許明義　張鴻俊　曾　柯　唐明明　聶存云

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關(guān)于空間解析幾何中向量與距離教學(xué)的一點(diǎn)探討

許明義1張鴻俊1曾柯1唐明明1聶存云2

（1.湖南工程學(xué)院 計(jì)算機(jī)與通信學(xué)院；2.湖南工程學(xué)院 理學(xué)院；湖南 湘潭 411104）

空間解析幾何是多元函數(shù)微分學(xué)和積分學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容之一。本文聯(lián)系初等方法的解析幾何、立體幾何內(nèi)容，結(jié)合向量代數(shù)方法的空間解析幾何知識點(diǎn)，將幾何學(xué)習(xí)中的常用的點(diǎn)、線、面等內(nèi)容融會(huì)貫通，有助于空間解析幾何的教與學(xué)，達(dá)到理想的教學(xué)效果。

空間解析幾何；向量與距離；教學(xué)方法

空間解析幾何是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，它不僅是高中解析幾何、立體幾何內(nèi)容的延伸，更是學(xué)習(xí)多元函數(shù)微分學(xué)的重要基礎(chǔ)[1-3]。該部分內(nèi)容教學(xué)直接影響高等數(shù)學(xué)教學(xué)效果。下面主要針對該部分內(nèi)容，討論采用何種方式進(jìn)行教學(xué)才能得到理想的教學(xué)效果和教學(xué)目標(biāo):由初等方法引入，引導(dǎo)學(xué)生利用向量及其代數(shù)運(yùn)算來推導(dǎo)與計(jì)算點(diǎn)與點(diǎn)、直線、平面的距離、兩條平行直線與異面直線之間距離的解析計(jì)算方法，其中向量代數(shù)方法幾何意義形象直觀。該教學(xué)思路與方法將上述基本知識點(diǎn)進(jìn)行串聯(lián)、融會(huì)貫通，有助于學(xué)生理解掌握空間解析幾何的知識點(diǎn)。

1　由具體到抽象導(dǎo)出兩點(diǎn)間的距離

這樣的教學(xué)方式，將兩點(diǎn)間距離的概念由簡單到復(fù)雜，由具體到抽象逐步深入的講解，能培養(yǎng)學(xué)生的抽象、歸納能力，理解向量的模、距離等概念。

2　由向量點(diǎn)積的幾何意義導(dǎo)出點(diǎn)到直線、平面的距離

教學(xué)中，首先可讓學(xué)生回憶平面解析幾何中的求解思路：求出過點(diǎn)P的垂直于L的垂線 L：，聯(lián)立直線L、L的方程，計(jì)算交點(diǎn)坐標(biāo)并利用兩點(diǎn)間的距離公式，求得。

圖1.（a）點(diǎn)P到直線L的距離.(b)點(diǎn)P到平面的距離.(c) 兩條平行直線間的距離. (d)兩個(gè)平行平面間的距離. (e)兩異面直線間的距離.

接著，引導(dǎo)學(xué)生思考利用向量的代數(shù)運(yùn)算，兩個(gè)向量的點(diǎn)積的幾何意義：一個(gè)向量在另一向量上的投影，計(jì)算點(diǎn)到直線的距離。直線L的法向量，為直線上任一點(diǎn),則=, 點(diǎn)到直線L的距離為在法向量上的投影的絕對值，即

然后，將該思想方法推廣到點(diǎn)到平面的距離。

這樣由計(jì)算復(fù)雜的初等方法到幾何意義清楚的向量點(diǎn)積導(dǎo)出需要計(jì)算的距離，可加深學(xué)生對此類距離的理解。

3　由向量點(diǎn)積與混合積的幾何意義導(dǎo)出兩空間直線間的距離

可進(jìn)一步推廣，計(jì)算兩個(gè)平行超平面間距離。

也可在一個(gè)平面上任取一點(diǎn)，再利用點(diǎn)到平面的距離公式進(jìn)行計(jì)算。這種由低維空間到高維空間的推導(dǎo)和抽象可培養(yǎng)學(xué)生的抽象、歸納的思維方式。

4　結(jié)　語

文章討論了在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，如何利用初等方法和向量代數(shù)方法推導(dǎo)了解析幾何中關(guān)于點(diǎn)、線、面之間的距離的計(jì)算等知識點(diǎn)，由淺入深、將之融匯在一起，有助于解析幾何的學(xué)習(xí)與理解，有利于提高高等數(shù)學(xué)的教學(xué)效果。

[1]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2011.

[2]李淑玲.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究[J].吾喜雜志.2011,(5).

[3]劉連璞.平面解析幾何方法與研究[M].北京:北京大學(xué)出版社,1999.

（責(zé)任編校：何俊華）

2016－03－20

湖南科技學(xué)院教改課題（湖南科技學(xué)院教字〔2014〕34號），湖南省教改項(xiàng)目（湘教通〔2014〕247號，）

許明義（1997－），男，湖南武岡人，湖南科技學(xué)院計(jì)算機(jī)與通訊學(xué)院14級學(xué)生。

聶存云（1974－），男，副教授，博士，研究方向?yàn)槲⒎址匠虜?shù)值解法與高等數(shù)學(xué)教學(xué)。

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