張鮮，AWOTUNDE A A

（1. Abu Dhabi Marine Operating Company； 2. King Fahd University of Petroleum & Minerals）

油藏模擬歷史擬合中Levenberg-Marquardt算法的改進(jìn)

張鮮1，AWOTUNDE A A2

（1. Abu Dhabi Marine Operating Company； 2. King Fahd University of Petroleum & Minerals）

為了更高效地利用歷史擬合方法估算油藏參數(shù)，提出采用差分進(jìn)化（DE）方法估算最佳阻尼因子，改進(jìn)標(biāo)準(zhǔn)的Levenberg-Marquardt（LM）算法，并通過算例分析驗(yàn)證改進(jìn)后的算法。標(biāo)準(zhǔn)的LM算法中采用試錯法估算阻尼因子，對于大型反演問題可靠性較差，采用DE方法可以有效解決此問題，且不需要使用線搜索去尋找合理步長。將改進(jìn)后的算法應(yīng)用于兩個不同大小油藏模型的歷史擬合中，并與其他算法進(jìn)行對比，結(jié)果表明：運(yùn)用DE方法使LM算法的收斂速度加快、殘差減小，不僅適用于小型、中型反演問題，更適用于大型反演問題；在預(yù)設(shè)LM算法迭代終止標(biāo)準(zhǔn)的情況下，使用改進(jìn)后的算法可以減少迭代次數(shù)、大幅節(jié)省總計算時間，從而提高歷史擬合效率。圖10表2參15

油藏數(shù)值模擬；歷史擬合；Levenberg-Marquardt算法；差分進(jìn)化；線搜索

0 引言

為了有效地管理油氣藏，需要對油氣藏的流體流動特性進(jìn)行可靠預(yù)測，其中1個難題在于如何估算控制流體流動的油藏參數(shù)值。目前還沒有兼顧計算效率和計算精度的油藏參數(shù)估算方法：有些算法用于小型或中型問題時比較有效，但用于大型問題時計算效率較低；有些算法用于大型問題時計算效率較高，但計算精度較差。利用歷史擬合估算油藏參數(shù)的方法已使用多年［1-6］，但歷史擬合非常費(fèi)時，尤其是需要估計的參數(shù)很多時。Levenberg-Marquardt（LM）算法是其中1種常用的基于梯度進(jìn)行參數(shù)估算的反演方法［7］。該算法用于小型和中型反演問題時效率很高，但當(dāng)問題的維數(shù)很大時計算量非常大。這是因?yàn)長M算法需要在每次迭代時計算敏感度矩陣，油藏規(guī)模越大越需要計算敏感度矩陣。而正因?yàn)長M算法保留了敏感度矩陣的重要信息，其計算結(jié)果優(yōu)于其他大多數(shù)同類算法。

LM算法是1種改進(jìn)的Gauss-Newton方法［7-8］，它將阻尼因子λ添加到Gauss-Newton Hessian矩陣的對角元素中。這個阻尼因子為正值，其作用是在矩陣趨于奇異時穩(wěn)定矩陣。選擇合理的λ值既能夠加快算法的收斂速度，又不必采用線搜索（LSCH）去尋找適當(dāng)?shù)牟介L值［8］。然而，確定最佳阻尼因子的過程十分困難，尤其是對于大型反演問題。常用方法是采用試錯法反復(fù)試驗(yàn)、逐步逼近，但有時會出現(xiàn)收斂性變差或者不收斂的問題。

本文提出采用1種全局最優(yōu)化算法——差分進(jìn)化（DE）算法來估算LM算法每次迭代中的阻尼因子λ，通過減少迭代次數(shù)來減少LM算法的總計算時間。利用兩個油藏模型對提出的方法進(jìn)行驗(yàn)證，并與目前常用的方法進(jìn)行對比。

1 理論基礎(chǔ)

根據(jù)鉆井?dāng)?shù)據(jù)直接獲得的油藏參數(shù)信息很少，而利用現(xiàn)有生產(chǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行歷史擬合可間接估算滲透率、孔隙度等油藏物性［2，9］。一般說來，歷史擬合首先要定義目標(biāo)函數(shù)，最常用的目標(biāo)函數(shù)是實(shí)測數(shù)據(jù)與計算數(shù)據(jù)之間誤差的歐幾里得范數(shù)：

