思想、教學(xué)理論、學(xué)習(xí)理論指導(dǎo)下，在某種環(huán)境中展開的教學(xué)活動進(jìn)程的穩(wěn)定結(jié)構(gòu)形式[1]。教學(xué)結(jié)構(gòu)的設(shè)計可從宏觀和微觀兩個層面來進(jìn)行，宏觀設(shè)計是對教學(xué)活動的整體與框架的設(shè)計，微觀設(shè)計是對教學(xué)活動的局部與細(xì)節(jié)的設(shè)計。宏觀設(shè)計是微觀設(shè)計的基礎(chǔ)，而微觀設(shè)計又是宏觀設(shè)計的補(bǔ)充，二者相輔相成，不可或缺。

1.1宏觀設(shè)計

高等數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)宏觀設(shè)計的具體任務(wù)是，在鉆研教學(xué)大綱、利用教學(xué)資源、反復(fù)分析教材、全面了解學(xué)生的基礎(chǔ)上編制教學(xué)路線圖。教學(xué)路線圖，就是對教學(xué)要素和教學(xué)過程的合理的步驟預(yù)設(shè)，體現(xiàn)師生主體的活動，控制課堂節(jié)奏和活動效果[2]。數(shù)學(xué)教材是數(shù)學(xué)知識的載體，數(shù)學(xué)知識的發(fā)生過程、來龍去脈，在數(shù)學(xué)教材中往往按照邏輯順序予以呈現(xiàn)，采用“概念—定理—證明—例題—習(xí)題”的方式展開。在編制教學(xué)線路圖時，經(jīng)常要照顧數(shù)學(xué)知識的邏輯順序。例如，高等數(shù)學(xué)中“曲率”[3]的教學(xué)路線圖可設(shè)計如圖1。

1.2微觀設(shè)計

在宏觀設(shè)計下的教學(xué)路線指引下，對課堂教學(xué)的具體環(huán)節(jié)進(jìn)行細(xì)化，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)微觀設(shè)計的任務(wù)。只有通過微觀設(shè)計，才能使教學(xué)路線具有較強(qiáng)的操作性。微觀設(shè)計主要是對課題引入、環(huán)節(jié)過渡、師生互動、媒體運(yùn)用的預(yù)設(shè)與描述。

（1）課題引入?！昂玫拈_頭等于成功的一半”。課題引入對培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣、激發(fā)學(xué)習(xí)動機(jī)、保證課堂教學(xué)的順利進(jìn)行至關(guān)重要。教師們在課題引入方面積累了多種方式，如復(fù)舊引新、問題導(dǎo)引、數(shù)學(xué)應(yīng)用、運(yùn)用史料、關(guān)注時事、學(xué)科交叉等。但這些引入方式歸結(jié)起來不外乎于兩種，即內(nèi)部引入和外部引入。數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)之間的邏輯關(guān)系稱為“內(nèi)部”，數(shù)學(xué)在生活、生產(chǎn)及其它學(xué)科中的來源與應(yīng)用稱為“外部”。無論是“內(nèi)部”還是“外部”，只要能較好地調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，就是成功的引入方式。事實上，高等數(shù)學(xué)教學(xué)更多采用內(nèi)部引入。內(nèi)部引入的經(jīng)典做法是“在新舊知識的聯(lián)系與矛盾上切入新知識”，聯(lián)系是基礎(chǔ)，矛盾引沖突，二者缺一不可。“曲率”的課題引入可簡潔的進(jìn)行：前面研究了曲線的凹凸性，即描述曲線弧的彎曲方向（可舉例）。但通過觀察發(fā)現(xiàn)，同樣的彎曲方向，曲線在不同的位置的彎曲程度是不同的。怎樣定量刻畫曲線弧的彎曲程度呢？這就是今天要研究的課題——“曲率”。

（2）環(huán)節(jié)過渡。要使學(xué)生保持高度數(shù)學(xué)的聽課熱情，僅有課題引入還不夠，還需在教學(xué)路線圖描述的教學(xué)片段之間的自然連接上做文章，即設(shè)計環(huán)節(jié)過渡。環(huán)節(jié)過渡的優(yōu)良設(shè)計，可使教師思路清晰而不混亂，更可使學(xué)生感覺充實而不緊張。環(huán)節(jié)過渡一般有承接式、推進(jìn)式、轉(zhuǎn)向式、綜合式等，可根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容而定。如從引入課題“曲率”到研究“弧微分”的過渡是承接式；從“平均曲率”到“某一點的曲率”、從“曲率的定義”到“曲率的計算”是推進(jìn)式；弧微分從“直角坐標(biāo)方程的表達(dá)式”到“極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的表達(dá)式”是轉(zhuǎn)向式；從“曲率”到“曲率圓”、“曲率中心”、“曲率半徑”是綜合式。