此外，還要確定需要估算的油藏模型參數(shù)以及選擇合適的最優(yōu)化算法。歷史擬合使用的最優(yōu)化算法一般分為兩類：局部尋優(yōu)和全局尋優(yōu)。全局最優(yōu)化算法非常耗費(fèi)計算資源，因此往往局限于小型和中型反演問題，而局部最優(yōu)化算法在處理大型問題時效率更高。大多數(shù)局部最優(yōu)化算法利用目標(biāo)函數(shù)的梯度確定可能的搜索方向，被稱為基于梯度的算法?；谔荻鹊乃惴ú捎酶鶕?jù)敏感度系數(shù)計算的精確或近似Hessian矩陣，比其他不使用Hessian矩陣的算法更快收斂。對于大型油藏參數(shù)反演問題，基于梯度的算法是最常用的最優(yōu)化算法。這些算法中最常用的包括擬Newton算法、Gauss-Newton算法和LM算法。本文主要研究如何改進(jìn)LM算法。

1.1 Levenberg-Marquardt算法

LM算法是一種基于梯度的算法，它采用敏感度矩陣計算Hessian矩陣。LM算法通過迭代過程實(shí)現(xiàn)，在每次迭代中，都要計算一個近似的牛頓方向sj：

（2）式中，Hessian矩陣計算方法如下：

（3）式中，敏感度矩陣S由下式給定：

（3）式中，對稱的半正定矩陣STS即所謂的Gauss-Newton Hessian矩陣，它可能含有零值本征值（奇異），也可能接近奇異，或者出現(xiàn)嚴(yán)重病態(tài)。加入1個對角矩陣λI有助于穩(wěn)定Hessian矩陣，確保該矩陣保持正定。λ值的大小會影響迭代次數(shù)，從而影響算法的收斂速度。如果λ值太小，Hessian矩陣仍將趨于奇異或者嚴(yán)重病態(tài)；如果λ值太大，迭代步長會非常小，這不利于計算的快速收斂。

根據(jù)（2）式計算出近似的牛頓方向后，后續(xù)迭代用下式計算：

（5）式中，υ為迭代步長，它決定了沿計算方向的迭代次數(shù)。只有當(dāng)（3）式中所用λ值不合適時，才有必要估算υ。如果采用了合理的λ值，那么根據(jù)（2）式計算的牛頓方向就會保證迭代次數(shù)也合理，因此沒有必要額外再去計算υ［8］。α為模型參數(shù)矢量，本文估算的模型參數(shù)為滲透率對數(shù)lnK。

1.2 線搜索

線搜索（LSCH）經(jīng)常用于尋找適用步長υ。本文使用的線搜索算法滿足強(qiáng)Wolfe條件［7，10］，該算法的目的是要找到滿足充分下降條件的步長，即：

曲率條件為：

（6）式、（7）式中，0＜c1＜c2＜1，c1和c2的標(biāo)準(zhǔn)值參見文獻(xiàn)［7］。

1.3 差分進(jìn)化

本文采用差分進(jìn)化（DE）算法估計LM算法中的阻尼因子λ。DE算法通過迭代方式改進(jìn)目標(biāo)函數(shù)的候選解，從而求解最優(yōu)化問題。本文中目標(biāo)函數(shù)如（1）式所示。在基本DE算法中，根據(jù)未知變量上、下限之間的均勻分布隨機(jī)生成候選解的初始種群：

種群大?。ê蜻x解的數(shù)量）由下式［11］確定：

（9）式最初是用于進(jìn)化策略（ES）算法，但是后來Awotunde［12］發(fā)現(xiàn)（9）式對DE算法同樣適用，計算的種群大小更合適。

確定該種群中最佳候選解的方法是評價每個候選解目標(biāo)函數(shù)值的適應(yīng)度。再將這個候選解作為從當(dāng)前這一代種群中所能找到的最優(yōu)解，并將其存儲在外部。如果之后發(fā)現(xiàn)更好的解，就對這個外部存儲的最優(yōu)解進(jìn)行更新。然后利用如下任一公式，對每一個候選解進(jìn)行突變運(yùn)算：

2 Levenberg-Marquardt算法的改進(jìn)

將使用線搜索的標(biāo)準(zhǔn)Levenberg-Marquardt算法稱為LM+LSCH算法，它采用試錯法估算阻尼因子λ，求解近似牛頓方向，再采用線搜索算法尋找合理步長（每次LM迭代中嵌入另一個迭代過程）。本文用DE算法取代試錯法，不使用線搜索，直接設(shè)置步長，將這種算法稱為LM+DE算法。由于不需要尋找合理步長，并且可以在每次DE迭代中并行估算最優(yōu)候選解，從而可以節(jié)省大量時間。此外，因?yàn)橹挥?個未知量λ，故將DE算法中的種群大小設(shè)置為4。

本文提出的LM+DE算法概述如下：

①設(shè)置未知模型參數(shù)矢量α的初始估計值，設(shè)置λ的上、下限；

②使用當(dāng)前的α值計算敏感度矩陣S、對稱半正定矩陣STS以及梯度g；

③運(yùn)行DE算法，以確定預(yù)置搜索范圍內(nèi)的λ值，再根據(jù)（3）式計算Hessian矩陣H；

④根據(jù)（2）式求解近似牛頓方向s，將步長υ設(shè)為1，根據(jù)（5）式生成新的α估計值；

⑤重復(fù)步驟②到④，直到滿足LM算法預(yù)設(shè)的終止條件時結(jié)束。

DE算法中，每次函數(shù)求值都必須針對不同的λ值求解（2）式，對每個λ值都必須求得新的α估計值，并且必須進(jìn)行正演模擬以確定對應(yīng)每個λ值的殘差，從而根據(jù)不同殘差來確定最好的λ估計值。因此，DE算法中兩個最費(fèi)時的運(yùn)算就是求解（2）式和進(jìn)行油藏正演模擬。DE算法中包含幾次函數(shù)求值，這兩個運(yùn)算就必須執(zhí)行幾次。（2）式問題的大小就是α中未知量的個數(shù)，通常與模擬系統(tǒng)中的網(wǎng)格數(shù)量有關(guān)，如果使用了模型降階方法，就與閾值的設(shè)定有關(guān)［13-14］。正演模擬中問題的大小既與網(wǎng)格數(shù)量有關(guān)，又與模型中相數(shù)或組分?jǐn)?shù)有關(guān)。求解（2）式的計算時間遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于進(jìn)行1次正演模擬的時間，因此可以忽略。

本文提出LM+DE算法以取代LM+LSCH算法，這兩個算法中都包含標(biāo)準(zhǔn)LM算法的計算步驟，是LM算法的不同版本。它們之間的區(qū)別在于如何改進(jìn)每次LM迭代中的牛頓步（大小和方向）：LM+DE算法試圖直接找到1個合理的牛頓步，而LM+LSCH算法首先找到1個大致的牛頓方向，再計算沿這個方向的合理步長。兩種算法的實(shí)際差別在于，LM+DE算法使用DE估算合理的λ值，而LM+LSCH算法采用LSCH估算合理的υ值。兩種算法計算量的差別取決于求解問題的類型和大小。在每次LM迭代中，如果DE進(jìn)行5次迭代，那么它的函數(shù)求值就要執(zhí)行20次。這就意味著除了標(biāo)準(zhǔn)LM算法的計算步驟（如計算敏感度矩陣、梯度等）以外，在每次迭代中還要執(zhí)行20次正演模擬和求解（2）式。LM+LSCH算法中的LSCH是1個迭代過程，最多執(zhí)行5次迭代，這5次迭代必須依次執(zhí)行，但是如果試錯法得到的λ值足夠好，迭代次數(shù)可能少于5次。每次迭代都包括運(yùn)行1次正演模擬和計算梯度。為了減少LSCH迭代期間計算梯度的時間，本文使用了1個伴隨方程。這樣，每次LSCH迭代就需要運(yùn)行1次正演模擬和1次伴隨模擬。因?yàn)榘殡S模擬與正演模擬計算量大致相當(dāng)，最多5次迭代就差不多相當(dāng)于最多10次正演模擬。因此，DE的計算量多于LSCH。但是，由于DE各個候選解的迭代可以并行，預(yù)計對于大型問題LM+DE算法比LM+LSCH算法耗時更少。此外，采用LM+DE算法時，DE消除了λ值估計的不確定性，只要提供合理的λ值上下限，就能很好地搜索。而試錯法首次迭代中λ值的不當(dāng)選擇（過大或過?。┛赡軐?dǎo)致LM計算的收斂很慢或（2）式中矩陣趨于奇異。