（3）師生互動。師生互動可以調(diào)動學(xué)習(xí)興趣、活躍課堂氣氛。師生互動有教師“臨時動念”的靈感，但更多地需要預(yù)先設(shè)計。師生互動與前面的“課題引入”、“環(huán)節(jié)過渡”直接相關(guān)，教師往往在“引入”和“過渡”的點上設(shè)計導(dǎo)引式提問，來實現(xiàn)師生互動。教師的提問，可由學(xué)生回答，或只問不答，或自問自答，但總比沒有提問要好。隨著年齡的增大，學(xué)生的回答方式逐步趨于理性與冷靜，尤其高等數(shù)學(xué)的教學(xué)，課堂上表面上并不顯得很熱鬧，但有一種“思維的暗流”，是“有序的思維流動”，學(xué)生在“火熱的思考”中，體驗數(shù)學(xué)“冰冷的美麗”。

（4）媒體運(yùn)用。傳統(tǒng)的教學(xué)手段是“黑板+粉筆”，盡管看起來顯得過時，但還大有存在的市場。對高等數(shù)學(xué)教學(xué)而言，教師邊講、邊畫，這種教學(xué)節(jié)奏往往還發(fā)揮著特殊的、甚至不可替代的作用。當(dāng)然，隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的發(fā)展，多種教學(xué)媒體層出不窮，從教具到幻燈片，從展示臺帶計算機(jī)，從教學(xué)軟件到網(wǎng)絡(luò)資源，顯示出強(qiáng)大的沖擊力。如何科學(xué)運(yùn)用多種媒體，也是教師需要具體設(shè)計的。如“曲率”概念的發(fā)出過程，可以通過呈現(xiàn)圖片、設(shè)置動畫來實現(xiàn)：

動畫1 一點沿著曲線變動時，相應(yīng)的切線也隨之變動，觀察兩條切線之間夾角的變化大小。

2　教學(xué)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化

高等數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)的設(shè)計，是教師在課前憑借經(jīng)驗（直接的或間接的）對教學(xué)路線和細(xì)節(jié)的預(yù)設(shè)。由于教師和學(xué)生的各種原因，教學(xué)結(jié)構(gòu)的實現(xiàn)不一定能“如愿以償”，就算實現(xiàn)了，也不一定是優(yōu)良的教學(xué)結(jié)構(gòu)，因此教學(xué)結(jié)構(gòu)還有個不斷優(yōu)化的過程。高等數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化，是建立在反映教學(xué)結(jié)構(gòu)的案例分析之上的。

2.1案例分析

教學(xué)案例即用于教學(xué)的案例，是關(guān)于某個課堂教學(xué)具體情況的記錄，是對真實發(fā)生的事件或情境的完整描述。高等數(shù)學(xué)教研室在公開課教研活動中，執(zhí)教教師展示的具體課堂、聽課教師記錄或記憶的真實課堂，就是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)案例。教研室通過集體評課的方式，剖析教學(xué)案例，分析教學(xué)結(jié)構(gòu)，對改進(jìn)和優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)是至關(guān)重要的。

事實上，只有解剖幾節(jié)課，教師才能學(xué)會上課，一個教師的專業(yè)成長就是在“上課—評課—反思—上課”循環(huán)往復(fù)的過程中逐步提高教學(xué)水平的。如針對“曲率”這一教學(xué)案例，可作如下分析：

（1）宏觀設(shè)計的分析

先講弧微分，還是先講曲率的概念與計算呢?