大多數(shù)情況下，DE算法會產(chǎn)生較好的λ估計值，并且已經(jīng)確定如果λ值合理，就沒有必要進(jìn)行線搜索。但是，當(dāng)采用不同的隨機(jī)數(shù)設(shè)置進(jìn)行計算時，DE之類的全局最優(yōu)化方法有可能產(chǎn)生不同的結(jié)果。因此，不能保證DE算法總能得到足夠好的λ值。為了評估LM+DE算法的可靠性，將LM+DE+LSCH作為一個新的算法進(jìn)行計算，然后將運(yùn)行情況與LM+DE算法進(jìn)行對比。顯然，由于LM+DE+LSCH算法除了采用DE算法估計λ值，還使用線搜索確定υ值，比LM+LSCH算法和LM+DE算法更費(fèi)時。

3 算法驗(yàn)證

設(shè)計了兩個不同尺寸（16×16和64×64）的油藏模型，來驗(yàn)證LM+DE算法的性能。通過擬合壓力和含水率數(shù)據(jù)估算滲透率對數(shù)。研究了3種不同數(shù)據(jù)擬合情況的算例：算例1只擬合壓力數(shù)據(jù)；算例2只擬合含水率數(shù)據(jù)；算例3同時擬合壓力和含水率數(shù)據(jù)。通過1個已知的滲透率場模擬生產(chǎn)數(shù)據(jù)，然后加入高斯白噪，得到的數(shù)據(jù)作為實(shí)測數(shù)據(jù)。具體來說，實(shí)測數(shù)據(jù)計算公式［15］為：

壓力和含水率數(shù)據(jù)的信噪比NSR分別設(shè)為10-6和10-5。計算中流體和儲集層性質(zhì)為：標(biāo)準(zhǔn)條件下的原油密度642.7 kg/m3（40 lbm/ft3），標(biāo)準(zhǔn)條件下的水密度1 000 kg/m3（62.238 lbm/ft3），原油等溫壓縮系數(shù)1.7× 10-4MPa-1（1.2×10-6psi-1），水等溫壓縮系數(shù)7.3×10-5MPa-1（5×10-7psi-1），初始油藏壓力34.48 MPa（5 000 psi），初始含水飽和度1×10-6，初始孔隙度25%，井半徑76.2 mm（0.25 ft），表皮系數(shù)為零。

對兩個油藏模型都分別使用了3種算法，即LM+DE、LM+LSCH和LM+DE+LSCH，通過擬合實(shí)測數(shù)據(jù)來估算油藏滲透率分布。對于每個模型，LM算法的迭代次數(shù)為10次。在LM+LSCH和LM+DE+LSCH算法中，設(shè)置LSCH最多執(zhí)行5次迭代。在LM+DE和LM+DE+LSCH算法中，DE的候選解種群中設(shè)置4個候選解，迭代次數(shù)設(shè)為5次。這樣，不論何時調(diào)用DE估算λ值，都會調(diào)用20次正演模擬程序。但是，由于每次DE迭代時4個候選解的迭代是并行的，因此20次函數(shù)調(diào)用所需的時間與5次函數(shù)調(diào)用的時間大致相等，可以節(jié)省大量時間。

LM+LSCH算法中采用試錯法估算λ值。該方法首先設(shè)置一個初始估計值，然后在每次LM迭代中，根據(jù)誤差是否減小來決定對估計值除以還是乘以1個因子，常用的因子值有4和10。本文中這兩個因子值都使用了，將使用因子4的LM+LSCH標(biāo)記為LM1+LSCH，使用因子10的LM+LSCH標(biāo)記為LM2+LSCH。

為了客觀對比，所有算法都使用配置相同的計算機(jī)設(shè)備（64 GB內(nèi)存、Core i7 4960X Intel處理器），并在相同的計算條件下運(yùn)行。

3.1 油藏模型1

油藏模型1大小為16×16，圖1顯示其滲透率場不均勻，包含3口生產(chǎn)井和2口注水井，各井同時投入運(yùn)行。需要擬合的數(shù)據(jù)是所有井的壓力數(shù)據(jù)和生產(chǎn)井的含水率數(shù)據(jù)。共8組數(shù)據(jù)，包括生產(chǎn)井的3組井底壓力數(shù)據(jù)和3組含水率數(shù)據(jù)以及注水井的2組井底壓力數(shù)據(jù)。每組數(shù)據(jù)有256個數(shù)據(jù)點(diǎn)，總數(shù)據(jù)點(diǎn)為2 048個。

圖1 油藏模型1的真實(shí)滲透率場和井位

圖2為油藏模型1各算例誤差范數(shù)值隨迭代次數(shù)的衰減曲線，可以看出：在收斂速度方面，LM+DE算法明顯優(yōu)于LM1+LSCH和LM2+LSCH；LM+DE和LM+DE+LSCH算法的殘差衰減曲線幾乎是重合的。這表明用DE算法替代試錯法來估算λ值，不使用線搜索，計算更高效。

表1詳細(xì)列出了LM1+LSCH、LM2+LSCH、LM+DE和LM+DE+LSCH等4種算法在油藏模型1的3種算例中的執(zhí)行情況。由表1可知：對于油藏模型1這樣的小型問題，在都進(jìn)行10次LM迭代的情況下，LM1+LSCH和LM2+LSCH的計算時間均少于LM+DE的計算時間；LM+DE+LSCH的計算時間最多，這是因?yàn)樗诿看蜭M迭代中都執(zhí)行了DE和LSCH這兩種運(yùn)算，而與LM+DE相比，收斂速度并無明顯改善（見圖2），因此沒有必要再使用LSCH。

圖2 油藏模型1各算例的殘差衰減曲線

表1 油藏模型1各算法不同迭代次數(shù)對應(yīng)的計算時間

由于LM+DE收斂很快，預(yù)先設(shè)置1個殘差值作為LM迭代的終止標(biāo)準(zhǔn)，在第4次迭代時終止LM+DE和LM+DE+LSCH，在第8次迭代時終止LM1+LSCH和LM2+LSCH，然后對比各算法的計算時間（見表1）?？梢钥闯?，在預(yù)設(shè)終止標(biāo)準(zhǔn)的情況下，LM+DE的計算時間比LM+LSCH和LM+DE+LSCH的計算時間都少；與LM1+LSCH和LM2+LSCH相比，LM+DE可節(jié)省計算時間192～519 s。這是因?yàn)椋看蜭M迭代中有相當(dāng)一部分時間用于計算敏感度矩陣，而LM+DE算法減少了迭代次數(shù)，就使總計算時間顯著減少。

圖3、圖4為采用不同算法得到的油藏模型1的生產(chǎn)數(shù)據(jù)擬合結(jié)果，可以看出：所有算法的計算結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)都很匹配，LM+DE算法在處理小型歷史擬合問題時是可靠的。

圖5為采用不同算法估算的油藏模型1滲透率場，可以看出，由于缺少足夠的信息去完全求解模型參數(shù)，采用各算法估算的滲透率場與真實(shí)滲透率場都不相同。

3.2 油藏模型2

油藏模型2大小為64×64，其滲透率場如圖6所示，包含24口生產(chǎn)井和16口注水井，各井同時投入運(yùn)行。需要擬合的數(shù)據(jù)是所有井的壓力數(shù)據(jù)和生產(chǎn)井的含水率數(shù)據(jù)，因此共64組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)有140個數(shù)據(jù)點(diǎn)，總數(shù)據(jù)點(diǎn)為8 960個。

首先，設(shè)置最多執(zhí)行10次LM迭代，在這種情況下，LM+DE與LM+LSCH算法的計算時間基本相同（見表2），這與油藏模型1中的情況不同。這是因?yàn)樵谟筒啬Ｐ?這樣的大型問題中，LSCH需要更多次迭代才能找到合理步長，并且在LSCH的每次迭代中，計算梯度的時間會隨著問題維數(shù)的增長而增加，因此需要更多計算時間。

圖7為油藏模型2各算例誤差范數(shù)值隨迭代次數(shù)的衰減曲線，可以看出：LM+DE和LM+DE+LSCH的收斂速度比其他算法快，殘差也比其他算法小；對于大部分LM迭代，LM+DE和LM+DE+LSCH的誤差范數(shù)基本相同，這表明當(dāng)使用DE估算λ值時，就不太需要或不需要進(jìn)行LSCH；在算例2中LM+DE和LM+DE+LSCH從第7步到第10步迭代的差異（見圖7b），可以歸因?yàn)镈E不能保證每次LM迭代都能找到最合適的λ值，在這種情況下LSCH能夠得到更小的殘差。