（2）微觀設(shè)計的分析

課題“曲率”采用內(nèi)部引入，從研究“彎曲方向”到研究“彎曲程度”，倒是自然的。但為什么要研究曲線的彎曲程度，尤其在某點處的彎曲程度，不結(jié)合實際問題（如鐵軌彎道連接），這種研究的必要性在哪里，學(xué)生感到迷惑。

弧微分的“直角坐標(biāo)方程”表達(dá)式出來以后，馬上給出“參數(shù)方程”、“極坐標(biāo)方程”的表達(dá)式，將知識系統(tǒng)化后，才考慮曲率的實際應(yīng)用（如鐵軌轉(zhuǎn)彎連接問題），值得思考。學(xué)生學(xué)到某個數(shù)學(xué)知識后，馬上想運(yùn)用它來解決實際問題（正是課題引入時要考慮的實際問題）。在沒有看到應(yīng)用價值時，就把數(shù)學(xué)知識拓展到系統(tǒng)化程度，學(xué)生感到不安。

2.2結(jié)構(gòu)優(yōu)化

從案例分析中看出，數(shù)學(xué)知識的邏輯順序與學(xué)生學(xué)習(xí)的認(rèn)知順序之間是有出入的，有時甚至還有很大不同，高等數(shù)學(xué)教師在考慮教學(xué)順序（設(shè)計教學(xué)路線）時，應(yīng)該在數(shù)學(xué)知識的邏輯順序和認(rèn)知順序之間取得某種平衡，并更多地照顧學(xué)生的認(rèn)知順序，這是提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的根本保證。不然學(xué)生則會認(rèn)為“數(shù)學(xué)知識是完美的，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是乏味的，學(xué)到知識是無用的”等等。在分析學(xué)生的認(rèn)知順序時，參照數(shù)學(xué)知識的歷史順序是有價值的。我們假定學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識與數(shù)學(xué)家研究數(shù)學(xué)在本質(zhì)上是一致的，只有難度大小和周期長短不同。

在案例分析的基礎(chǔ)上，綜合考慮各方面因素，改進(jìn)預(yù)先的教學(xué)設(shè)計，優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，是自然要考慮的問題。例如，“曲率”的教學(xué)路線圖（圖1）可改進(jìn)為圖2。

圖1.“曲率”的教學(xué)路線圖

圖2.改進(jìn)后的“曲率”教學(xué)路線圖

至于“參數(shù)方程”、“極坐標(biāo)方程”情形的弧微分表達(dá)式以及相應(yīng)的曲率計算公式，可作為彈性內(nèi)容，根據(jù)教學(xué)時間靈活處理，或作為選學(xué)內(nèi)容，放到課后完成。當(dāng)然，圖2還不是“曲率”的最優(yōu)教學(xué)結(jié)構(gòu)，可以說永遠(yuǎn)找不到最優(yōu)的教學(xué)結(jié)構(gòu)。

3　結(jié)束語

高等數(shù)學(xué)的教學(xué)結(jié)構(gòu)有一個不斷優(yōu)化的過程，在這一過程中，教研活動是基本載體。高等數(shù)學(xué)教研室確定一個主題，選擇一個課題。首先組織教師集體備課，做好教學(xué)結(jié)構(gòu)的“設(shè)計”；然后是上課和聽課的環(huán)節(jié)，屬于教學(xué)結(jié)構(gòu)的“實施”；接著安排集體評課，進(jìn)行案例分析，完成教學(xué)結(jié)構(gòu)的“優(yōu)化”；最后總結(jié)教學(xué)結(jié)構(gòu)的一般經(jīng)驗，旨在做好下一輪的“設(shè)計”。我們探索高等數(shù)學(xué)教學(xué)結(jié)構(gòu)一般規(guī)律的過程，就是“設(shè)計—實施—優(yōu)化—設(shè)計”的循環(huán)往復(fù)、以至無窮的過程。

[1]何克抗.教學(xué)結(jié)構(gòu)理論與教學(xué)深化改革(上),電化教育研究[J],2007,(7):5-10.

[2]涂榮豹,寧連華,徐伯華數(shù)學(xué)教學(xué)案例研究[M]北京北京師范大學(xué)出版社,2011．

[3]黃立宏,廖基定高等數(shù)學(xué)(上)[M]上海復(fù)旦大學(xué)出版社,2006．

（責(zé)任編校：宮彥軍）

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1673-2219（2016）05-0001-03

2015－12－26

湖南省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“地方高校數(shù)學(xué)文化傳播研究”（項目編號XJK013CGD061）。

石循忠（1966－），男，湖南寧遠(yuǎn)人，教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為數(shù)學(xué)教育與數(shù)學(xué)文化。