圖3 油藏模型1基于不同算法得到的5口井的壓力數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

圖4 油藏模型1基于不同算法得到的3口井的含水率數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

圖5 油藏模型1基于不同算法估算的滲透率場

圖6 油藏模型2的真實(shí)滲透率場和井位

表2 油藏模型2各算法不同迭代次數(shù)對應(yīng)的計算時間

同理，預(yù)先設(shè)置1個殘差值作為LM迭代的終止標(biāo)準(zhǔn)，在第5次迭代時終止LM+DE和LM+DE+LSCH，在第8次迭代時終止LM1+LSCH和LM2+LSCH，然后對比各算法的計算時間（見表2）?？梢钥闯觯陬A(yù)設(shè)終止標(biāo)準(zhǔn)的情況下，與LM1+LSCH和LM2+LSCH相比，LM+DE計算時間大幅減少，可節(jié)省計算時間9 193～12 646 s，說明對于大型問題LM+DE也比LM+LSCH效率更高。

圖7 油藏模型2各算例的殘差衰減曲線

圖8、圖9為采用不同算法得到的油藏模型2的壓力、含水率數(shù)據(jù)擬合結(jié)果，可以看出：所有算法的計算結(jié)果與實(shí)測數(shù)據(jù)都很匹配，LM+DE算法在處理大型歷史擬合問題時也是可靠的。

圖10為采用不同算法估算的油藏模型2滲透率場，可以看出，同樣由于實(shí)測數(shù)據(jù)包含的信息不足以求解含有大量未知參數(shù)的反演問題，采用各算法估算的滲透率場與真實(shí)滲透率場差別都很大。

圖8 油藏模型2基于不同算法得到的40口井的壓力數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

圖9 油藏模型2基于不同算法得到的24口井的含水率數(shù)據(jù)擬合結(jié)果

圖10 油藏模型2基于不同算法估算的滲透率場

4 結(jié)論

本文采用DE算法替代試錯法估算阻尼因子，改進(jìn)了標(biāo)準(zhǔn)的Levenberg-Marquardt算法（稱為LM+LSCH算法），提出了新的算法（稱為LM+DE算法）。

新算法不需要進(jìn)行線搜索，消除了使用試錯法時存在的不確定性，解決了標(biāo)準(zhǔn)LM算法應(yīng)用于大型反演問題可靠性較差的問題。

算例分析結(jié)果表明：LM+DE算法的收斂速度比LM+LSCH算法快；對于小型問題，當(dāng)執(zhí)行相同次數(shù)的LM迭代時，LM+DE算法的計算時間比LM+LSCH算法的計算時間長，但是對于大型問題LM+DE算法更省時；如果預(yù)設(shè)殘差值作為LM迭代終止標(biāo)準(zhǔn)，使用LM+DE算法可以大幅減少迭代次數(shù)，從而節(jié)省總計算時間。

致謝：本研究得到了法赫德國王石油礦業(yè)大學(xué)（KFUPM）通過阿卜杜勒阿齊茲國王科技城（KACST）提供的計算設(shè)備支持，在此表示感謝。

符號注釋：

c1，c2——系數(shù)；CR——交叉常數(shù)，CR∈［0，1］；dcal，i——計算值矢量dcal的第i個元素；dmeas，i——實(shí)測值矢量的第i個元素；dobs——實(shí)測數(shù)據(jù)；dsim——模擬數(shù)據(jù)；F——目標(biāo)函數(shù)；floor——向下取整函數(shù)；G——種群代次；g——目標(biāo)函數(shù)的梯度；H——根據(jù)敏感度矩陣計算的Hessian矩陣：I——與H同等大小的單位矩陣；j——迭代步數(shù)；K——油藏滲透率矢量，10-3μm2；M——組成矢量τ的未知參數(shù)的個數(shù)；MF——突變因子，MF∈［0，2］；N——數(shù)據(jù)點(diǎn)個數(shù)；Np——候選解初始種群大小；NSR——信噪比；randn——根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)；rand——隨機(jī)抽樣函數(shù)；s——近似的牛頓方向；S——敏感度矩陣；α——模型參數(shù)矢量；β——比例因子；——試探向量；G+1η——突變向量；λ——LM算法中阻尼因子；——從第G代種群中所能找到的最優(yōu)候選解；τk——由所有待估算的未知參數(shù)組成的矢量τ的第k個元素；τk，high，τk，low——矢量τ第k個元素的上限和下限；——從第G代種群中隨機(jī)選擇的幾個不同的候選解，均有別于Gτ；υ——迭代步長。

［1］JACQUARD P，JAIN C. Permeability distribution from field pressure data［J］. SPE Journal，1965，5（4）: 281-294.

［2］CHAVENT G，DUPUY M，LEMMONIER P. History matching by use of optimal theory［J］. Society of Petroleum Engineers Journal，1975，15（1）: 74-86.

［3］YANG P H，WATSON A T. Automatic history matching with variable-metric methods［J］. SPE Reservoir Engineering，1988，3（3）: 995-1001.

［4］SUN N Z，YEH W W. Coupled inverse problems in groundwater modeling: 1. Sensitivity analysis and parameter identification［J］. Water Resources Research，1990，26（10）: 2507-2525. DOI: 10.1029/WR026i010p02507.

［5］MAKHLOUF E M，CHEN W H，WASSERMAN M L，et al. A general history matching algorithm for three-phase，three-dimensional petroleum reservoirs［J］. SPE Advanced Technology，1993，1（2）: 83-92.

［6］ZHANG F，REYNOLDS A C，OLIVER D S. An initial guess for the Levenberg-Marquardt algorithm for conditioning a stochastic channel to pressure data［J］. Math. Geol.，2003，35（1）: 67-88.

［7］NOCEDAL J S，WRIGHT S. Numerical optimization［M］. New York: Springer-Veriag，2006.

［8］O'LEARY D P. Scientific computing with case studies［M］. Philadelphia: SIAM Press，2009.

［9］ANTERION F，EYMARD R，KARCHER B. Use of parameter gradients for reservoir history matching［R］. SPE 18433-MS，1989.

［10］WOLFE P. Convergence conditions for ascent methods［J］. SIAM Review，1969，11（2）: 226-235. DOI: 10.1137/1011036. JSTOR 2028111.

［11］HANSEN N，OSTERMEIER A. Completely derandomized self adaptation in evolution strategies［J］. Evolutionary Computation，2001，9（2）: 159-195.

［12］AWOTUNDE A A. Estimation of well test parameters using global optimization techniques［J］. Journal of Petroleum Science & Engineering，2015，125: 269-277.

［13］LU P，HORNE R N. A multiresolution approach to reservoir parameter estimation using wavelet analysis［R］. SPE 62985-MS，2000. DOI: 10.2118/62985-MS.

［14］AWOTUNDE A A，HORNE R. An improved adjoint sensitivity computation for multiphase flow using wavelets［J］. SPE Journal，2012，17（2）: 402-417.

［15］AWOTUNDE A A. A multi-resolution adjoint sensitivity analysis of time-lapse saturation maps［J］. Computational Geosciences，2014，18（5）: 677-696.

（編輯 胡葦瑋）

Improvement of Levenberg-Marquardt algorithm during history fitting for reservoir simulation

ZHANG Xian1，AWOTUNDE A A2
（1. Abu Dhabi Marine Operating Company，P. O. Box 303，Abu Dhabi，U. A. E； 2. King Fahd University of Petroleum & Minerals，Dhahran 31261，Kingdom of Saudi Arabia）

In order to estimate reservoir parameters more effectively by history fitting，DE （Differential Evolution） was proposed to estimate the optimum damping factor so that the standard Levenberg-Marquardt algorithm was improved，and the improved algorithm was validated by analysis of examples. The standard LM algorithm uses trial-and-error method to estimate the damping factor and is less reliable for large scale inverse problems. DE can solve this problem and eliminate the use of line search for an appropriate step length. The improved Levenberg-Marquardt algorithm was applied to match the histories of two synthetic reservoir models with different scales，and compared with other algorithms. The results show that: DE speeds up the convergence rate of the LM algorithm and reduces the residual errors，making the algorithm suitable for not only small and medium scale inverse problems，but also large scale inverse problems； if the iteration termination criteria of LM algorithm is preset，the improved algorithm will save the number of iterations and reduce the total time greatly needed for the LM algorithm，leading to higher efficiency of history matching.

numerical reservoir simulation； history matching； Levenberg-Marquardt algorithm； differential evolution； line search

TE319

A

1000-0747（2016）05-0806-10

10.11698/PED.2016.05.18

張鮮（1985-），男，四川南充人，碩士，阿布扎比海上運(yùn)營公司研發(fā)部研究員，主要從事油藏描述及模擬等方面的研究工作。地址：Research & Development Division，Abu Dhabi Marine Operating Company，P. O. Box 303，Abu Dhabi，U. A. E。E-mail：XZhang@adma.ae

2015-07-20

2016-04-13